Геометрия и графика, 2013, № 3-4

Г Е О М Е Т Р И Я
И  Г Р А Ф И К А

Т О М  1  •  В Ы П У С К  3 – 4  •  2 013

G E O M E T R Y  &  G R A P H I C S

Н А У Ч Н О - М Е Т О Д И Ч Е С К И Й  
Ж У Р Н А Л  
 
 
 
 
 
W W W . N A U K A R U . R U

I S S N  2 3 0 8 - 4 8 9 8

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43 (доб. 501) 
Факс: (495) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Сальков Н.А., канд. техн. наук,  
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор:  
Чистякова А.И.

Отдел подписки:  
Назарова М.В. 
Тел.: (495) 363-42-60, доб. 249 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2013

Подписано в печать 03.12.2013.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Сальков Н.А.
Искусство и начертательная геометрия  . . . . . . . . . . . . . . .3

Серегин В.И., Иванов Г.С., Дмитриева И.М.,
Муравьев К.А. 
Междисциплинарные связи начертательной 
геометрии и смежных разделов 
высшей математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Никифоров В.М., Мальцева Е.А.
Способ построения технического рисунка 
поверхности сферы с наложением собственной 
и падающей теней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ
Борисова А.Ю., Степура Е.А., 
Полежаев Ю.О.
«Инженерная геометрография» 
с элементами компьютеризации (методология, 
учебная программа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Бощенко Т.В., Фокина Н.И.
Образовательное сопровождение 
одаренных студентов в условиях 
инновационного образования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Гузненков В.Н.
Информационные технологии в графических 
дисциплинах технического университета . . . . . . . . . . . .26

Жилкина Б.А., Матусевич В.Я.
Опыт использования дистанционного обучения 
при преподавании графических дисциплин 
для студентов инженерных строительных 
и экономических специальностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Новожилова С.А., Егорычева Е.В.
Информационное обеспечение в современных 
технологиях обучения графическим дисциплинам . . . .33

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
Асекритова С.В.
Специфика разработки конструкторской 
документации в условиях автоматизации 
производства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

2013. Том 1. Вып. 3–4
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского государственного универси- 
тета тонких химических технологий (МИТХТ)  
им. М.В. Ломоносова, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Национального 
исследовательского университета «Московский 
государственный строительный университет» 
(НИУ МГСУ), Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»

2013. Vol. 1. Issue 3–4
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Бородкин Н.А. — д-р техн. наук, профессор, Тула 
(Россия)

Виноградов В.Н. — д-р пед. наук, профессор, Витебск 
(Беларусь)

Волков В.Я. — д-р техн. наук, профессор, Омск (Россия)

Вышнепольский В.И. — канд. пед. наук, доцент, Москва 
(Россия)

Дворецкий А.Т. — д-р техн. наук, профессор, Симфе
рополь (Украина)

Иванов Г.С. — д-р техн. наук, профессор, Москва (Россия)

Ковалев С.Н. — д-р техн. наук, профессор, Киев (Украина)

Ковалев Ю.Н. — д-р техн. наук, профессор, Киев 

(Украина)

Павлова А.А. — д-р пед. наук, профессор, Москва 
(Россия)

Парвулюсов Ю.Б. — канд. техн. наук, профессор, 
Москва (Россия)

Пилипака С.В. — д-р техн. наук, профессор, Киев 
(Украина)

Подгорный А.Л. — д-р техн. наук, профессор, Киев 
(Украина)

Сальков Н.А. — канд. техн. наук, профессор, Москва 
(Россия)

Скидан И.А. — д-р техн. наук, профессор, Донецк 
(Украина)

Щеглов Г.А. — д-р техн. наук, профессор, Москва 
(Россия)

Шангина Е.И. — д-р пед. наук, профессор, Екатеринбург 
(Россия)

Янишевская А.Г. — д-р техн. наук, профессор, Омск 
(Россия)

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Н.А. — канд. техн. наук, профессор, Москва 
(Россия), гл. редактор

Вышнепольский В.И. — канд. пед. наук, доцент, Москва 
(Россия), зам. гл. редактора

Кадыкова Н.С. — канд. техн. наук, доцент, Москва 
(Россия), ответственный секретарь

Кудрявцев Г.Ф. — канд. техн. наук, доцент, Москва 
(Россия), член редколлегии

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать 
к авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, 
сокращать тексты и вносить в рукописи необходимую 
стилистическую правку без согласования с авторами. 
Поступившие в редакцию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» 
обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных 
материалов.

Токарев В.А.
Эффективность комплексного применения 
в профессиональной подготовке специалистов 
различных типов графических программ 
при разработке геометрических моделей . . . . . . . . . . . .40

ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ 
ОЛИМПИАД
Вышнепольский В.И.
Функции олимпиад . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Альшакова Е.Л.
Организация и проведение олимпиад 
по начертательной геометрии в Юго-Западном 
государственном университете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 
БИОГРАФИИ
Сальков Н.А.
Курс начертательной геометрии 
Гаспара Монжа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
Нестеренко Л.А., Бурлов В.В., 
Соляникова Е.А., Кикта А.А.
Любовь к начертательной геометрии 
и страсть к высоте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 3–4. 3-7
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3–4. 2013

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 515                                                   DOI: 10.12737/2123

Сальков Н.А.
канд. техн. наук, профессор
Московский государственный академический 
художественный институт имени В.И. Сурикова
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30

Искусство 
и начертательная геометрия 

Аннотация. В статье приводятся примеры использования 
методов начертательной геометрии в живописи. Рассматривается 
знаменитый учебник Гаспара Монжа «Начертательная геометрия» на предмет использования его в качестве учебника 
для художников. Даются цитаты из учебника Монжа, относящиеся к искусству. Делается вывод о том, что начертательную геометрию необходимо изучать в гораздо большем объеме, чем это принято в настоящее время.
Ключевые слова: начертательная геометрия, искусство, 
живопись.

Salkov N.A.
Ph.D. of Engineering, Professor
Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov
30 Tovarischesky per., Moscow, 109004, Russia

Art and Descriptive Geometry

Abstract. Examples related to the use of descriptive geometry 
methods in the painting are presented in this paper. The famous 
textbook of Gaspard Monge is considered as a textbook for artists. 
Citations from Monge textbook related to art are given. Conclusion 
is drawn that the descriptive geometry must be studied in much 
greater extent than it is currently the case.
Keywords: descriptive geometry, art, painting.

Еще до создания Гаспаром Монжем начертательной геометрии художники обладали значительными 
сведениями о проекционных методах, особенно о 
методах построения перспективы. Разработка теоретических основ искусства началась в Италии в 1-й 
половине XV в. Уже в середине века появляются 
первые трактаты: Леона Батиста Альберти «О живописи» (1436) и «О статусе» (1464), Пьеро де Франческа 
«О живописной перспективе» (1484–1487). В трудах 
величайших художников эпохи Возрождения — 
Леонардо да Винчи, Микеланджело, Альбрехта 
Дюрера — заложены основные теоретические положения, которыми должны руководствоваться художники при построении перспективных изображений. 
Так, великий немецкий художник, график и гравер, 
ученый Альбрехт Дюрер дал правила построения 
перспективы, связав ее с методом ортогональных 
проекций. 
Дюрера привлекали геометрия и теория перспективы. Все творчество Дюрера проникнуто математикой. Об этом говорит не только геометрическая пра
вильность изображения 
пространства и соразмерность предметов на его 
картинах, гравюрах и 
рисунках, но и рассуждения в его трудах. Он с 
молодости искал точную 
формулу прекрасного, 
уверенный, что с помощью 
числовых отношений и 
геометрических построений можно добиться совершенства в художественном изображении.
Дюрер является одним 
из крупнейших математиков Европы XV — начала XVI в. Заслуги художника в области геометрии столь велики, что его называют первым по времени выдающимся геометром 
Германии.
Первые рукописные наброски Дюрера относятся 
к 1507–1512 гг. Дюрер задумал сначала написать 
трактат, в котором должно было быть заключено все, 
относящееся к воспитанию и обучению образованного и всесторонне развитого художника. Рукописные 
наброски тех лет сохранили план всего сочинения и 
отдельных частей, а также отрывки о живописи, 
перспективе, архитектуре.
Составленный позднее план включает, кроме имеющих непосредственно к художникам вопросов, и 
такие, которые, как мы увидим, впоследствии разрабатывал Г. Монж: архитектура, перспектива, светотень, цвет.
Дюрер счел необходимым издать сначала пособие 
по геометрии и перспективе, ибо опасался, что без 
такого пособия его теория пропорций будет непонятна немецким художникам, не имеющим достаточной подготовки. В 1525 г. был опубликован трактат «Руководство к измерению». Помимо теории 
линейной перспективы, здесь изложены основы 
классической геометрии, затронуты вопросы оптики, 
астрономии, некоторые математические проблемы.
Дюрер первый в Германии пытался применить в 
искусстве свои научные знания в области перспективы и пропорций; он был единственным немецким 
художником XVI в., оставившим после себя литературное наследие. 
Дюрер считал, что изобразительное искусство не 
может существовать отдельно от науки. По его мнению, каждый художник должен обладать некоторыми научными, математическими познаниями, что 
позволит ему более успешно творить в искусстве. 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3–4. 2013
GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 3–4. 3-7

Математические познания делают глаз художника 
более точным и помогают ему проанализировать 
свою работу.
Итак, до Г. Монжа многие художники и ученые 
занимались проблемами проекционных построений, 
но только Монж создал начертательную геометрию 
как науку.
Сегодня принято считать, что начертательная 
геометрия — дисциплина, необходимая, прежде всего, инженеру, т.е. с начертательной геометрией имеют дело в подавляющем большинстве технические 
специальности.
Посмотрим, что об этом говорил родоначальник 
начертательной геометрии — великий геометр и математик, педагог, инженер, общественный и политический деятель Гаспар Монж.
В своих лекциях, впоследствии выпущенных в 
виде учебника Geometrie descriptive (1795), Монж неоднократно приводит примеры применения начертательной геометрии в искусстве.
Например, во втором разделе, посвященном касательным плоскостям, которые могут применяться, 
по мнению многих, только в промышленности, Монж 
говорит: «Перейдем к другому примеру, взятому из 
такой области искусства, которая на первый взгляд 
кажется не подчиненной столь строгим требованиям... 
Принято считать, что живопись слагается из двух 
совершенно различных частей. Одна — это собственно 
искусство; оно имеет целью возбуждать в зрителе 
определенную эмоцию, вызывать в нем определенное 
чувство или приводить в такое состояние, которое 
способствовало бы созданию определенного впечатления; живопись предполагает в художнике большой опыт 
в философии; она требует от него самых точных знаний природы вещей, способа их воздействия на нас и 
признаков, хотя бы бессознательных, которыми это 
воздействие проявляется; она может быть результатом лишь самого утонченного воспитания, которого 
никто не дает и которое мы не в состоянии дать нашим молодым художникам; она не подчиняется никакому общему правилу; она выносит лишь советы» [5].
Это пишет Г. Монж в 
учебнике «Начертательная 
геометрия», посвященном 
исключительно вроде бы 
геометрическим построениям, касательным плоскостям. И далее: «Другая 
часть живописи является, 
собственно говоря, ремеслом: 
его целью является точное 
выполнение концепций первой части. Здесь нет ничего произвольного; все может быть предусмотрено 
строгим рассуждением, потому что все является необходимым результатом выбора объектов и данных 
обстоятельств. Когда известна форма и положение 
предмета, свойства, число и положение тел, которые 
могут его освещать, будь то прямым светом или отраженными лучами, когда фиксировано положение 

глаза зрителя, когда, наконец, хорошо установлены и 
известны все обстоятельства, могущие влиять на 
зрение, то оттенок изображения каждой точки на 
видимой поверхности этого предмета будет совершенно определенным. Все, что связано с цветом оттенка 
и его яркостью, зависит от положения касательной 
плоскости в этой точке по отношению к освещающим 
телам и глазу зрителя; это может быть определено 
только умозрительно; а когда это установлено, его 
надо использовать в точности. Всякое ослабление и 
всякое усиление изменило бы наружный вид предмета, 
исказило бы его формы, произвело бы не тот эффект, 
которого ожидает художник...
Я хорошо знаю, что часто требуемая быстрота 
выполнения работы ограничивает для художника возможность использования метода и заставляет его 
работать без всяких вспомогательных средств и быть 
предоставленным исключительно своим способностям; 
для него значительно легче расположить предметы, 
наблюдать их оттенки и подражать им; но если бы он 
привык рассматривать положение касательных плоскостей и обе кривизны поверхностей в каждой точке — 
кривизны, которые будут служить предметом последующих лекций, — он извлек бы еще большую пользу 
из этого материального средства, он был бы в состоянии восстановить эффекты, которым помешало 
проявиться отсутствие некоторых условий и, наоборот, устранить такие, которые вызваны чуждыми 
причинами...
Наконец, неопределенные выражения, такие как 
«неровность», «светотень», постоянно употребляемые 
художниками, свидетельствуют о том, что они нуждаются в более точных знаниях и в более строгих 
рассуждениях» [5].
В этом же разделе Монж пишет: «Второй пример 
мы возьмем из живописи... Поверхность тел, в особенности гладких, обладает блестящими точками, сравнимыми по яркости с освещающим их источником 
света. Яркость этих точек тем больше и размеры их 
тем меньше, чем более гладкой является поверхность. 
На матовых поверхностях блестящие точки имеют 
значительно меньшую яркость и занимают большее 
пространство на поверхности…
Положение яркой точки определяется для каждой 
поверхности условием, чтобы падающий луч света и 
отраженный луч, направленный к глазу зрителя, лежали в одной плоскости, перпендикулярной касательной плоскости в этой точке, и составляли бы с этой 
плоскостью равные углы, так как блестящая точка 
поверхности играет роль зеркала и отражает по направлению к глазу часть изображения светящегося 
предмета. Определение этой точки требует крайней 
точности, и даже если рисунок выполнен с величайшей 
правильностью, если видимые контуры проведены с 
математической точностью, малейшая ошибка в положении блестящей точки вызовет неверное впечатление при рассматривании формы. Мы приведем только одно, но зато очень убедительное и часто встречающееся доказательство...

Поверхность глазного яблока блестящая. Кроме 
того, она покрыта легким слоем влажности, которая 
делает ее еще более блестящей; когда мы рассматриваем открытый глаз, то видим на его поверхности 
маленькую очень яркую точку, положение которой 
зависит от положения освещающего объекта и наблюдателя. Если бы поверхность глаза была совершенно 
сферической, его вращение вокруг своей вертикальной 
оси не вызывало бы ни малейшего смещения блестящей 
точки, но эта поверхность вытянута в направлении 
оси зрения, и когда она поворачивается вокруг вертикальной оси, положение блестящей точки изменяется. 
Поскольку опыт сделал нас очень чувствительным к 
этому изменению, оно играет большую роль в нашем 
суждении о направлении взгляда. Именно разница в 
положении блестящих точек в двух глазных яблоках 
человека и дает возможность судить о том, косит ли 
он или нет, смотрит ли он на нас, и если смотрит, то 
куда направлен его взгляд...
Приведя этот пример, мы не хотим сказать, что на 
картине нужно геометрическим путем определять положение блестящей точки на глазном яблоке, мы только 
обращаем внимание на то, что изначальные ошибки в 
положении этой точки вызывают большие последствия 
в воспринимаемой форме объекта, хотя рисунок его видимого контура остается неизменным» [5].
Далее, в пятом разделе, посвященном кривым 
линиям двоякой кривизны, их радиусам, кривым 
поверхностям, линиям кривизны этих поверхностей, 
Гауссовой кривизне поверхности, т.е., по сути, являющимся разделом синтетической дифференциальной 
геометрии, Г. Монж пишет: «Второй пример, который 
мы приведем, возьмем из искусства гравирования… 
В гравюре оттенки различных частей поверхности 
изображаемых объектов осуществляются при помощи 
штриховки тем более частой и сильной, чем темнее 
должен быть оттенок…
Если гравюра предназначена для рассматривания 
на расстоянии достаточно большом, чтобы отдельные 
штрихи не были заметны, род штриховки более или 
менее безразличен, и каковы бы ни были контуры штрихов, гравер может всегда их усилить и увеличить их 
число, чтобы получить желаемый оттенок и вызвать 
соответственное впечатление. Но если — и это обычно имеет место — гравюра должна быть рассматриваема достаточно близко, когда контуры штриховки 
становятся заметными, форма их уже не безразлична. 
Для каждого объекта и для каждой части его поверхности можно подобрать контуры штриховки, лучше 
всего передающие кривизну поверхности; этих особых 
контуров всегда бывает два, и граверы иногда применяют оба сразу, когда для усиления оттенка они делают штриховку перекрестной. Эти контуры, о которых 
художники еще только смутно догадываются, суть 
проекции линий кривизны поверхности, которую хотят 
изобразить. Так как поверхности большинства предметов не могут быть подведены под точное определение, их линии кривизны нельзя определить ни вычислением, ни графическим построением. Но если бы художники с молодых лет упражнялись в нахождении линий 

кривизны большого числа различных поверхностей, 
которые могут быть точно заданы, они лучше понимали бы форму и положение этих линий, даже в случае более сложных фигур; они схватывали бы их с 
большей точностью, и их работы были бы более выразительными» [5].
Важность этих исследований становится очевидной, когда мы читаем оценку творчества Альбрехта 
Дюрера его прославленным современником Эразмом 
Роттердамским (1466–1536), который писал в 1528 г.: 
«Чего только не может он выразить в одном цвете, 
то есть черными штрихами! Тень, свет, блеск, выступы и углубления, благодаря чему каждая вещь предстает перед взором зрителя не одной только своею гранью. 
Остро схватывает он правильные пропорции и их взаимное соответствие. Чего только ни изображает он, 
даже то, что невозможно изобразить — огонь, лучи, 
гром, зарницы, молнии, пелену тумана, все ощущения, 
чувства, наконец, всю душу человека, проявляющуюся 
в телодвижениях, едва ли не самый голос. Все это он 
с таким искусством передает точнейшими штрихами 
и притом только черными, что ты оскорбил бы произведение, если бы пожелал внести в него краски...»
После изложения общих принципов, при помощи 
которых решаются различные задачи начертательной 
геометрии, Г. Монж совместно с М. Бриссоном рассматривает еще два раздела — «Теорию теней» и 
«Теорию перспективы», которые, по его словам, 
являются приложениями начертательной геометрии.
Раздел начертательной геометрии, рассматривающий построение теней в ортогональных проекциях, изучается в художественных институтах и архитектурных вузах.
Г. Монж так говорит о решении задач начертательной геометрии: «Этот род исследований… приучает ум и руку ученика к точной работе… развивает 
сообразительность» [5].
А затем там же: «Однако в курсе, специально посвященном начертательной геометрии, естественно рассмотреть в качестве первого приложения теорию 
теней, которую должно рассматривать как дополнение этой науки….
С другой точки зрения, начертательная геометрия — только метод представления предметов, и в 
этом случае определение теней является для нее существенным дополнением» [5].
Две проекции необходимы для трехмерных объектов, поскольку «в плоскости неизбежно недостает 
одного измерения».
По мнению Монжа, постоянно сравнивать две 
проекции, включающие три измерения, довольно 
утомительно, поэтому «задача может быть упрощена 
изображением теней» [5].
Далее идет напутствие художникам, архитекторам, 
графикам: «…во всех отраслях искусства, где речь 
идет об изображении предметов, и начертательная 
геометрия применяется не как метод исследования, 
а как метод изображения, определение теней создает 
преимущество и делает изображение более совершенным...

GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 3–4. 3-7
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3–4. 2013

Определение теней заключает две отдельные части: 
одна представляет построение контуров теней, другая заключается в нахождении интенсивности оттенков…» [5].
Г. Монж рассматривает способы нахождения границ собственных теней и заявляет: «Этот последний 
вопрос, помимо того, что он входит в решение интересующей нас задачи, интересен с точки зрения искусства рисования и живописи; он дает возможность 
определить, где на поверхности освещенного тела 
должны прекращаться светлые оттенки и начинаться темные» [5].
Рассматривая освещенность от солнца, Г. Монж 
дает рекомендации художникам: «…мы можем считать, что ширина полутени будет приближено равняться 1/115 части от расстояния между отбрасывающим тень телом и плоскостью, на которую она падает и которую мы будем считать более или менее 
перпендикулярной к направлению лучей. Легко видеть, 
что при перемещении этой позиции ширина полутени 
будет возрастать обратно пропорционально синусу 
угла, образуемого плоскостью с направлением света; 
полагая, например, этот угол равным 45°, мы найдем, 
что ширина полутени должна составлять 181 часть 
расстояния между точкой, отбрасывающей тень, 
и плоскостью, на которую она падает….
Поэтому существенно увеличивать на рисунках 
ширину полутени по мере удаления падающей тени от 
отбрасывающего ее предмета; приведенных здесь результатов достаточно, чтобы определить протяженность каждой части полутени с точностью бóльшей, 
чем обычно имеют сами рисунки» [5].
В разделе «Теории перспективы» Г. Монж дает 
много рекомендаций художникам, например: «Искусство 
перспективы заключается в изображении на картине, 
форма и положение которой известны, предметов, 
также заданных по форме и положению, такими, как 
они кажутся глазу с определенной точки зрения… Мы 
видим, что здесь, как и в теории теней, надо рассматривать две раздельные части: одна — чисто геометрическая, и ее задачей является точное изображение 
на картине положения каждой воспроизводимой точки; другая имеет целью передачу оттенков света и 
тени, которые должны быть приданы каждой части 
картины, и ее надо рассматривать главным образом 
на основании соображений физических. Эта последняя 
часть, называемая воздушной перспективой, целиком 
входит в круг исследований… для дополнения теории 
теней…» [5]
Весь раздел, по сути, является пособием для художников, графиков, архитекторов: «Приведем здесь 
один очень важный результат из теории перспективы, 
существенный для правильности рисунков; он состоит 
в том, что всякий раз, когда надо изобразить в перспективе на некоторой картине ряд прямых, параллельных между собой (но не параллельных самой картине), то перспективы этих прямых должны сходиться в одной точке» [5].
В 1795 г. это было очень существенное замечание 
для художников.

Г. Монж рассказывает о перспективе на вертикальную плоскость картины и на наклонную. Он сообщает о перспективах на сфере, на конусе, на цилиндре.
Далее Г. Монж дает представление «об определении оттенков в изображении предметов и о воздушной перспективе»: «Та часть теории теней и перспективы, которой нам теперь надлежит заняться, очень 
сложна и должна быть изучаема с гораздо большим 
вниманием, чем это делалось до сих пор; она требует 
некоторых знаний по физике и, в особенности, большого числа наблюдений…
К сожалению, художники, которым приходится 
непрестанно думать над этими вопросами, публикуют 
очень мало о результатах их размышлений об искусстве…» [5].
Затем Г. Монж рассказывает о силе света, которая 
убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, о не вполне прозрачном воздухе, об отражающихся лучах, о матовых поверхностях и т.д.
Все эти рассуждения — не что иное, как рекомендации для художников. Например, рассказывая о 
том, что «для каждого элемента поверхности сила 
отраженного света обратно пропорциональна синусу угла, составленного касательной плоскостью с 
лучом зрения», Г. Монж далее разъясняет: «Этот 
результат нельзя считать вполне точным, когда угол, 
о котором идет речь, близок к нулю; в этом случае 
неровности матовой поверхности частично перекрывают друг друга и заслоняют от нас, таким образом, 
часть света, которую они должны были отразить нам. 
Итак, рассматривая плоскую матовую поверхность 
под очень острым углом, мы не будем видеть ее очень 
яркой…» [5].
В § 142 Г. Монж рассматривает прохождение света через не вполне прозрачный воздух. Такое исследование не является чисто геометрическим, оно 
необходимо скорее художнику, нежели геометру. 
Г. Монж постоянно на протяжении всей книги обращается к художникам: «Важно представить себе, 
что руководит в этом случае нашим суждением, чтобы уметь подражать этому явлению, и чтобы художник мог воздействовать на глаз зрителя теми же 
средствами, как это делает природа» [5, с. 234–235].
Затем — пример для архитектора: «Представим 
себе архитектурный фасад с выступом, выкрашенным 
равномерно одним цветом…» [5, стр. 235].
Тут же Г. Монж дает те свойства зрения, на которые должен обратить внимание художник, но никак 
не инженер. Монж рассуждает о свойстве глаза «расширять, увеличивать предметы тем более, чем сильнее 
они освещены», о том, «что глаз лишь очень медленно теряет сильное впечатление от яркого света».
Наконец, в § 143 Г. Монж рассуждает «об изменениях цветов при некоторых обстоятельствах». Эти 
знания также необходимы художнику, архитектору; 
инженеру они безразличны.
Как видим, в учебнике «Начертательная геометрия» 
Г. Монжа красной нитью по всем разделам проходит 
идея о практической необходимости знаний геометрии, в том числе начертательной, не только для 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3–4. 2013
GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 3–4. 3-7

людей, занятых на производстве, в строительстве, 
но и для художников, графиков, граверов и архитекторов. Более того, Г. Монж и учебник свой написал 
как рекомендации именно для этих специальностей.
Таким образом, сам родоначальник начертательной геометрии в учебнике, давно уже ставшем классическим, всеми своими исследованиями утверждает необходимость изучения начертательной геометрии 
художниками и архитекторами. Архитекторы начертательную геометрию изучают пока что более-менее 
полно, хотя уже намечаются изменения не в лучшую 
сторону.
А вот что пишет о начертательной геометрии великий русский геометр Николай Алексеевич Рынин: 
«Начертательная геометрия есть могущественное 
орудие, которое дает живописцу, скульптору, декоратору средство производить удивительные эффекты 
в своих произведениях» [7].

Вывод
В эпоху Возрождения художники понимали необходимость изысканий в области геометрии, разрабатывая трактаты о пропорциях человека, животных, зданий и сооружений; особенно им были нужны сведения о перспективных проекциях — в картинах без этого не обойтись, поскольку, как правильно 
отмечали Г. Монж, А. Дюрер и многие художники 
до них, искусство разделяется на две части: именно 
искусство, воздействующее на нас эмоционально, и 
ремесло, опирающееся на научные знания. Под ремеслом художникам требуется понимать начертательную геометрию. Именно поэтому в художественных вузах России и по настоящее время студентыхудожники изучают начертательную геометрию — 
раздел перспективы и теорию теней.
Необходимость в изысканиях в области геометрии 
всегда понимали не только художники, но и специалисты технических направлений. В настоящее вре
мя в силу того, что многие технически образованные 
специалисты в силу необъяснимых причин (а скорее 
всего, из-за некоторой геометрической необразованности) начали считать начертательную геометрию 
только ремеслом, привязанным исключительно к 
выполнению чертежа, происходит безвозвратная 
ликвидация этого последнего бастиона геометрического образования в высшем техническом образовании. А зря. Мастера своего дела (академик Н.Н. Четверухин, профессора В.И. Якунин, Н.Н. Рыжов, 
Г.С. Иванов, В.Е. Михайленко, А.Л. Подгорный, 
И.А. Скидан, С.Н. Ковалев, д-р хим. наук А.А. Ищенко 
и др.) считали и считают совершенно иначе. Но об 
этом в другой раз [1, 3, 8].

Литература

1. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии как 
учебной дисциплины // Геометрия и графика. М: ИНФРА-М, 
2013. Т. 1. Вып. 1. С. 26–27.

2. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии: Учеб. пособие. М.: Машиностроение, 1988.

3. Ищенко А.А. К вопросу о необходимости преподавания 
начертательной геометрии и графики для химиков и 
химиков-технологов // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. 
Вып. 2. С. 6–7.

4. Матвиевская Г.П. Альбрехт Дюрер — ученый. 1471–1528. 
М.: Наука, 1987.

5. Монж Г. Начертательная геометрия. Л.: Изд-во Академии 
наук СССР, 1947. 

6. Петкова С.М. Справочник по мировой культуре и искусству. Ростов н/Д: Феникс, 2006.

7. Рынин Н.А. Значение начертательной геометрии и сравнительная оценка главнейших ее методов. Петроград: 
Изд-во Ю.Н. Эрлих, 1907.

8. Якунин В.И., Иванов Г.С. Судьбу начертательной геометрии должны определять специалисты // Современные 
проблемы информатизации геометрической и графической подготовки инженеров. Саратов, 2007. С. 3–7.

GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 3–4. 3-7
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3–4. 2013

Где купить: 
•Оптовая продажа  
по безналичному расчету: 
Тел.: (495) 363-42-60 (доб. 215, 217),  
факс: (495) 380-05-40 (доб. 257)  
E-mail: irina@infra-m.ru 

•Книга-почтой: 
Тел.: (495) 363-42-60 (доб. 246, 248),  
факс: (495) 363-42-60 (доб. 232)  
E-mail: podpiska@infra-m.ru 

Следите за новинками на сайте: 
www.infra-m.ru 

Допущено УМО по образованию в области архитектуры в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению 
«Архитектура». 
Настоящее учебное пособие написано для студентов по направлению 
270100 «Архитектура» (квалификация – «бакалавр», «специалист», «магистр») и охватывает теоретические вопросы аксонометрии, перспективы, проекций с числовыми отметками и теорию теней.
Учебное пособие полностью отвечает требованиям ФГОС 3-го поколения, 
утвержденного Минобрнауки Российской Федерации.
Пособие является второй частью учебного курса по начертательной геометрии и составляет вместе с учебным пособием «Начертательная геометрия. Базовый курс» полный курс начертательной геометрии для архитекторов. Может быть полезно студентам других направлений обучения, 
а также преподавателям геометро-графических дисциплин.

НАУЧНО-ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР «ИНФРА-М» ПРЕДЛАГАЕТ: 

Сальков Н.А.
Начертательная геометрия: основной курс: учебное пособие. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. — 
235 с. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-16-006755-1
Торговый код 439450.01.01

УДК 515.001:513.075                           DOI: 10.12737/2124

Серегин В.И.
канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой
Московский государственный технический университет 
им. Н. Э. Баумана,
Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1
Иванов Г.С.
д-р техн. наук, профессор
Московский государственный технический университет 
им. Н. Э. Баумана,
Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1
Дмитриева И.М.
канд. пед. наук, доцент
Московский государственный университет леса,
Россия, 141005, Московская обл., г. Мытищи-5, 
ул. 1-я Институтская, д. 1 
Муравьев К.А.
аспирант
Московский государственный университет леса,
Россия, 141005, Московская обл., г. Мытищи-5, 
ул. 1-я Институтская, д. 1

Междисциплинарные связи 
начертательной геометрии
и смежных разделов высшей 
математики

Аннотация. Традиционный курс начертательной геометрии 
как учебная дисциплина является обеспечивающей, в основном, для инженерной графики и некоторых разделов (зубчатые и червячные передачи) теории механизмов и деталей 
машин. Ее трансформация в курс инженерной геометрии 
вызвана потребностями производства, современными тенденциями и мировым опытом подготовки инженерных кадров в 
области их профессиональной проектно-конструкторской 
деятельности [1, 2, 3]. Расширение ее предмета формами 
многомерного пространства позволяет устанавливать межпредметные связи со смежными математическими и общетехническими дисциплинами. Справедливость этого тезиса 
подтверждается примерами наглядного геометрического толкования  решения систем линейных уравнений, понятий 
частных производных и кратных интегралов. По мнению 
авторов расширение области приложений начертательной 
геометрии  должно повысить ее роль в системе высшего профессионального образования.
Ключевые слова: многомерная геометрия, линейная алгебра, геометрическая модель, кратные интегралы, частные 
производные.

Seregin V.I.
Ph.D. of Engineering, Associate Professor, Head of Chair
Bauman Moscow State Technical University
5 bld. 2 2d Baumanskaya st., Moscow, 105005, Russia
Ivanov G.S.
Doctor of Engineering, Professor
Bauman Moscow State Technical University
5 bld. 2 2d Baumanskaya st., Moscow, 105005, Russia

Dmitrieva I.M.
Ph.D. of Pedagogy, Associate Professor
Moscow State Forest University
1 1st Institutskaya st., Mytischi-5, Moscow reg., 141005, Russia

Muravev K.A.

Postgraduate Student
Moscow State Forest University
1 1st Institutskaya st., Mytischi-5, Moscow reg., 141005, Russia

Interdisciplinary connections of descriptive 
geometry and related sections of higher 
mathematics

Abstract. Traditional course of descriptive geometry as an academic discipline is generally providing for engineering graphics and 
some sections (such as toothed gears worm-gear drives) related to 
theories of mechanisms and details for cars. Its transformation in 
a course of engineering geometry is caused by requirements of 
production, current trends and world experience related to engineering skills training for their professional design activity [1, 2, 3]. 
Expansion of descriptive geometry subject by forms of multidimensional space allows establish cross-subjects connection with related mathematical and all-technical disciplines. This thesis justice 
is confirmed by examples of evident geometrical interpretation of 
linear equations systems decision, concepts related to private derivatives and multiple integrals. According to authors an expansion 
of descriptive geometry applications area has to raise descriptive 
geometry role in higher professional education system.
Keywords: multidimensional geometry, linear algebra, geometrical model, multiple integral, private derivatives.

Введение
Общепринято считать начертательную геометрию 
графической дисциплиной, хотя ее основатель Г. Монж 
считал полезным сочетание графических и аналитических способов решения геометрических задач [4]. 
Появление машинной графики и необходимость 
реализации цепочки «графические построения → их 
аналитические эквиваленты → программа» вновь 
сделали эту проблему актуальной [5]. Первые попытки в этом направлении предпринял в 60-е гг. 
прошлого века зав. кафедрой прикладной геометрии Московского авиационного института проф. 
И.И. Котов [6].
Упор только на графические методы решения 
задач представителями «гордоновской» школы начертательной геометрии и их противопоставление 
аналитическим привели к негативным результатам 
в ее преподавании:

• в ряде учебников, а также в ГОСТ 2.317-69, 
вопреки общепринятым нормам положительные направления осей координат не отмечаются стрелками;

• в разделе «Сопряжения» рассматривается лишь 
построение коробовых линий; важнейшие разделы для приложений и компьютерной графики (обводы, сплайны, кривые Безье и т.д.) 
вообще не рассматриваются, так как они требуют совместного рассмотрения графических 
и аналитических способов их задания;

• при изложении многих вопросов, имеющих 
прикладное значение (задание кривых линий 
и поверхностей, решение задач с их участием, 
построение касательных плоскостей и т.д.), не 
дается их аналитическое толкование. В итоге 
начертательная геометрия фактически потеряла свое значение как учебная дисциплина.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3–4. 2013
GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 3–4. 8-12

С другой стороны, в вузовских учебниках высшей 
математики отсутствует геометрическая интерпретация решения систем линейных уравнений, нелинейных форм высших размерностей, кратных интегралов и частных производных (за исключением функций от одной и двух переменных). Объяснение простое: все эти задачи многомерные, но ни в одном 
вузовском курсе понятие многомерного пространства не дается!
Компетентностный подход, заложенный в основу разработки федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования, предусматривает установление межпредметных связей, чтобы специалисты различного 
профиля могли общаться и понимать друг друга. 
Представляется, что одним из средств достижения 
этой цели является уверенное владение специалистом 
синтетическими и аналитическими, т.е. конструктивными и вычислительными, способами решения 
технических задач.
Так как многие задачи проектирования, оптимизации параметров изделий и технологических процессов, моделирования экономических зависимостей 
и др. являются многомерными, то расширение предмета начертательной геометрии фигурами многомерного пространства и отношениями между ними позволит организовать базу для различного сочетания 
конструктивных и вычислительных способов решения прикладных задач.
Таким образом, целью настоящей публикации 
является показ на примерах наглядного геометрического толкования ряда понятий высшей математики 
целесообразности расширения учебного курса начертательной геометрии фигурами (линейными и 
нелинейными) многомерного пространства. При 
этом органично выявляется диалектическая взаимосвязь графических (синтетических) и аналитических способов решения геометрических задач [7].

1. Решение систем линейных уравнений

Единство предмета линейной алгебры и многомерной начертательной геометрии, полезность не 
только параллельного решения геометрических задач 
графическими и аналитическими способами, но и 
их разумного сочетания, покажем на следующих двух 
простых примерах. Эти примеры иллюстрируют алгоритм решения систем линейных уравнений, основанный на известном правиле Гаусса о понижении 
размерности задачи.
Пусть на чертеже Г. Монжа даны три плоскости 
общего положения ∑, ∆, Г. Требуется построить их 
общую точку К.
Как правило, в начертательной геометрии эта 
задача решается в такой последовательности:

• строится линия l пересечения плоскостей ∑ и ∆;
• строится искомая точка K пересечения прямой 
l и плоскости Г.
На языке линейной алгебры эта задача сводится 
к решению системы трех линейных уравнений с 

тремя неизвестными, моделирующих плоскости ∑, 
∆, Г:

a x
b y
c z
d
a x
b y
c z
d
a x
b y
c z
d

1
1
1
1

2
2
2
2

3
3
3
3

0
0
0

+
+
+
=
+
+
+
=

+
+
+
=

,
,
.

(1)

Она решается методом последовательного исключения неизвестных. Например, умножив первое уравнение на число λ = − c
c

2

1

 и сложив со вторым уравне
нием, получаем новое уравнение от двух неизвестных 
x и y:

a
a c
c
x
b
b c
c
y
d
d c
c
2
1 2

1
2
1 2

1
2
1 2

1
0
−
+
−
+
−
= .
(2)

Геометрически это означает, что в пучке плоскостей, заданном осью l =
∩
Σ
∆ , выбрана горизонтально проецирующая плоскость Φ, определяемая уравнением (2).
Отсюда следует рациональный алгоритм графического решения данной задачи:

•одну из заданных плоскостей Σ, используя какоелибо преобразование, например, замену плоскости проекций, преобразуем в проецирующую Σ ;

•в преобразованной системе строим линии b =
∩
Σ
∆ , 

g =
∩
Σ
Γ  пересечения проецирующей плоскости 

Σ  с плоскостями общего положения ∆ , Γ ;

•строим точку K
b
g
=
∩
 и обратным преобразованием находим искомую точку K в исходной 
системе координат.
Таким образом, выявление межпредметных связей 
дисциплин, изучаемых студентами на различных 
кафедрах, способствует нахождению рациональных 
алгоритмов решения задач сочетанием графических 
и аналитических способов.
В качестве второго примера рассмотрим обобщение приведенной выше задачи на четырехмерное 
пространство. Дана система четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными x, y, z, t

a x
b y
c z
d t
f
a x
b y
c z
d t
f
a x
b y
c z
d t

1
1
1
1
1

2
2
2
2
2

3
3
3
3

0
0
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+

,
,
f
a x
b y
c z
d t
f

3

4
4
4
4
4
0
0
=
+
+
+
+
=
,
,

(3)

т.е. имеем четыре 3-плоскости четырехмерного пространства. Они пересекаются в одной точке K, если 
система (3) совместна.
Геометрически решение этой системы можно толковать как определение точки K пересечения гиперплоскости ∑3, заданной первым уравнением системы 
(3) и прямой l, заданной системой последних трех ее 
уравнений.
Эту систему трех уравнений с четырьмя неизвестными путем элементарных преобразований приводим 
к системе уравнений

GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 3–4. 8-12
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3–4. 2013