Математический анализ в вопросах и задачах

Бутузов В.Ф.
Крутицкая Н.Ч.
Медведев Г.Н.
Шишкин А.А.




Математический анализ в вопросах и задачах








МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517
ББК 22.16
     М34






   Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб, пособие/ В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г. Н. Медведев, А. А. Шишкин; Под ред. В.Ф. Бутузова. — 5-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 480 с. — ISBN 5-9221-0284-2.

   Пособие охватывает все разделы курса математического анализа функций одной и нескольких переменных. По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями.
   Четвертое издание — 2001 г.
   Для студентов высших учебных заведений.



   Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор
А. И. Прилепко (Московский инженерно-физический институт)























© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001, 2002

ISBN 5-9221-0284-2

                     © В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Т.Н. Медведев, А.А. Шишкин, 2000, 2001, 2002

   ПРЕДИСЛОВИЕ

   Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения семинаров по математическому анализу на физическом факультете МГУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести семинары.
   Пособие охватывает основные разделы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных. Оно не является сборником задач в обычном смысле слова. Как следует из его структуры, назначение пособия — помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. Материал каждого параграфа разбит, как правило, на четыре пункта.
   В пункте “Основные понятия и теоремы” приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. Формулировки определений и теорем соответствуют в большинстве случаев учебнику В.А. Ильина и Э.Г. Позняка “Основы математического анализа”. Иногда после формулировки определения или теоремы даются поясняющие примеры или комментарии, чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий. Там, где это возможно, авторы старались указать на физическую интерпретацию и физические приложения математических понятий. В наибольшей мере это относится к главе XV.
   В пункте “Контрольные вопросы и задания” содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение пункта — помочь студентам в самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать возможность самостоятельно проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспектам лекций. Однако для решения задач часто достаточно понимания сути теоремы (или формулы). Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этой сути. Из этого пункта преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности студентов к семинару по той или иной теме.
   В пункте “Примеры решения задач” разобраны типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории. При этом большое внимание уделяется обсуждению не только “техни-

Предисловие


ческих приемов”, но и различным “тонким местам”, например условиям применимости той или иной теоремы или формулы. Количество разобранных примеров варьируется в зависимости от объема и важности темы. Иногда здесь дается ответ на вопрос, поставленный в предыдущем пункте.
   Назначение последнего пункта — “Задачи и упражнения для самостоятельной работы” — определено его названием. Авторы ограничились определенным минимумом упражнений, достаточным для усвоения основных приемов решения задач по каждой теме. При подборе упражнений были использованы различные источники, в том числе широко известные задачники, например “Сборник задач и упражнений по математическому анализу” Б.П. Демидовича. Поэтому многие задачи данного пособия не претендуют на оригинальность, хотя среди них есть целый ряд новых. В конце книги даны ответы и указания к задачам и упражнениям.
   При подготовке данной книги были устранены замеченные в предыдущем издании опечатки и неточности.
   Начало и конец решений задач отмечаются соответственно знаками △ и ▲, а вместо слова “Указание” употребляется знак *.
   Авторы надеются, что пособие поможет студентам в овладении методами математического анализа при их самостоятельной работе над предметом. Они также выражают надежду, что пособие будет полезным для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримут все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания.

Авторы

  ГЛАВА I


  ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА







   § 1. Сравнение вещественных чисел

   Основные понятия
   1.    Представление вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Любое вещественное число а представимо в виде бесконечной десятичной дроби:

а = ±ао, Л]_а2...ап...,

где из двух знаков ± берется какой-то один: плюс — для положительных чисел, минус — для отрицательных чисел (знак плюс обычно не пишется).
   Рациональные числа представимы в виде периодических, а иррациональные числа — в виде непериодических бесконечных десятичных дробей. Некоторые рациональные числа представимы в виде конечной дроби или, что то же самое, в виде бесконечной дроби с нулем в периоде. Такие числа допускают второе представление — в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например,

1/2 = 0,500...0... = 0,5(0), 1/2 = 0,4999...9... = 0,4(9).

При сравнении вещественных чисел будем пользоваться для таких рациональных чисел лишь первой формой записи (с нулем в периоде).
   2.    Правило сравнения вещественных чисел. Пусть а = = ±а₀,          и Ь = ±&₀, bib2--bₙ... — произвольные вещественные
числа, представленные в виде бесконечных десятичных дробей.
   Числа а и b называются равными (а = &), если они имеют одинаковые знаки и справедливы равенства ад, = bk (к = 0,1,2,...). В противном случае считается, что а Ь.
   При сравнении неравных чисел а и b рассмотрим три случая:
   1)    а и b — неотрицательные числа. Так как а Ь, то существует натуральное п (или п = 0) такое, что ад, = Ьд, (к = 0, l,...,n— 1) и ап гк,- Будем считать, что а > Ь, если ап > Ьп, и а < Ь, если ап <Ьп;
   2)    а — неотрицательное, Ъ — отрицательное число. Будем считать, что а > Ь;
   3)    а и b — отрицательные числа. Будем считать, что а > Ь, если |а| < |Ь|, и а < Ь, если |а| > |Ь|.

Гл. I. Вещественные числа

   3.    Некоторые числовые множества. Вещественные числа можно изображать точками на координатной прямой *). Поэтому множество всех вещественных чисел называют числовой прямой, а сами числа — точками, и при рассмотрении числовых множеств часто пользуются их геометрической интерпретацией.
   Будем использовать следующие обозначения и терминологию:
   N — множество всех натуральных чисел-,
   Z — множество всех целых чисел-,
   R = (—оо, +оо) — множество всех вещественных чисел (числовая прямая);
   [а, 6] — сегмент (отрезок), т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а х Ь;
   (а, Ь) — интервал, т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь;
   [а, Ь), (а, Ь] — полуинтервал (полусегмент), т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих соответственно неравенствам а х < Ь, а < х Ь;
   [а, +оо), (а, +оо), (—оо,а], (—оо,а) — полупрямая, т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих соответственно неравенствам а х < +оо, а < х < +оо, —оо < х а, —оо < х < а-, сегмент, интервал, полуинтервал, полупрямую и числовую прямую будем называть также промежутком-,
   окрестность точки с — любой интервал, содержащий точку с;
   Е-окрестность точки с — интервал (с — е, с + е), где е > 0.

   Контрольные вопросы и задания
1. В чем состоит различие бесконечных десятичных дробей, представляющих рациональные и иррациональные числа?
2. В каком случае два числа называют равными?
3. Верны ли равенства 0,41(9) = 0,42(0) = 0,42?
4. Сформулируйте правило сравнения двух неравных чисел.

   Примеры решения задач
   1.    Доказать, что для любых вещественных чисел а и b (а < Ь) найдется рациональное число с такое, что а < с < Ь.
△ Пусть для определенности числа а и b положительны, т. е.
а = do,         >0, b = b₀, b^-.-bp--- > 0.
Если какое-нибудь из них является рациональным числом, выражающимся дробью с периодом 9, то запишем его в виде дроби с периодом 0. По условию а < Ь. Это означает, что существует неотрицательное целое число п такое, что ад, = Ьр (к = 0,1, ...,п — 1) и ап < Ьп.

*) Напомним, что координатной прямой называется прямая, на которой выбраны точка, являющаяся началом отсчета, масштабный отрезок и положительное направление.

§2. Точные грани числового множества

7

Поскольку цифра 9 не является периодом числа а, найдется натуральное число i > п такое, что а, 9.
   Рассмотрим рациональное число с = Со, CiC2...Cj, где ср = ар (к = 0,1,i — 1), сц = at + 1. Число с больше а, так как сд, = ар (к = 0,1,г — 1), Ci = а, + 1 > а,, и меньше 6, так как ср = ар = Ьр (fc = 0,1, ...,п — 1), сп= ап<Ъп. Итак, существует рациональное число с такое, что а < с < Ь. ▲
   2.    Доказать, что для любых вещественных чисел а и Ь (а < Ь) найдется иррациональное число а такое, что а < а < Ь.
△ При предположениях примера 1 рассмотрим число


             а = с₀, С1С₂...сд010010001... OOO^lOOO^MJl... п п+1
Эта дробь, очевидно, непериодическая (объясните, почему), т. е. а — иррациональное число. Это число больше а, так как ср = ар (к = = 0,1,..., г — 1), Ci = ai. +1 > ai, и меньше Ь, так как ср = Ьр (к = 0,1,п — 1), сп = ап < Ьп. Итак, существует иррациональное число а такое, что а < а < Ь. ▲


   Задачи и упражнения для самостоятельной работы


1. Докажите, что V8 есть иррациональное число.
2. Представьте дробь 31,2 (88) в виде обыкновенной.
3. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, не имеющую цифры 9 в периоде, можно получить как результат деления двух натуральных чисел.
4. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, имеющую в периоде цифру 9, нельзя получить как результат деления двух натуральных чисел.
5. Докажите, что для любых двух вещественных чисел а и Ь (а / Ь) существует бесконечно много как рациональных, так и иррациональных чисел, заключенных между ними.
в. Докажите транзитивность знаков =, >, т. е.: а) если а = Ь и b = с, то а = с; б) если а > b и Ь > с, то а > с.
7. Докажите, что для любого числа а справедливы неравенства —1«| $7 а $7 +4
8. Докажите, что если х $7 у, то — х —у.



   § 2. Точные грани числового множества.
Применение символов математической логики

   Основные понятия и теоремы
   1. Об использовании некоторых логических символов.
Пусть X — непустое множество вещественных чисел.
   Определение. Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М (т) такое, что для любого числа

Гл. I. Вещественные числа

х из множества X выполняется неравенство х М (х гп). Число М (т) называется верхней (нижней) гранью множества X.
   В этом определении, а также в формулировках многих других определений и теорем используются слова “существует” и “для любого”. Для краткости записи вместо этих слов будем использовать логические символы 3 и V.
   Символ 3 называется квантором существования, а символ V — квантором всеобщности. Тот факт, что число х принадлежит (не принадлежит) множеству X, будем обозначать так: х € X (х X).
   С помощью указанных символов определение ограниченного сверху множества можно записать так: множество X называется ограниченным сверху, если ЗМ G R такое, что V.r € X выполняется неравенство х М, или (еще более кратко)
эм е R УхеХ: х^М.                        (1)
   Использование кванторов не только сокращает запись, но и позволяет весьма простым способом строить отрицания предложений (определений, утверждений), записанных с помощью кванторов. Проиллюстрируем этот способ на примере отрицания определения ограниченного сверху множества. Иначе говоря, сформулируем определение неограниченного сверху множества. Неограниченность сверху множества X означает: не существует числа М такого, что для любого х € X выполняется неравенство х М. Это значит, что для любого числа М существует х € X, для которого х > М. Поэтому определение неограниченного сверху множества с помощью кванторов можно записать так: множество X называется неограниченным сверху, если
VM е R 3 х G X: х > М.                   (2)
   Сравнивая (1) с (2), мы видим, что для построения отрицания предложения (1) нужно квантор 3 заменить на V, а квантор V на 3 и стоящее после двоеточия неравенство заменить ему противоположным.
   Это правило можно использовать и для построения отрицаний любых других утверждений, содержащих кванторы 3 и V.
   2. Точные грани числовых множеств.
   Определение. Число х называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества X, если: 1°) V.r G X: х х; 2°) Vi < х З.г G X: х > х.
   Условие 1°) означает, что х — одна из верхних граней множества X, а условие 2°), что х — наименьшая из верхних граней множества X, т. е. никакое число х, меньшее х, уже не является верхней гранью. Точная верхняя грань множества X обозначается supX.
   Аналогично определяется точная нижняя грань*) ограниченного снизу множества X; она обозначается infX.

*)В некоторых учебниках по математическому анализу точная верхняя (нижняя) грань называется просто верхней (нижней) гранью.

§2. Точные грани числового множества

9

   Теорема. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
   Если множество X не ограничено сверху (снизу), то пишут supX = +оо (infX = —оо).
   Множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е.

ЭМ, т Ух е X: т х М.

(3)

   Контрольные вопросы и задания

1. Напишите с помощью кванторов определение ограниченного снизу множества. Постройте отрицание этого определения, пользуясь правилом построения отрицаний.
2. Дайте определение точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества.
3. Сформулируйте теорему о существовании точных граней числового множества.
4. Докажите единственность точных граней, т. е. что ограниченное сверху (снизу) множество имеет только одну точную верхнюю (нижнюю) грань.
5. Покажите, что точные грани могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Приведите примеры числовых множеств X, у которых: a) supX € X; б) supX X; в) inf X € X; г) inf X X. Имеет ли множество X в случаях а) и б) наибольшее, а в случаях в) и г) наименьшее число?
6. Что означает символическая запись: a) sup.Y = +оо; б) inf X = —оо?
7. Какое множество называется ограниченным?
8. Докажите, что следующее определение ограниченного множества эквивалентно (3): множество X называется ограниченным, если ЗА > О Ух е X- |ж| А.
9. Применяя правило построения отрицании к приведенному в задании 8 определению, сформулируйте определение неограниченного множества.



   Примеры решения задач

   1. Найти точную верхнюю грань интервала (0,1).
△ Число 1 является верхней гранью интервала (0,1), так как Ух <Е € (0,1): х < 1. Более того, Ух < 1 3а € (0,1): а > х. Действительно, если х 0, то У a G (0,1): а > х. Если х > 0, то, как показано в примере 1 § 1, на интервале (х, 1) найдется рациональное число а такое, что х < а < 1, т. е. За € (0,1): а > х. Таким образом, для числа 1 выполнены оба условия определения точной верхней грани. Следовательно, sup (0,1) = 1. Заметим, что найденная точная грань не принадлежит интервалу (0,1), т. е. sup (0,1) 0 (0,1), в то время как для промежутка (0,1] sup (0,1] = 1 G (0,1]. ▲
   2.    Найти точные грани множества всех правильных рациональных дробей т/п (т,п G N,т <п) и показать, что это множество не

Гл. I. Вещественные числа

имеет наименьшего и наибольшего элементов.
△ Пусть X — множество всех правильных рациональных дробей т/п. Так как Vm, п G N: т/п > 0, то число 0 — нижняя грань множества X. Более того,

Vi > 0

За G X: а < х.

(4)

   Действительно, если х > 1, то правильная рациональная дробь а = = 1/2 удовлетворяет условию (4). Если 0 < х < 1, то число х можно записать в виде бесконечной десятичной дроби:


5 = 0, Х1Х2...ХД;...,

причем Зп такое, что хп 0. Рациональное число


а = 0, XiX2---xₙ-i{xₙ — 1)1


согласно правилу сравнения вещественных чисел удовлетворяет неравенствам 0 < а < х < 1, т. е. является правильной рациональной дробью и удовлетворяет условию (4).
   Таким образом, для числа 0 выполнено и второе условие определения точной нижней грани числового множества. Итак, inf X = 0.
   Так как множество X содержит только правильные дроби, т. е. гп < п, то т/п < 1. Значит, число 1 — верхняя грань множества X. Более того, V.r < 1 Эт/п € X: т/п > х. Действительно, как было показано в примере 1 § 1, существует рациональное число х± такое, что х < Xi < 1. Так как х± < 1, то х± — правильная дробь: х± = = т/п (гп < п), т. е. х± € X. Следовательно, для числа 1 выполнены оба условия определения точной верхней грани числового множества. Итак, sup.Y = 1.
   Однако inf X = 0 $ X, поскольку т/п = 0 лишь при гп = 0, но 0 ‘1 N. Значит, множество X не имеет наименьшего элемента. Точно так же sup.Y = 1 0 X, поскольку т/п = 1 лишь при гп = п, что противоречит требованию правильности дроби. Значит, множество X не имеет наибольшего элемента. ▲


   Задачи и упражнения для самостоятельной работы

9. Пусть X и У — непустые множества вещественных чисел, причем X ограничено сверху, а У содержится в X. Докажите, что У также ограничено сверху и sup У Y sup.Y.
10. Найдите точные грани множества рациональных чисел х, удовлетворяющих неравенству х² < 2.
11. Пусть А — множество чисел, противоположных по знаку числам из множества В. Докажите, что: a) inf А = — sup В; б) sup А = — inf В.