Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии

513.73

22.151

71

.
.,
.
. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии.
.:
,
2004.
304
.
ISBN
5-9221-0442-X.

,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.

,
,
,
.

ISBN
5-9221-0442-X



,
2004



.
.
,
.
.
,
2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а 1. Введение в дифференциальную геометрию . . . . .
7
1.1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1. Мотивировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2. Декартовы и криволинейные координаты . . . . . . . . . . .
9
1.1.3. Простейшие примеры криволинейных систем координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2. Длина кривой в криволинейных координатах . . . . . . . . . . .
17
1.2.1. Длина кривой в евклидовых координатах . . . . . . . . . . .
17
1.2.2. Длина кривой в криволинейных координатах . . . . . . . .
19
1.2.3. Понятие римановой метрики в области евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.4. Индефинитные метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.3. Геометрия на сфере, плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . .
34

Г л а в а 2. Общая топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.1.1. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.1.2. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.1.3. Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.1.4. Фактортопология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.2. Связность. Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.2.1. Связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.2.2. Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.3. Компактные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.3.1. Компактные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.3.2. Свойства компактных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.3.3. Метрические компактные пространства. . . . . . . . . . . . .
62
2.3.4. Операции над компактными пространствами . . . . . . . .
62
2.4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы . . . . . .
63
2.4.1. Функциональная отделимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.4.2. Разбиение единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

Оглавление

Г л а в а 3. Гладкие многообразия (общая теория) . . . . . . . . .
68
3.1. Понятие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.1.1. Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.1.2. Функции замены координат. Определение гладкого
многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.1.3. Гладкие отображения. Диффеоморфизм . . . . . . . . . . . . .
77
3.2. Задание многообразий уравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.3. Касательные векторы. Касательное пространство . . . . . . .
85
3.3.1. Простейшие примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.3.2. Общее определение касательного вектора . . . . . . . . . . .
88
3.3.3. Касательное пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.3.4. Производная функции по направлению . . . . . . . . . . . . .
90
3.3.5. Касательное расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.4. Подмногообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.4.1. Дифференциал гладкого отображения . . . . . . . . . . . . . .
95
3.4.2. Локальные свойства отображений и дифференциал . . .
98
3.4.3. Вложение многообразий в евклидово пространство . . . 100
3.4.4. Риманова метрика на многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.5. Теорема Сарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Г л а в а 4. Гладкие многообразия (примеры) . . . . . . . . . . . . . 109
4.1. Теория кривых на плоскости и в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.1. Теория кривых на плоскости. Формулы Френе . . . . . . . 109
4.1.2. Теория пространственных кривых. Формулы Френе . . 114
4.2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы . . . . . 119
4.2.1. Первая квадратичная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.2. Вторая квадратичная форма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.3. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.4. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3. Группы преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.1. Простейшие примеры групп преобразований . . . . . . . . 140
4.3.2. Матричные группы преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3.3. Полная линейная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3.4. Специальная линейная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Оглавление
5

4.3.5. Ортогональная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.6. Унитарная группа и специальная унитарная группа . . . 154
4.3.7. Симплектическая некомпактная и симплектическая
компактная группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4. Динамические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.5. Классификация двумерных поверхностей . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5.1. Многообразия с краем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5.2. Ориентируемые многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.5.3. Классификация двумерных многообразий . . . . . . . . . . . 175
4.6. Двумерные многообразия как римановы поверхности алгебраических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Г л а в а 5. Тензорный анализ и риманова геометрия . . . . . . 197
5.1. Общее понятие тензорного поля на многообразии . . . . . . . 197
5.2. Простейшие примеры тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2.1. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2.2. Алгебраические операции над тензорами . . . . . . . . . . . 205
5.2.3. Кососимметричные тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.3. Связность и ковариантное дифференцирование . . . . . . . . . 215
5.3.1. Определение и свойства аффинной связности . . . . . . . 215
5.3.2. Римановы связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.4. Параллельный перенос. Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.4.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.4.2. Уравнение параллельного переноса . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.4.3. Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.5. Тензор кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.5.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.5.2. Координатное определение тензора кривизны . . . . . . . 238
5.5.3. Инвариантное определение тензора кривизны . . . . . . . 239
5.5.4. Алгебраические свойства тензора кривизны Римана . . 240
5.5.5. Некоторые приложения тензора кривизны Римана . . . . 243

Г л а в а 6. Теория гомологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.1. Исчисление внешних дифференциальных форм. Когомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.1.1. Дифференцирование
внешних
дифференциальных
форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Оглавление

6.1.2. Когомологии гладкого многообразия (когомологии де
Рама) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.1.3. Гомотопические свойства групп когомологий . . . . . . . . 255
6.2. Интегрирование внешних форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2.1. Интеграл дифференциальной формы по многообразию 260
6.2.2. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.3. Степень отображения и ее приложения . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.3.1. Степень отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.3.2. Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.3.3. Интегрирование форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.3.4. Гауссово отображение гиперповерхности . . . . . . . . . . . 269

Г л а в а 7. Простейшие вариационные задачи римановой
геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.1. Понятие функционала. Экстремальные функции. Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.2. Экстремальность геодезических . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.3. Минимальные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.4. Вариационное исчисление и симплектическая геометрия . 284

Г л а в а 1

Введение
в дифференциальную геометрию

1.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ

1.1.1. Мотивировка

Рассмотрим евклидово пространство размерности
, которое мы
в дальнейшем будем обозначать через
. Будем считать, что в нем
заданы декартовы координаты
относительно выбранного
и фиксированного ортонормированного базиса
. Напомним, что с декартовыми координатами тесно связано понятие
евклидова скалярного произведения — билинейной формы, сопоставляющей каждой паре векторов
вещественное число
, причем эта операция является симметричной, линейной
по каждому аргументу, а сама форма — положительно определенной. В декартовых координатах

Однако декартовых координат недостаточно для удобной аналитической записи многих конкретных задач. Конечно, когда мы
имеем дело с довольно простыми кривыми, например с окружностью или эллипсом, то их аналитическое выражение в декартовых
координатах является весьма простым. Но весьма часто, например в физических задачах, встречаются, скажем, траектории движения материальных точек в поле каких-либо сил, явное выражение которых в декартовых координатах затруднительно. Например,
следующее уравнение определяет в декартовых координатах спираль:

(рис. 1.1). Конечно, эта запись
не слишком сложна, но тем не менее эта кривая запишется значительно проще в другой, так называемой полярной системе координат
, связанных с декартовыми

Гл. 1. Введение в дифференциальную геометрию

(рис. 1.2). В этих координатах уравнение спирали принимает вид

, что позволяет сразу оценить характер движения точки по
траектории.

O
Рис. 1.1
Рис. 1.2

Укажем еще на одну задачу, где полярные координаты являются
полезными. Рассмотрим движение материальной точки на плоскости в центральном поле сил. Пусть центр находится в точке
,
—

Рис. 1.3

радиус-вектор движущейся точки,
—
его длина. Тогда координаты
и
будут какими-то функциями времени
.
Рассмотрим в точке
, имеющей полярные координаты
,
, два единичных ортогональных вектора: вектор
,
направленный по радиус-вектору точки,
и вектор
, ортогональный вектору
и направленный в сторону увеличения
угла
(рис. 1.3). Точкой будем обозначать дифференцирование по времени
.
Тогда, как известно из механики, движение материальной точки массы
в центральном поле сил на плоскости определяется следующим дифференциальным уравнением:
, где
— некоторая гладкая
функция от
.
Движение материальной точки задается двумя функциями:
,
. Легко убедиться в том, что при этом сохраняется
величина
. Это есть один из законов Кеплера, открытый при
изучении движения планет в Солнечной системе. Этой сохраняющейся величине можно придать прозрачный смысл. Кеплер ввел
удобное понятие: он назвал секториальной скоростью
скорость

1.1. Криволинейные системы координат
9

изменения площади
, заметаемой радиус-вектором
, т. е.
.

Тогда закон Кеплера формулируется так: в равные времена радиус-вектор заметает равные площади, иными словами, секториаль
ная скорость постоянна:

.
Аналогичным образом при решении задач механики и физики возникли и другие криволинейные координаты — цилиндрические, сферические и т. д. Изучая подобные способы задания точек
пространства набором вещественных чисел, можно заметить, что в
основе лежит общая идея, которую мы сейчас и опишем.

1.1.2. Декартовы и криволинейные координаты

Рассмотрим произвольную область в
. Напомним, что мы называем областью произвольное множество
в евклидовом пространстве, каждая точка
которого входит в
вместе с некоторым
шаром достаточно малого радиуса, имеющим точку
своим центром.
Рассмотрим второй экземпляр евклидова пространства, который
обозначим через
. Задать координаты точки
в области
—
значит сопоставить ей набор чисел, точку в
. Ясно, что соответствие должно удовлетворять естественным требованиям. В первую
очередь, нужно, чтобы различным точкам отвечали различные наборы координат.
Сопоставляя каждой точке
области
набор
вещественных
чисел, мы получаем
функций
, имеющих областью определения область
; здесь
— координаты в пространстве
. Обычно требуют, чтобы эти функции были непрерывны и даже гладки.
Итак, рассмотрим два экземпляра евклидова пространства:
с декартовыми координатами
и
с декартовыми координатами
; пусть
— область в
.
Определение 1. Непрерывной системой координат в области
евклидова пространства
называется набор функций
, задающих взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение области
на некоторую
область
в евклидовом пространстве
. Иными словами, этот
набор функций задает гомеоморфизм области
на область
.
Функции
будем называть координатами точки
относительно координатного отображения
.

Гл. 1. Введение в дифференциальную геометрию

Например, в качестве отображения
можно взять тождественное отображение:
.
Иногда будем записывать точку
с ее координатами
в виде
, предполагая, что уже задано координатное отображение
.
Среди всех непрерывных координатных отображений выделены
такие, которые задают гладкое отображение области
на область
,
т. е. все функции
являются гладкими функциями. Мы сразу перейдем к определению координат, у
которых гладкими являются оба отображения: как
, так и
. Напомним понятие матрицы Якоби гладкого отображения.
Пусть
— гладкое отображение, задаваемое функциями
.
Определение 2. Матрицей Якоби отображения
называется
функциональная матрица

...

составленная из частных производных от координат. Ее определитель будем обозначать через
и называть якобианом отображения
.
ЗАМЕЧАНИЕ. Обозначение
для матрицы Якоби не вызовет путаницы с дифференциалом функции
, поскольку дифференциал
гладкой функции соответствует матрице Якоби в этом частном случае. Матрица Якоби является переменной матрицей, т. е. зависит от
точки
из области
.
Определение 3. Регулярной системой координат в области
пространства
называется набор гладких функций
, задающих взаимно однозначное отображение области
на некоторую область
в пространстве
,
причем якобиан отображения
отличен от нуля во всех точках
области
.
Отличие от нуля якобиана отображения
 во всех точках области
означает, что отображение
, обратное к
, является гладким. Это следует из теоремы о системе неявных функций. Итак,
регулярная система координат задается двумя гладкими, взаимно обратными отображениями, устанавливающими гомеоморфизм
между областями
и
.