Типовые задачи математической статистики

Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ



С.В. НЕДЕЛЬКО, В.М. НЕДЕЛЬКО, Г.Н. МИРЕНКОВА





                ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
                СТАТИСТИКИ




Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия








НОВОСИБИРСК

2014

УДК 519.2(075.8)
      Н421
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент Э.Г Соснина канд. физ.-мат. наук, доцент АЛ. Ковалевский

Работа подготовлена кафедрой высшей математики для студентов II курса РЭФ


            Неделько С.В.


Н421 Типовые задачи математической статистики: учеб. пособие/ С.В. Неделько, В.М. Неделько, Г.Н. Миренкова. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2014. - 52 с.
         ISBN978-5-7782-2481-0
          Пособие содержит изложение методов решения ряда базовых задач математической статистики, а также задания для самостоятельной работы.

Неделько Светлана Валерьевна Неделько Виктор Михайлович Миренкова Галина Николаевна

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

Редактор ИЛ. Кескевич Выпускающий редактор ИП Брованова Корректор ИЕ. Семенова Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка С. Я. Ткачева
Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКИ)


Подписано в печать 30.06.2014. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 250 экз.
Уч.-изд. л. 3,02. Печ. л. 3,25. Изд. № 333/13. Заказ №      . Цена договорная


Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

УДК 519.2(075.8)

ISBN 978-5-7782-2481-0                         © Неделько С.В., Неделько В.М.,
                                                   Миренкова Г.Н., 2014
                                                © Новосибирский государственный технический университет, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ


1. Основные понятия из теории вероятностей и математической статистики .......................................................
2. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма...........
3. Точечные оценки параметров распределения..................
4. Доверительные интервалы для моментов. Доверительная вероятность
5. Оценивание параметров. Метод моментов.....................
6. Метод максимального правдоподобия.........................
7. Критерии согласия.........................................
8. Критерий отношения правдоподобия..........................
9. Задания практических работ................................
Ответы.......................................................
Приложение 1.................................................
Приложение 2.................................................
Приложение 3.................................................
Приложение 4.................................................
Библиографический список.....................................

..4
..7
12
14
19
23
26
32
38
43
46
47
48
49
50

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ


   В настоящем разделе вводятся основные используемые понятия из теории вероятностей и математической статистики. Приведенные определения включены как справочный материал, и их рассмотрение не заменяет изучения теоретического курса.
   Для чтения пособия желательно знакомство с теорией вероятностей и математической статистикой в рамках начальных курсов, например [1,2,4,5]. Допустимо, если при первом прочтении часть материала данного раздела останется непонятной. Это не препятствует изучению последующих разделов.
   Базовым понятием теории вероятностей является вероятностное пространство, которое включает множество элементарных исходов О, ст-алгебру Л событий и вероятностную меру Р.
   В качестве множества элементарных исходов может выступать любое конечное, счетное или континуальное множество Q.
   Алгебра событий есть некоторое множество, состоящее из подмножеств множества Q и удовлетворяющее определенным условиям, которые мы приводить не будем.

   Функция Р: Л ^ R называется вероятностной мерой, если: 1) VА еЛ, Р(А) > 0;
   2) Р(0) = 0, Р(Q) = 1;
   3) для попарно несовместных (непересекающихся)


ТО \ ТО



   Случайной величиной X - X(ю) называется измеримая функция X: Q ^ R. Измеримость здесь означает существование функции распределения F (х) - Р (X (ю) < х).


4

   Для пояснения содержательного смысла введенных понятий рассмотрим пример. Предположим, что исследуется концентрация яда в железах змей некоторого вида. Для этого ловится определенное количество змей и изучается их яд.
   В этом случае множество всех змей заданного вида можно отождествить с множеством Q, а конкретную пойманную змею - с элементарным исходом го. Факт поимки определенной змеи будет случайным событием. Событие - это подмножество исходов, поэтому рассматриваем подмножество, состоящее из одной змеи. Считаем, что для каждой змеи существует (определена) вероятность быть пойманной.
   Поскольку концентрация яда - это функция змеи, она также случайна. Для любого числа х можно определить вероятность того, что концентрация яда в железах случайной пойманной змеи не превзойдет х . Эта вероятность, по определению, есть значение функции распределения в точке х.
   Важным моментом является то, что Q - это множество не только реально существующих змей, но и всех змей, которые, по нашим представлениям, могли бы существовать. Такое соглашение нужно для того, чтобы иметь возможность оперировать с непрерывными случайными величинами. В противном случае, если рассматривать только существующих змей, то множество Q будет конечным, а все функции на этом множестве, в том числе случайные величины, - дискретными.
   При пользовании данным пособием читатель может иод случайной величиной понимать просто некоторую переменную X, для которой определена функция распределения. При этом иод функцией распределения достаточно понимать некоторую функцию F(х), такую что:
   1) F(-«) = 0;
   2) F(<ю) = 1;
   3) V а < b, Р (а < X < b) = F (b) - F (а) > 0;
   4) Vа, F(а - 0) = F(а).
   Величина Р(а < X < b) есть вероятность¹ попадания случайной величины X в интервал [а, b).
   Для системы случайных величин X₁,...,Xₙ определена совместная функция распределения F(х₁,..., хп) = Р(X₁ < х₁,...,Xₙ < хп).

    ¹ В рамках пособия свойство 3) можно использовать вместо определения вероятности.

5

    В математической статистике важную роль играют независимые случайные величины. Случайные величины называются независимыми, если их совместная функция распределения удовлетворяет условию F (xᵣ,..., хп ⁾ = Fₓ( Х₁) •... • Fₙ (хп ).
    Под выборкой понимается набор значений (х₁,...,хп), полученных как п независимых реализаций случайной величины X. Число п называется объемом выборки.
    Например, случайной величиной может быть измеряемое значение некоторой физической величины, тогда в качестве выборки будут выступать результаты п независимых измерений.
    В историческом значении термин «выборка» подразумевает выборку из так называемой генеральной совокупности. В примере со змеями генеральной совокупностью является множество всех змей, которых мы потенциально можем поймать, а выборку составляют фактически пойманные змеи.
    Заметим, что термин «генеральная совокупность» для нас не актуален, т. е. мы его не будем в дальнейшем использовать. Для простоты можно отождествлять генеральную совокупность с множеством элементарных исходов. В примере со змеями можно было бы генеральной совокупностью назвать множество реально существующих змей, но вряд ли такое понятие полезно для решения задач статистики. Дело в том, что фактически выборка производится, конечно, из множества реально существующих змей, но, поскольку мы не можем это множество описать и задать, приходится идеализированно считать, что выборка производится из множества «возможных» змей. Кроме того, сама совокупность реально существующих змей фактически есть случайная выборка из множества змей, которые потенциально могут появиться, поскольку рождение конкретной змеи - результат комбинации случайных факторов (полученный генетический материал, внешние условия).
    Итак, иод выборкой мы будем понимать просто набор случайных значений (реализаций) случайной величины и называть его выборкой из распределения.
    Под набором мы здесь понимаем упорядоченную последовательность. Это может показаться неожиданным, поскольку на практике порядок значений в выборке, как правило, не важен. Например, если мы перемешаем пойманных змей в клетке либо переставим результаты измерений свойств их яда, выводы не должны измениться. Тем не менее выборку мы должны записывать как последовательность значений, а не как множество.

6