Интеграл и тригонометрический ряд

УДК 517.52
ББК 22.161.5
Л 83

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 08-01-07069

Л у з и н
Н. Н.
Интеграл
и
тригонометрический
ряд.
—
М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 468 с. — ISBN 978-5-9221-1088-4.

Автор книги — один из крупнейших русских математиков первой половины
двадцатого столетия. С именем Н. Н. Лузина связано развитие большого раздела математики — теории функций действительного переменного, — возникшего
в самом конце XIX и начале XX века. Автор также явился создателем первой
в России большой математической школы.
В книге приведена диссертация Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд», в которой он получил решение ряда основных задач теории функций: задачи об отыскании примитивной функции, задачи об изобразимости
функции тригонометрическим рядом и задачи о нахождении гармонической
функции, голоморфной внутри круга и имеющей на окружности заданные
значения.
Наряду с результатами, диссертация содержит идеи и вопросы, определившие развитие теории функций действительного переменного на много лет
вперед. В сборнике также представлен ряд результатов Н. Н. Лузина, опубликованных им в статьях, тематически связанных с диссертацией.
Книга может быть рекомендована широкому кругу лиц, изучающих математику.

ISBN 978-5-9221-1088-4
c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2009

Предисловие к изданию 1951 года

Диссертация Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд»,
впервые опубликованная в 1915 г., замечательна не только богатством
содержания и общностью идей, но и тем, что в ней указаны были
пути, по которым должны идти исследования по метрической теории
функций. Она послужила на многие годы основным источником идей
для всех работавших в этой области. Поэтому переиздание этой книги
в серии «Библиотека русской науки» является весьма полезным.
Но ввиду того, что с момента первого издания диссертации
Н. Н. Лузина прошло много лет и теория функций значительно продвинулась вперед, в частности, ряд проблем, поставленных Н. Н. Лузиным,
теперь разрешен, представилось необходимым снабдить ее комментариями. Преждевременная смерть Н. Н. Лузина не позволила ему подготовить издание этой книги; таким образом, составление комментариев
мы, его ученики, взяли на себя. Желая сделать материал доступным
для возможно более широкого круга читателей, мы сочли полезным
дать доказательства тех теорем, которые Н. Н. Лузиным были пропущены за недостатком места, а также построить указанные им примеры 1).
В построении этих доказательств и примеров нам оказали существенную помощь Г. П. Толстов, Е. М. Ландис и В. А. Ходаков; мы
пользуемся случаем выразить им свою благодарность.
Для удобства читателя в настоящем издании публикуется еще ряд
статей Н. Н. Лузина по метрической теории функций действительного
переменного. Статьи «Об одном случае ряда Тейлора» и «К основной
теореме интегрального исчисления» помещены здесь потому, что автор отсылает к ним читателя своей диссертации. Статья «Об особом

1) В примечании 3 к стр. 31 своей диссертации Н. Н. Лузин пишет: «Все, кто
писали по теории функций действительного переменного, все те хорошо знают,
как трудно в такого рода вещах быть одновременно и строгим и кратким.
Поэтому здесь и в дальнейшем мы часто ограничиваемся простым утверждением существования примера такой-то и такой-то функции или ограничиваемся
указанием на справедливость такой-то теоремы (второстепенного значения),
желая возможно сократить размер нашей работы. Построение примеров функций, о которых идет речь, не требует особого искусства, а лишь технического
умения пользоваться методами теории функций действительного переменного.
Опускание фактического построения примеров различных функций совершенно аналогично тем пропускам аналитических преобразований, которые часто
делаются в работах в области классического анализа, когда эти преобразования
слишком длинны и требуют только технического умения».

Предисловие к изданию 1951 года

интеграле» никогда не была опубликована Н. Н. Лузиным и найдена
в его бумагах после его смерти (см. об этом подробнее в комментариях
к этой статье). Статья «Об одном виде сходимости интеграла Дирихле», написанная автором еще в 1926 г. и лишь случайно попавшая
в печать только в 1934 г., тесно связана с его идеями о причине
сходимости тригонометрических рядов. Наконец, статьи «О последовательностях измеримых функций» и «О строении измеримых функций»
были им помещены в качестве прибавлений к русскому изданию книги
Лебега «Интегрирование и отыскание примитивных функций». Мы их
помещаем также для удобства чтения, так как в них даны подробные доказательства ряда теорем, на которые Н. Н. Лузин лишь указал
в своей диссертации; кроме того, там высказаны и некоторые более
поздние его размышления.
Кроме указанных статей мы публикуем здесь список проблем, которые Н. Н. Лузин поставил перед собой в период, когда он подготовлял
свою диссертацию. Подробнее об этом см. на стр. 290 настоящего
издания.
В двух публикуемых ниже статьях содержатся биография Н. Н. Лузина и обзор его работ по метрической теории функций действительного переменного. Мы не говорим здесь совсем о работах Н. Н. Лузина
по дескриптивной теории функций, так как в скором времени будет
издана книга Н. Н. Лузина «Теория аналитических множеств» с комментариями Л. В. Келдыш и вводной статьей о работах Н. Н. Лузина по
дескриптивной теории функций.
Наконец, Н. Н. Лузин имел также ряд работ по теории функций комплексного переменного, по дифференциальным уравнениям, по
дифференциальной геометрии; всех этих работ мы также не касаемся
в настоящем издании, ограничиваясь лишь опубликованием полного
списка научных трудов Н. Н. Лузина и отсылая читателя к статьям на
соответствующие темы, которые должны появиться в «Успехах математических наук».
Цифры с круглыми скобками в тексте диссертации или статей
Н. Н. Лузина — это сноски, сделанные самим автором; эти сноски, как
и у автора, помещены в конце каждой страницы. Н. Н. Лузин иногда
отсылал читателя к доказательствам, опубликованным в некоторых
курсах по теории функций. Так как в его время не было таких курсов
на русском языке, он ссылался на «Cours d’Analyse» Валле-Пуссена
или «Le¸cons sur l’int´egration» Лебега. Для удобства читателя мы в
этих случаях указывали также соответствующий русский перевод или
другой учебник советского автора. Цифры в квадратных скобках в
тексте Н. Н. Лузина указывают на примечания редакторов; их надо
искать в комментариях к диссертации (или соответствующей статье)
в конце книги. Наконец, цифры в круглых скобках, помещенные в
комментариях, — это указания на список цитированной литературы,
помещенной в конце книги.
Н. К. Бари, Д. Е. Меньшов.

ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ
СТАТЬИ

Биография Н. Н. Лузина 1)

В. В. Голубев и Н. К. Бари

Николай Николаевич Лузин родился 9 декабря (27 ноября) 1883
года в Сибири в гор. Томске. Дед Николая Николаевича по отцу был
крепостным крестьянином графа Строгонова, отец, Николай Митрофанович Лузин, родом из села Сепыч Томской губернии, был торговым
служащим; мать, Ольга Николаевна Лузина, вела происхождение от
забайкальских бурят. Ольга Николаевна была женщина болезненная,
что отразилось и на здоровье сына.
«Начальное образование Н. Н. Лузин получил в частной школе гор.
Томска, по окончании которой он был принят в Томскую губернскую
гимназию еще до положенного возраста: ему едва минуло 8 лет.
Среднее образование получил в гимназиях гор. Иркутска, куда отец
Н. Н. Лузина уезжал на один год по делам службы, и затем снова
в Томской гимназии». «Любимым чтением Н. Н. Лузина в эти годы
были натуралисты и из романистов Жюль Верн, влияние которого
на интересы своего ума Н. Н. Лузин считал значительным. В старших
классах гимназии Н. Н. Лузин читал очень много и в самых разнообразных направлениях; книги по чистой философии увлекали его, давая
воображению обильную пищу. Но математики до самых последних лет
гимназии Н. Н. Лузин недолюбливал и боялся, так как царившая тогда
всюду система преподавания ее была построена более на механической
памяти: нужно было безукоризненно заучивать наизусть формулировки теорем и в точности памятью воспроизводить доказательства, по
возможности не отступая от текста книги («Геометрия» Давыдова,
«Алгебра» Киселева). Для Н. Н. Лузина это было трудно переносимой
мукой, так как механической памятью он совершенно не обладал;
по этой же причине для него были закрыты история, география и
языки, требовавшие запоминания времени, места и форм. Его занятия
по математике шли в гимназии хуже и хуже, так что он утратил
репутацию хорошего ученика, и отец вынужден был взять для него
«репетитора». К счастью, это был весьма талантливый студент только
что тогда открывшегося в г. Томске Политехнического института; он
произвел на Н. Н. Лузина сильнейшее впечатление тем, что показал

1) При составлении этой биографии была использована автобиография
Н. Н. Лузина, охватывающая период его жизни до 1930 г. (В настоящее время
эта автобиография находится в Математическом институте им. В. А. Стеклова
АН СССР.) Взятые из нее отрывки мы в нижеследующем тексте приводим в
кавычках.

Биография Н. Н. Лузина
9

ему математику не как систему механического заучивания, а как
систему рассуждений, направляемую живым воображением. С тех пор
он до некоторой степени утратил неприязнь к математике, перерешал
самостоятельно все имевшиеся тогда задачники по элементарной математике и, естественно, в этом отношении стал в гимназии на первое
место.
Из учителей Томской гимназии Н. Н. Лузин с теплым чувством
вспоминал
многих,
особенно
словесника
П. М. Вяткина,
«грека»
К. А. Лалетина и математика В. К. Бобова, которые сердечно относились к молодежи. Из товарищей по гимназии Николай Николаевич
был
дружен
с
С. А. Вознесенским
и
Г. А. Бухвостовым,
которые
также увлекались естествознанием, особенно химией, астрономией и
физикой, бывшей любимой наукой Н. Н. Лузина.
Н. Н. Лузин обладал очень слабым здоровьем и поэтому его почти
все время переводили из класса в класс по хорошим отметкам без
экзамена. По личному признанию Николая Николаевича, это для него
имело в дальнейшем самые плохие последствия, так как только при
подготовке к серьезному испытанию можно научиться как следует
работать, развить полную работоспособность, каковую средняя школа
не смогла ему дать, щадя его слабое здоровье. Гимназию Н. Н. Лузин
окончил в 1901 году и в том же году поступил на математическое
отделение физико-математического факультета Московского университета, Выбор этот был обусловлен желанием Николая Николаевича со
временем сделаться инженером, для чего он хотел сперва заложить солидный математический фундамент, так как побаивался математики».
Московский университет переживал в эти годы период перелома.
Если в восьмидесятых и девяностых годах даже такие передовые профессора, как знаменитый русский физик А. Г. Столетов, считали, что
идеалом университетского преподавания является прочное и основательное усвоение утвержденных программ, если молодой и талантливый С. А. Чаплыгин ушел в середине девяностых годов из университета
потому, что там нечего было читать, так как все обязательные курсы
разобраны, то как раз к началу девятисотых годов начала все более
и более проявляться совершенно другая тенденция: идеалом университетского преподавания стало вовлечение студентов в исследовательскую, научную работу. Как раз к этим годам относится зарождение
знаменитой лаборатории П. Н. Лебедева, которая через десять лет превратилась во всероссийский признанный центр физической науки, а
школа Лебедева дала десятки первоклассных физиков.
Те же тенденции, пока еще в робкой форме, проявились и у математиков. Как раз к первым годам текущего столетия относится начало
чтения блестящим лектором, живым и красноречивым Б. К. Млодзеевским, факультативного курса по теории функций действительного
переменного, по известному трактату Дини. В Московском университете впервые на лекциях Млодзеевского прозвучали такие термины,
как «множества», «мощность», «счетные» (тогда говорили «счетовые»)

Биография Н. Н. Лузина

множества и т. д. Еще через год, в 1902 году, в число приват-доцентов
вступил И. И. Жегалкин, и обо всех этих вещах вместе с «дедекиндовыми сечениями» услыхали уже не специалисты математики, а все
студенты первокурсники математического отделения.
«В Московском университете Н. Н. Лузин сразу же попал под влияние блестящей плеяды профессоров, из которых прежде всего нужно
указать геометров Б. К. Млодзеевского и К. А. Андреева, аналитика
Н. В. Бугаева и физика Н. А. Умова.
Н. Н. Лузин сделал сначала попытку стать физиком, но в физической лаборатории Н. А. Умова тогда не хватило мест. Тем временем блестящие лекции по чистой математике стали производить на
Н. Н. Лузина чарующее впечатление, и математика уже в первые же
полгода ему внезапно открылась с совсем другой стороны, представ не
как система заучивания сложившихся истин и решения бесчисленных
задач с давно уже известными ответами, но как необъятное поле
живого творчества. Николай Николаевич всегда сравнивал положение
ученого, ведущего творческую жизнь, с состоянием Колумба, отправившегося искать новые страны и могущего каждый момент сделать
крупное открытие. Пред ним математика открылась не как законченная
наука, а как наука творческая, с далями, полными заманчивой тайны».
В Московском университете Н. Н. Лузин как одаренный студент
сразу же обратил на себя внимание профессоров. Он, будучи еще студентом младших курсов, был избран секретарем студенческого Математического кружка, председателем которого был знаменитый механик
Н. Е. Жуковский. В этом кружке разрабатывались вопросы, представлявшие в то время особую научную актуальность. Н. Н. Лузин и его
университетский товарищ С. С. Бюшгенс были активными участниками
этого кружка; у них преобладали в докладах вопросы обоснования математики, вопросы теории множеств, вопросы арифметизации математики, которые тогда привлекали внимание математиков, и начинавшие
вызывать интерес вопросы аксиоматики. На заседания кружка часто
приходили профессора Б. К. Млодзеевский, Д. Ф. Егоров и только что
вступивший в число приват-доцентов И. И. Жегалкин. Б. К. Млодзеевский огорчался тем, что студенты в кружке вместо изучения вопросов
теории уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии и т. п. остановились на самых основных понятиях анализа и не
идут дальше.
Теория функций тогда едва только начала проникать в Московский
университет в виде отдельных докладов приват-доцентов, вызывая у
одних глубокое изумление перед новизной идеи (учения об актуальной
бесконечности), у других — чувство отвращения перед кажущимися
экстравагантностями мышления.
В весеннем полугодии 1905 года, в связи с ростом революционного
движения, университет забастовал; занятия прекратились. Революционные выступления рабочих и крестьян, восстания в армии и флоте,
скандальные военные поражения царского правительства все более

Биография Н. Н. Лузина
11

и более накаливали общественную атмосферу. Ни в какой мере не
разрядили ее и половинчатые реформы правительства: булыгинская
дума осени 1905 года. Университет шумел, как улей; занятия осенью
1905 года то начинались, то прекращались. Аудитории превратились в
место сходок и массовой агитации.
В первые годы университетской учебы Н. Н. Лузин снимал номер в
гостинице «Кокоревское подворье», там же, где жили и его родители.
Теперь же, увлеченный бурным потоком общественного подъема, он
тоже пытается принимать некоторое участие в революционном движении. В таких условиях проживание у всех на виду, в большой
гостинице, было явно неудобным, и по рекомендации кого-то из товарищей Н. Н. Лузин снял комнату на Арбате, в семье вдовы врача
Малыгина. Семья состояла из старушки-вдовы Малыгиной и ее дочери
Надежды Михайловны. Дом был тихий, внимание полиции не привлекал, и в бурные дни октября 1905 года перед появлением виттевского
манифеста «17-го октября» в комнате Н. Н. Лузина не только ночевали
нелегальные лица, но под его кроватью одно время был даже склад
бомб...
Как известно, манифест «17-го октября» не только не разрядил
обстановки, но усилил общее недовольство и революционное напряжение. Университет, возобновивший работу с осени 1905 года, опять
решительно забастовал. В стране шла подготовка к вооруженному восстанию, — было совершенно ясно, что ожидать возобновления занятий
в университете в ближайшие месяцы не приходится.
Все это время Н. Н. Лузин не прерывал занятий под руководством
профессора Д. Ф. Егорова, проявлявшего большое внимание к его научной работе. При создавшейся обстановке Д. Ф. Егоров посоветовал
Н. Н. Лузину во время перерыва в университете поехать учиться в
одном из заграничных университетов; Д. Ф. Егорову удалось найти
другого студента, который бывал за границей и немного владел французским и немецким разговорным языком 1), и в первых числах декабря
Н. Н. Лузин и его спутник уехали в Париж.
В Париже Н. Н. Лузин пробыл до конца летнего семестра 1906 года,
и все эти полгода пребывания за границей прошли в упорной и систематической работе. Лекций он слушал немного. В Сорбонне он слушал
Бореля, который читал теорию целых функций, лекции знаменитого
Пуанкаре по разложениям в ряды пертурбационных функций небесной
механики. По словам Н. Н. Лузина, лекции Пуанкаре производили на
него потрясающее впечатление вследствие живого творчества во время
самого процесса лекций. Кроме того, в Coll`ege de France Н. Н. Лузин
слушал Адамара, который читал теорию распространения волн. Иногда
ходил на лекции Дарбу по теории поверхностей. Но он упорнейшим образом работал над изучением математической литературы в библиотеке

1) В. В. Голубев.

Биография Н. Н. Лузина

Сорбонны, в Национальной библиотеке и в библиотеке Св. Женевьевы.
Изучению научных вопросов посвящалось буквально все время. В размышлениях над научными вопросами Н. Н. Лузин просиживал целые
ночи; часто поздно восходящее зимнее солнце заставало его еще за
работою.
Несомненно, что в это время у Н. Н. Лузина зрели те идеи, которые
много спустя приобрели законченную форму в его замечательной диссертации. Вопросы теории множеств, теории функций действительного
переменного занимали во всей этой работе основное место.
Жил он в это время очень скромно. Обедал в русской студенческой
столовой на rue St. Jacques и на обед полагалось 40 сантимов.
В театры не ходил — было не по средствам. Единственным развлечением было посещение по праздникам замечательных парижских
музеев, картинных галерей Лувра и музея современной живописи и
скульптуры Франции в Люксембургском дворце. Только изредка он
позволял себе под праздник пойти в «танцульку», и за двадцать сантимов полюбоваться, как пляшут и веселятся французские студенты и
прочее население Латинского квартала.
Н. Н. Лузин вернулся в Россию летом 1906 года. В конце того же
года он сдал государственный экзамен и был оставлен Д. Ф. Егоровым
при университете «для приготовления к профессорскому званию».
В 1907 году Н. Н. Лузин женился на Надежде Михайловне Малыгиной.
За время обучения в университете Н. Н. Лузиным было прочитано
и изучено много труднейших и глубоких трактатов по самым различным областям математики, так что он был хорошо подготовлен
к магистерским экзаменам еще на студенческой скамье. «Время же
оставления при университете он употребил на слушание лекций на
медицинском факультете, куда намеревался поступить, чтобы впоследствии идти в народ, но потом был вынужден оставить этот план,
так как работа в анатомическом театре оказалась ему не по силам.
Тогда он перешел к слушанию лекций на философском отделении
историко-филологического факультета, который через год оставил, потому что лекции по философии не давали указания на возможность
творчества».
После этого Н. Н. Лузин вернулся к математике. К 1909 году он
сдал так называемые магистерские экзамены и получил существовавшее тогда звание «магистранта» вместе с правом преподавания в высшей школе по прочтении двух пробных лекций, одной по собственному
выбору, второй по назначению факультета. Н. Н. Лузин прочел пробные
лекции и предполагал с осени 1910 года читать в университете курс
теории функций действительного переменного, но оказалось, что такой
курс уже был объявлен С. С. Бюшгенсом, который держал экзамены
одновременно с Н. Н. Лузиным; тогда по совету Б. К. Млодзеевского
Н. Н. Лузин объявил курс по теории интегральных уравнений. Читать этот курс ему не пришлось, так как в это время он получил