Об импульсных дифференциальных уравнениях с запаздыванием

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.988.6
c
⃝Т. В. Жуковская
ОБ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1
Получены условия непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений с запаздыванием от момента и величины импульсного воздействия. Исследование основано на общих утверждениях о разрешимости уравнений с вольтерровыми операторами и непрерывной зависимости их решений от параметров,
полученных в работе [1].
Ключевые слова: импульсные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с запаздыванием, непрерывная зависимость решений от параметров уравнений.
Пусть L([a, b], Rn)  пространство суммируемых функций t →y(t) из
a
[a, b] в Rn с нормой ∥y∥L =
Z b
¯
¯y(s)
¯
¯ ds;
AC([a, b], Rn)  пространство абсолютно непрерывных функций x : [a, b] →Rn, имеющих при почти всех
t производную ˙
x ∈L([a, b], Rn), с нормой ∥x∥AC = |x(a)|+∥˙
x∥L. Зафиксируем T0 ∈(a, b) и обозначим ACS([a, b], Rn, T0)  метрическое пространство функций, каждая из которых x : [a, b] →Rn может иметь разрыв
не более чем в одной (любой) точке T = T(x) ∈(a, b), где непрерывна
слева и имеет предел справа, в остальных точках дифференцируема, причем ее производная
˙
x ∈L([a, b], Rn). Обозначим j(x) величину скачка
функции x ∈ACS([a, b], Rn), то есть j(x) = x(T + 0) −x(T). Метрику в
ACS([a, b], Rn, T0) определим равенством
ρACS(x, u) = ∥˙
x −˙
u∥+ |x(a) −u(a)| + |T(x) −T(u)| + |j(x) −j(u)|.
В этой формуле считаем j(x) = 0 и T(x) = T0, если функция x непрерывна.
Рассмотрим задачу
˙
x(t) = f
¡
t, x(t), x(h(t))
¢
,
t ∈[a, b],
x(t) = ϕ(t),
если
t /
∈[a, b],
x(a) = α,
T(x) = T,
x(T + 0) −x(T) = ϕ(T, xT ).
(1)
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 07-01-00305.