Об импульсных дифференциальных уравнениях с запаздыванием


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.988.6


© Т. В. Жуковская




                ОБ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ¹




Получены условия непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений с запаздыванием от момента и величины импульсного воздействия. Исследование основано на общих утверждениях о разрешимости уравнений с воль-терровыми операторами и непрерывной зависимости их решений от параметров, полученных в работе [1].

Ключевые слова: импульсные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с запаздыванием, непрерывная зависимость решений от параметров уравнений.


   Пусть L([a,b], Rⁿ) — пространство суммируемых функций t ^ y (t) из


С
= I y⁽s ⁾| a a

[ a,b] в Rⁿ с нор мой ||y||L

ds;

AC ([a,b], Rⁿ) — пространство аб


солютно непрерывных функций x : [a,b] ^ Rⁿ, имеющих при почти всех


t производную x L L ([ a,b], Rⁿ), с нор мой ||x||AC = |x (a) | + ||x ||L. Зафиксируем T0 Е (a,b) иобоз начим ACS ([ a,b ], R ⁿ,T0)—метрическое пространство функций, каждая из которых x : [a, b] ^ Rⁿ может иметь разрыв не более чем в одной (любой) точке T = T (x) Е (a,b), где непрерывна


слева и имеет предел справа, в остальных точках дифференцируема, причем ее производная X L L ([a,b], Rⁿ). Обозначим j(x) величину скачка функции x Е ACS([a,b], Rⁿ), то eсть j(x) = x(T + 0) — x(T). Метрику в ACS([a, b], Rⁿ, T0) определим равенством


     Pacs(x, u) = ||<г — u|| + |x(a) — u(a)| + IT(x) — T(u)| + |j(x) — j(u)|.


В этой формуле считаем j(x) = 0 и T (x) = T0, если функция x непрерывна.
    Рассмотрим задачу
x(t) = f (t,x(t),x(h(t))), t Е [a,b],
                 x(t) = <p(t), если t Е [a,b], x(a) = a,                  (1)
T (x) = T, x (T + 0) — x (T) = ^ (T, xT).

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 07-01-00305.