Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2007, №31

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

1

 
УДК 517.968 
UDC  517.968 
 
О ПОВЫШЕНИИ ДОСТОВЕРНОСТИ 
РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 
ПРИ БЕЗОТБОРНОЙ ДИАГНОСТИКЕ 
НАНОЧАСТИЦ 
 

ABOUT INCREASING OF CONFIDENCE OF 
INTEGRAL EQUATION DECISION UNDER 
SELECTIONLESS DIAGNOSTICS OF NANO- 
PARTICLES 

Мышкин Вячеслав Федорович 
д.ф.-м.н., профессор   
 

Myshkin Vyacheslav Fedorovich 
Dr. Sci. Phys.-Math., professor 

Власов В. А. 
 д.ф.-м.н., профессор  
 

Vlasov V.A. 
Dr. Sci. Phys.-Math., professor 

Хан Валерий Алексеевич 
д.т.н.  
 

Khan valery Alexeevich 
Dr. Sci. Tech. 

Тихомиров И. А. 
д.ф.-м.н., профессор  
 

Tikhomirov I.A. 
Dr. Sci. Phys.-Math., professor 

Бурдовицын Антон Николаевич 
 аспирант 
 

Burdovitsin Anton Nikolaevich 
post-graduate student 

Томский политехнический университет, Томск, 
Россия 
 

Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russia 

Представлены результаты экспериментальных исследований наночастиц методом лазерной диагностики. Впервые предложен новый алгоритм обработки спектров пропускания частиц. Показано, что 
можно получать гистограммы распределения по 
размерам с высокой достоверностью при высокой 
экспериментальной погрешности. 
 

Results of experimental researches of nanoparticles by 
the method of laser diagnostics were presented. A new 
algorithm of processing of particle transmission bands 
was offered at the first time. It was shown, that it was 
possible to get allocation bar charts according to their 
sizes with high confidence under high experimental inaccuracy. 

Ключевые слова: ПОВЫШЕНИЕ, 
ДОСТОВЕРНОСТЬ, РЕШЕНИЕ,  
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,   
ДИАГНОСТИКА, НАНОЧАСТИЦА. 
 

Key words: INCREASING, CONFIDENCE, 
DECISION, INTEGRAL EQUATION, 
DIAGNOSTICS, NANOPARTICLE. 

 
Гранулометрический состав аэрозолей оказывает существенное влия
ние на перенос оптического излучения в атмосфере, определяет физико
химические процессы в гетерогенных (газодисперсных) системах. 

Используется множество методов диагностики дисперсных частиц пу
тем отбора проб. Например, седиментация уловленных частиц, осаждение 

на фильтрах и анализ под микроскопом. При этом недостаточно разрабо
таны методы безотборной диагностики, которые позволяли бы определять 

гранулометрический состав, и не искажали бы физико-химичесие процес
сы, протекающие в гетерогенных системах. Лазерная диагностика отно

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

2

сится к одному из наиболее эффективных безотборных методов. 

Основные вопросы взаимодействия оптического излучения с одиноч
ной дисперсной частицей и соотношения для расчета интенсивности рас
сеянного в разных направлениях света на малых частицах впервые рас
смотрены в работе [1]. Теоретической основой интегральных оптических 

методов диагностики дисперсности аэрозолей является решение инте
грального уравнения Фредгольма первого рода. Задача сводится к числен
ному решению с помощью вычислительных машин обратной задачи рас
сеяния зондирующего оптического излучения.  

К обратным методам оптики аэрозолей относятся: метод спектральной 

прозрачности (МСП), метод малых углов (ММУ), метод обращения пол
ной индикатрисы рассеяния (МПИ) и лидарные дистанционные методы 

диагностики гранулометрического состава аэрозолей. 

Например, задача обработки экспериментальных индикатрис рассея
ния сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма первого 

рода: 

(
) ( )
( )
θ
ρ
ρ
θ
ρ
σ
I
d
f

b

a
=
∫
,
,  
 
 
(1) 

где σ  (ρ,θ) – ядро интегрального уравнения – эффективное сечение рас
сеяния дисперсных частиц; f (ρ) – функция распределения дисперсных час
тиц по размерам; I (θ) – индикатриса рассеяния. При неточно известных 

значениях величин ядра интегрального уравнения и его правой части инте
гральные уравнения могут иметь множество решений, т.е. задача некор
ректна [2]. В операторном виде уравнение (1) имеет вид: 

Ay = f  
y ∈ Y,  f ∈ F, 
 
 
(2) 

где Y, F – некоторые метрические пространства, А – непрерывный опера
тор, отражающий метрические пространства Y на F.  

На практике, как правило, экспериментальные данные представлены 

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

3

измерениями в конечном числе точек. Тогда интегральное уравнение мо
жет быть заменено матричным. В качестве приближенного регуляризован
ного решения матричного уравнения берется вектор S, минимизирующий 

функционал Тихонова, который может быть записан в следующем виде 

[2]: 

(
)

∆

−
+
∆
+
−
=
∑
∑
∑ ∑

−

=

−

=
=
=

1

1

2
1

1
1
2
/

2

1
1

n

j
j

j
j
n

j
j
j
o

m

i
i

n

j
ij
s
s
p
s
p
s
A
M
α
µ
α
, 
(3) 

где Aij – матрица эффективных факторов рассеяния (ослабления), µi – мат
рица экспериментальных значений, α – параметр регуляризации. 

Вектор регуляризованного решения Sα, минимизирующий функционал 

Тихонова, удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений: 

(
)
µ
α
*
*
A
s
H
A
A
=
+
×
.  
 
 
(4) 

Здесь А* – матрица, транспонированная к матрице А.  

Сглаживающая матрица Н имеет вид: 

1
1
1
T
h
p
hT
p
H
o
o
−
+
=
,  
 
 
(5) 

где ро, р1 – масштабные множители, соответственно равные (r2 - r1) и  

(r2 - r1)3, r1, r2 – границы интервала радиусов дисперсных частиц. 

Важным и достаточно сложным вопросом при построении регуляри
зованного решения является выбор величины параметра регуляризации α. 

При малых значениях α решаемое уравнение близко к исходному. С дру
гой стороны, при очень малом α, в силу малой информативности оптиче
ских измерений и наличия ошибок, полученное решение будет сглажен
ным (или вовсе не иметь физического смысла). Параметр регуляризации α 

в уравнении (3) зависит от уровня ошибок экспериментальных данных. 

Наиболее простыми являются: выбор параметра регуляризации α по не
вязке, поиск квазиоптимального значения α. 

На основе известных алгоритмов решения обратной задачи нами был 

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

4

сформирован программный комплекс для обработки экспериментальных 

спектров коэффициентов пропускания различных аэрозолей [3]. 

Тестирование программы обработки экспериментальных данных про
водили в два этапа. На первом этапе выполнялись расчеты по схеме: дис
персность → спектр пропускания → дисперсность при различных уровнях 

вносимых в спектр пропускания случайных и систематических ошибок. 

Установлено, что при суммарной экспериментальной ошибке, не превы
шающей 10 %, расчетная погрешность, вносимая программой обработки 

спектров, не превышает 25 %. На втором этапе сопоставлялись данные о 

дисперсности в счетном объеме, получаемые из анализа процессов седи
ментации различных фракций ультрадисперсного порошка (УДП) меди в 

циклогексане и обращением интегрального уравнения с регистрируемыми 

в те же моменты времени коэффициентами пропускания этой суспензии. 

Для тестирования программы обработки спектров был разработан 

экспериментальный стенд (рисунок 1), состоящий из источника широкого 

спектра (лампа накаливания), объектива "Гелиос-44", прямоугольной 

кварцевой кюветы с анализируемой суспензией, фотоприемника (ФЭУ-28), 

установленных на оптической оси монохроматора. Рабочая и контрольная 

кюветы размерами 150×10×10 мм располагались на каретке, имеющей воз
можность перемещения перпендикулярно оптической оси системы. Зонди
рование осуществлялось лучом с диаметром 5 мм на отметке 100 мм ниже 

верхней свободной поверхности суспензии. Питание лампы накаливания, 

используемой в качестве источника света, осуществлялось стабилизиро
ванным напряжением. 

Рис. 1. Принципиальная схема экспериментальной установки для тестирования компьютерной программы 
1 - лампа накаливания, 2 – коллиматор, 3 - рабочая кювета, 
 4 – монохроматор, 5 – ФЭУ, 6 - регистрирующий прибор 

1             2        3           4                   5          6 

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

5

Измерение уровня напряжения ФЭУ проводилось с помощью цифро
вого вольтметра и осциллографа. При подготовке суспензии ультрадис
персный порошок меди насыпался в кювету с жидкостью. Суспензия раз
мешивалась и разбавлялась так, чтобы оптическая плотность в кювете не 

превышала значения 2,0 во всем спектральном интервале измерения. Далее 

кювета с суспензией облучалась ультразвуком для разбивания возможных 

конгломератов в течение 30 мин. Кювета помещалась на стенд, предназна
ченный для измерения коэффициентов пропускания. Определялись значе
ния интенсивности прошедшего суспензию излучения на дискретных дли
нах волн в видимой области, по которым строился нулевой спектр коэф
фициентов пропускания.  

После обработки суспензии в центрифуге в течение 15 с кювета уста
навливалась в колориметрическую установку. Измерялся первый спектр. 

Далее кювета с суспензией помещалась в центрифугу и процедура повто
рялась. Для каждого отсчета измерялись уровни напряжений ФЭУ на вы
бранных длинах волн с пустой кюветой и с кюветой с суспензией, по кото
рым определялся коэффициент пропускания суспензии во всем рабочем 

диапазоне спектра. Весь тестовый эксперимент с суспензией продолжался 

непрерывно в течение 5 часов. Экспериментальные данные, снятые в вы
борочные моменты времени, приведены ниже. Рассчитанная по нулевому 

спектру поглощения (методом МСП) дисперсность порошка меди прини
малась за исходный гранулометрический состав при расчете по седимен
тационной формуле. 

Влияние коагуляции частиц с размерами 0,01–0,5 мкм в циклогексане 

оценивалось по отношению интенсивностей рассеяния в направлении уг
лов 3 и 175° на длине волны 0,63 мкм после размешивания ультразвуком и 

по истечении времени не менее времени регистрации коэффициентов про
пускания. Для этого суспензия наливалась в стеклянный цилиндр высотой 

140 мм, а зондирование осуществлялось на расстоянии 120 мм от свобод

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

6

ной поверхности. Установлено, что при первом измерении отношение ин
тенсивностей рассеянного вперед и назад излучения составило 1,60, а при 

втором – 1,62. Поэтому влиянием коагуляции за время измерения можно 

было пренебречь. 

Экспериментально определены коэффициенты поглощения суспензи
ей излучения в видимой области спектра (рисунок 2). Номера гистограмм 

соответствуют порядковому номеру измерения от начала эксперимента. За 

время измерения наблюдается изменение спектра поглощения. Оптическая 

плотность в измеряемом спектральном интервале находится в диапазоне 

0,1–1,9 (коэффициент пропускания 0,9–0,16). Уменьшение оптической 

плотности на каждой длине волны происходит не монотонно, а имеет уча
стки возрастания и убывания. Значения коэффициентов пропускания, оп
ределяемых с погрешностью менее 2,5 %, увеличиваются с увеличением 

длины волны. 

 
На рисунке 3 приведены функции распределения дисперсных частиц 

 

440
520
599
680
763

0,1

0,4

0,7

kп 

Последовательность 
измерения 

λ, нм 

Рис. 2. Изменение спектральной зависимости коэффициентов поглощения света ультрадисперсным порошком меди 

 при его седиментации в циклогексане

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

7

по размерам в различные моменты времени, полученные обработкой на 

ЭВМ экспериментальных спектров поглощения суспензии. Номера гисто
грамм приведены в соответствии с рисунком 2. 

В начальный момент времени функция распределения дисперсных 

частиц по размерам имеет распределение с модовым диаметром 0,08 мкм. 

Скорость седиментации частиц разных размеров оценивалась соотношени
ем [4]: 

(
)
y
r
dt
dy
c
2
2

9
2
ω
µ
ρ
ρ −
=
,  
 
 
(6) 

где µ, ρс – динамическая вязкость и плотность циклогексана соответствен
но; ρ – плотность меди; r – радиус дисперсных частиц; ω – угловая частота 

вращения центрифуги; у – высота столба жидкости, на которой находится 

дисперсная частица заданного размера в момент измерения. 

 
На рисунке 4 приведены усредненные функции распределения дис
персных частиц меди для объема зондирующего пучка, рассчитанные по 

0,01
0,08
0,16
0,24

0

200

400

600

800

Рис. 3. Гранулометрический состав ультрадисперсного порошка меди в 
циклогексане, рассчитанный по спектрам поглощения 

последовательность 
измерения 

r, мкм

N 

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

8

седиментации дисперсных частиц при установлении кюветы с суспензией 

во вращающейся центрифуге. 

Сопоставлялись распределения частиц по размерам, полученные из 

обработки спектрального хода коэффициентов поглощения и рассчитан
ные по седиментационной формуле. Для модельных экспериментов на
блюдается достаточно хорошая сходимость гистограмм гранулометриче
ского состава определенных из седиментации и обработки спектральной 

зависимости коэффициентов поглощения. 

 
Таким образом, приведенные тесты для компьютерной программы об
работки экспериментальных данных показывают возможность получения 

достоверных данных о гранулометрическом составе при малой экспери
ментальной погрешности. Эти же исследования показывают, что при вы
соких экспериментальных погрешностях задача определения дисперсности 

наночастиц не может быть решена. Поэтому задача разработки алгоритмов 

обработки спектров пропускания, гарантирующих приемлемый результат 

0,01
0,08
0,16
0,24

0

200

400

600

800

Рис. 4. Гранулометрический состав ультрадисперсного порошка меди в 
суспензии, рассчитанный по седиментационной формуле 

последовательность 
измерения 

N 

r, мкм 

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

9

при достаточно высоких экспериментальных погрешностях, является акту
альной. 

На начальном этапе разработки алгоритмов решения интегрального 

уравнения в распоряжении экспериментаторов имелась аппаратура для 

выполнения экспериментальных исследований, позволявшая получать ог
раниченный объем информации, в то время как современная аппаратура, 

позволяет получать практически неограниченный объем эксперименталь
ных данных. Такой объем информации является избыточным.  

В связи с этим нами впервые предложен новый подход обработки экс
периментальных спектров пропускания, по которому из всего набора экс
периментальных данных составляется несколько выборок. Эти выборки 

обрабатываются независимо друг от друга. Из полученных в результате 

обработки нескольких выборок гистограмм достоверны те, которые имеют 

максимальное совпадение между собой, а невязка между спектрами про
пускания для каждой выборки – наименьшее значение. 

С целью поиска критерия для составления наиболее эффективной вы
борки были проведены измерения коэффициентов пропускания модельно
го аэрозоля. На рисунке 5 приведен спектр пропускания взвеси ультрадис
персного порошка оксида алюминия в воде. Коэффициент пропускания 

растет с длиной волны. При этом спектр имеет участки с локальными экс
тремумами.  

kпр 
 
0,495 
 
 
 
0,395 
 
 
 
0,295 
 
 
 
0,195 
      370        430         490         550         610         670         730            λ, нм 
Рис. 5. Спектр пропускания взвеси порошка оксида алюминия в воде 

Научный журнал КубГАУ, №31(7),  2007 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2007/07/pdf/13.pdf

10

 
Для определения дисперсности УДП из всего набора (рисунок 5) было 

составлено 15 выборок по коэффициентам пропускания на десяти длинах 

волн. Эти длины волн выбирались в областях некоторых локальных экс
тремумов графика спектра пропускания. При выполнении расчетов для 

каждого значения α проводилось несколько итераций (iter). Расчеты оста
навливались, когда изменение невязки между расчетным и эксперимен
тальным коэффициентами пропускания проходило через экстремум. 

При проведении расчетов проводили оптимизацию также по значени
ям комплексного показателя преломления и диапазона размеров дисперс
ных частиц. Три результата обработки (из множества случайных выборок) 

по десяти значениям длин волн из спектра пропускания приведены в таб
лице 1. Использованы следующие обозначения: R – радиус дисперсной 

частицы, m – комплексный показатель преломления материала частицы, α 

– начальное значение параметра регуляризации, iter – число итераций ре
шения интегрального уравнения с заданным значением α, δU – невязка 

между расчетными и экспериментальными (kпр) коэффициентами пропус
кания на выбранных длинах волн, Zrach – расчетная гистограмма распреде
ления дисперсных частиц по размерам. 

 
Таблица 1 – Данные, полученные обращением интегрального уравнения 

I выборка 
II выборка 
III выборка 

R=0.126-0.47 мкм 
R=0.2-0.39 мкм 
R=0.111-0.801 мкм 

m=1.52-i 0.005 
m=1.496-i 0.005 
m=1.485-i 0.005 

α = 0,001, iter=18 
α = 1,22 10-6 iter=19 
α = 4,1510-7, iter=20 

δU=0.00681606646 
δU=0.0162833291 
δU=0.0066851075 

λ, мкм
kпр 
R,мкм Zrach λ,мкм
kпр R, мкм Zrach λ,мкм
kпр 
R, мкм Zrach 

0.61 0.468 0.126 4085
0.43 0.284 0.200 4112
0.42 0.283 0.111 2095

0.62 0.485 0.164 5456
0.44 0.307 0.221 1193
0.43 0.284 0.188 7034

0.63 
0.47 0.202 6710
0.45 0.315 0.242 4025
0.47 0.337 0.264 18035

0.64 0.472 0.241 11064 0.61 0.468 0.263
374 
0.48 0.341 0.341 21144

0.68 0.496 0.279 10678 0.62 0.485 0.284 4715
0.53 0.390 0.418 10928

0.69 
0.51 0.317 -120
0.63 0.470 0.306 7449
0.54 0.404 0.494 1746