Курс математического анализа

Тер-Крикоров А.М.
Шабунин М.И.






                Курс математического анализа









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517 (075.8)
ББК 22.161

      Т35


   Тер-Крикоров А. М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб, пособие для вузов. — 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4.

   Изложение теоретического материала иллюстрируется типовыми примерами. Большое внимание уделено трудным разделам курса математического анализа (равномерная сходимость функциональных рядов и интегралов, зависящих от параметра, равномерная непрерывность функций и т. д.).
   Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей вузов с повышенной подготовкой по математике. Может быть использована при самостоятельном изучении курса.
   Табл. 3. Ил. 185. Библиогр. 20 назв.

   Рецензент заведующий кафедрой математики физического факультета МГУ доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. Бутузов






Учебное издание


ТЕР-КРИКОРОВ Александр Мартынович, ШАБУНИН Михаил Иванович

КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА



Редактор Е.Ю. Ходан Оригинал-макет Н.Л. Ивановой
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 25.07.01.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
        Усл. печ. л. 42. Уч.-изд. л. 44. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма “Физико-математическая литература” МАИК “Наука/Интерпериодика”
117864 Москва, ул. Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП “Типография “Наука”
121099 Москва, Шубинский пер., 6


ISBN 5-9221-0008-4

© ФИЗМАТЛИТ, 2001
© А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин, 2001

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

   При написании настоящей книги авторы опирались на многолетний опыт чтения курса математического анализа и ведения семинарских занятий в Московском физико-техническом институте. Изложение теоретического материала подкрепляется достаточным числом примеров, помогающих освоению основных идей курса и выработке навыков в решении прикладных задач. Особое внимание уделяется таким традиционно трудным для студентов понятиям, как равномерная непрерывность функции, сходимость несобственных интегралов, равномерная сходимость функциональных рядов и интегралов, зависящих от параметра.
   Наряду с традиционными разделами курса математического анализа в книге кратко изложены элементы теории обобщенных функций и простейшие методы получения асимптотических оценок интегралов. Вопросы приближенных вычислений интегралов и сумм рядов в настоящее время обычно входят в курсы вычислительной и прикладной математики и в данной книге не рассматриваются.
   Следует отметить, что основы построения и стиль преподавания математического анализа в МФТИ разработаны большим коллективом преподавателей кафедры высшей математики. Это обстоятельство оказало несомненное влияние на авторов при написании предлагаемой читателю книги, которая может служить учебным пособием для физико-математических и инженерно-физических специальностей вузов с повышенной программой по математике. Книга может оказаться полезной и при самостоятельном изучении курса математического анализа.
   Тираж первого издания (1988 г.) быстро разошелся и возникла потребность во втором издании (1977 г., издательство МФТИ). Учитывая пожелания читателей, авторы переработали многие разделы курса, и в первую очередь материалы глав X (кратные интегралы) и XIV (ряды Фурье).
   При переработке были упрощены доказательства ряда сложных теорем. Больше внимание уделено изложению основных идей доказательств. Авторы стремились избежать чрезмерной детализации, но не в ущерб логической строгости. Так, без существенного ограничения общности дано более простое изложение теории жордановой меры и

Предисловие


кратных интегралов (глава X). В главе XIV упрощены доказательства ряда теорем за счет незначительного сужения классов рассматриваемых функций.
   Главы XVI и XVII из первого издания книги, представляющие интерес для более узкого круга учащихся, в настоящее издание не включены.
   Опущены также доказательства ряда теорем (интегрируемость по Риману функции, имеющей конечное число точек разрыва первого рода, теорема Римана об условно сходящихся рядах, признак Раабе сходимости ряда и др.). Исключены некоторые примеры повышенной трудности, разобранные в первом издании, добавлены задачи для самостоятельного решения.
   Авторы признательны преподавателям и студентам МФТИ, сделавшим ряд ценных замечаний и указавшим авторам на опечатки и неточности, допущенные в первом издании книги.
   Особую благодарность авторы выражают профессорам кафедры высшей математики МФТИ П.Б. Гусятникову, В.Б. Лидскому, Е.С. Половинкину и доценту В.И. Чехлову.
   В третье издание внесены необходимые исправления и дополнения.

ГЛАВА I


ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА








§ 1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби

   1. Логическая символика. При изложении курса математического анализа для сокращения будем использовать логические символы V, 3, =>, О, значения которых разъясняются в приводимой ниже таблице.

Символ       Название                    Разъяснение            
V      Знак общности         Заменяет слова: для любого, для    
                             каждого, для всех                  
3      Знак существования    Заменяет слова: существует,        
                             найдется                           
=>     Знак следования (имп- Запись А => В означает, что А вле- 
       ликации)              чет В или В следует из А           
       Знак равносильности   Запись А <=> В означает, что В сле       (эквивалентности)     дует из А и А следует из В. Иначе: 
                             А равносильно В; А необходимо и    
                             достаточно для В; А тогда и толь-  
                             ко тогда, когда В                  

   Символы V, 3 называют кванторами (общности и существования). Кроме указанных в таблице символов, употребляются также сле
дующие знаки:
   а)   V — знак дизъюнкции, заменяет союз “или”; запись А V В означает, что имеет место хотя бы одно из высказываний А, В;
   б)   А — знак конъюнкции, заменяет союз “и”;
   в)    ) — знак отрицания-, запись )А означает “не А” (отрицание высказывания А).
   Рассмотрим примеры использования логических символов.
   Пример 1. Пусть

    _ J квадратный трехчлен у = ах² + Ьх + с ~ 1 положительные значения при всех х




принимает

В = {D < 0}, где D = Ь² — 4ас, С = {D < 0, а > 0} = {D < 0} А {а > 0}.

   Докажем, что А => В, А О С.
△ а) Предположим, что из А не следует В. Тогда D = Ъ² — 4ас (г 0.

Гл. I. Вещественные числа

   В этом случае квадратный трехчлен у = ах² + Ьх + с имеет действительные корни х\ и ж₂ (#i = Х2 при D = 0) и поэтому обращается в нуль при х = Xi и х = ж₂, что противоречит А. Итак, предположение о том, что из А не следует В, является неверным. Поэтому из А следует В, т. е. А => В.
   б) Докажем, что А => С. Воспользуемся равенством




(1)


Так как А => {D < 0}, то выражение в квадратных скобках в форму

ле (1) положительно, и поэтому из условия у > 0 следует, что а > 0.

Итак, А => С.
   Обратно: если имеет место С, т. е. D < 0 и а > 0, то из равенства (1) следует, что у > 0 при всех х.
   Таким образом, квадратный трехчлен у = ах² + Ъх + с принимает положительные значения при всех действительных значениях х (рис. 1.1) тогда и только тогда, когда а > 0 и D = Ь² — 4ас < 0. А
Использование кванторов V, 3 позволяет не только сокращать запись,

но и легко строить отрицания утверждений (высказываний, определений), содержащих слова “любой”, “существует”, которые часто

встречаются в определениях и теоремах.
   Пример 2. Пусть заданы числовое множество X и число М. Записать с помощью кванторов отрицание утверждений:
    х  _ Г все элементы х числового множества X 1
    ' ~ 1 удовлетворяют условию х < М            J ’
     В _ Г существует число М > 0 такое, что все элементы х 1
    '  ~ 1 из множества X удовлетворяют условию \х\ М J
△ а) Пусть А не имеет места, т. е. не все элементы х множества X удовлетворяют условию х < М. Это означает, что найдется (существует) такой элемент х G X, для которого неравенство х < М не выполняется, т. е. имеет место противоположное неравенство х М.
   Запишем А и ]А с помощью кванторов:



А = {W е X х < М},

1А = {АтеХ: х^М}.


Здесь знак заменяет слова “выполняется”, “имеет место”, а двоеточие заменяет слова “такой, что”.
   б) Пусть В не имеет места, т. е. не существует числа М > 0 такого, чтобы для любого х G X имело место неравенство |ж| М. Это

§1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби

7

означает, что для любого М > 0 неравенство |х| М не может выполняться для каждого х € X. Иначе говоря, существует такой элемент х = Хм € X (зависящий, вообще говоря, от М), для которого неравенство |х| (г М не выполняется, т. е. справедливо неравенство |а:м| < М. С помощью кванторов утверждения В и ~\В можно записать так:
В = {ЭМ >0: Ух G X |х| > М}, ^В = {УМ>0 3хмеХ: \хм\<М}. ▲
   Эти примеры показывают, что отрицание утверждения, содержащего кванторы V, 3 и свойство Р (в данных примерах это неравенства х < М и |х| (г М соответственно), получается заменой V на 3, 3 на V и свойства Р — на его отрицание.
   2. Рациональные числа и их свойства. Понятие рационального числа и основные свойства рациональных чисел известны из курса математики для средней школы. Рациональное число можно записать в видер/</, гдер— целое, q — натуральное число. В частности, любое целое число р является рациональным, так как его можно записать в виде р = р/1. Например, 0 = 0/1, 1 = 1/1.
   Пусть a = p/q, b=pi/q, — два рациональных числа. Тогда правило упорядочения этих чисел определяется так:
   а) если pQi = Qpi, то а = Ь;
   б) если pQi > Qpi, то а > Ь;
   в) если р</1 < </pi, то а < Ь;
а сумма и произведение чисел а и b определяются соответственно равенствами
а ₊ ь₌М±№, ₐb ₌ PPL.
qqi          qqi
   Операции сложения и умножения рациональных чисел обладают свойствами:
   а) коммутативности:
а + b = b + a, ab = Ьа;
   б) ассоциативности:
(а + Ь) + с = а + (Ь + с), (аЬ)с = а(Ьс);
   в) дистрибутивности:
а(Ь + с) = ab + ас;
   г) для любого рационального числа а справедливы равенства а + 0 = а, а -1 = а.
   Операции вычитания и деления вводятся как обратные соответственно к операциям сложения и умножения:
   а)    для любых рациональных чисел а, Ъ существует (и притом единственное) число х такое, что
Ь + х = а;

Гл. I. Вещественные числа

это число называют разностью чисел а и Ь и обозначают а — &; в частности, разность 0 — b обозначают —Ь;
   б)    если b 0, то существует единственное число z такое, что
bz = а;


это число называют частным чисел а и b и обозначают а/Ь.
   Отметим еще основные свойства неравенств для рациональных чисел:
   а) если а > b и b > с, то а > с (транзитивность);
   б) если а > Ь, то а + с > b + с при любом с;
   в) если а > b и с> d, то а + О b + d;
   г) если а > Ь и с > 0, то ас > Ьс;
   д) если а > Ь и с < 0, то ас < Ьс.
   В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:
   N — множество натуральных чисел,
   Z — множество целых чисел,
   Q — множество рациональных чисел.
   В множестве Q можно выполнять не только четыре арифметических действия, но и решать уравнения и системы уравнений первой степени. Однако даже простейшие квадратные уравнения вида х² = а, где а € Л/, не всегда разрешимы в множестве Q. В частности, уравнение х² = 2 не имеет решений в множестве Q.
   Таким образом, уже проблема решения простых уравнений типа х² = а, х³ = а, где а € N, приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел путем добавления к этому множеству новых элементов, называемых иррациональными числами. Ниже (без изложения всех подробностей) показывается, как такое расширение строится.

   3. Бесконечные десятичные дроби и их приближения.

   а) Периодичные десятичные дроби. Из школьного курса алгебры известно, что любое рациональное число можно представить либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби, используя алгоритм деления “уголком”. Например, рациональному числу 3/8 соответствует конечная десятичная дробь 0,375, т. е. 3/8 = 0,375. Аналогично, рациональному числу —27/11 соответствует бесконечная периодическая десятичная дробь —2,4545... = —2,(45), т. е. -27/11 = -2,(45).

   Обратно: зная бесконечную периодическую десятичную дробь,

можно найти рациональное число, представлением которого эта дробь

является. Для этого используется формула суммы бесконечно убы
вающей геометрической прогрессии а + aq + aq² +

а
1 -q

, |q| < 1.

§1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби

9

   Например,
45
2,(45) = 2 + — +      + ... = 2 + ¹⁰⁰ = 2 + — = —.
А б⁾ ⁷     100   100²        \ _ J_ 99           11
                                          100
   Рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, будем отождествлять с соответствующей бесконечной десятичной дробью с нулем в периоде. Заметим, что рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, можно записать и в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например, 2,5 = = 2,5(0) = 2,4(9).
   Таким образом, между множеством всех рациональных чисел и множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью с цифрой 0 в периоде.
   Условимся употреблять такие бесконечные периодические десятичные дроби, которые не имеют цифры 9 в периоде. Если бесконечная периодическая десятичная дробь с цифрой 9 в периоде возникает в процессе рассуждений, то будем такую дробь заменять бесконечной десятичной дробью с нулем в периоде.


   Упражнение 1. Доказать, что если - (pEN, q Е N)— рациональ-„ 1                                                            ,
ное число, соответствующее бесконечной периодической десятичной дроби а, то рациональное число 10^ - (k Е N) соответствует бесконечной периодической десятичной дроби, получаемой из а сдвигом запятой вправо на к разрядов. Используя это правило, показать, что если бесконечная периодическая десятичная дробь имеет вид а = «о,ai...aₙ(bi...bₘ), то

а = «о +

aia2...aₙbib2...bₘ — aia2-..aₙ

99...900...0

т п

   б) Множество вещественных чисел. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида
±ао, CI1CI2 •••««•••               (2)

Эта дробь определяется заданием знака + или —, целого неотрицательного числа а₀ и последовательности десятичных знаков ai,O2, ...,ап,... (множество десятичных знаков состоит из десяти чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Всякую дробь вида (2) будем называть вещественным числом. Если перед дробью (2) стоит знак +, его обычно опускают и пишут
a₀,aia₂-an-                        (3)
Число вида (3) будем называть неотрицательным вещественным числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел 0,0,0,1,02, ...,ап,... отлично

Гл. I. Вещественные числа

от нуля, — положительным вещественным числом. Число вида
-ao^ai-an...,                        (4)
где хотя бы одно из чисел а®, а±, а®, ... отлично от нуля, будем называть отрицательным вещественным числом.
   Если а = ao,aia2-.aₙ..., b = —ao,aia2...aₙ..., то число Ь называют противоположным числу а, а число а — противоположным числу Ь.
   Если дробь (2) является периодической, то ее называют рациональным числом, а если эта дробь не является периодической, то ее называют иррациональным числом. Множество всех десятичных дробей вида (2) называют множеством вещественных чисел и обозначают R, а его подмножество, состоящее из непериодических десятичных дробей, — множеством иррациональных чисел и обозначают J.
   Приведем примеры иррациональных чисел.
   1)                  а = 0,1234567891011...                  (5)
Здесь после запятой стоят натуральные числа, выписанные подряд, начиная с единицы.
   2)                b = 27,1010010001000010...                (6)
Здесь после запятой выписаны подряд числа 10, 10² = 100, 10³ = 1000, 10⁴ = 10000 и т. д.
   Упражнение 2. Показать, что числа а и Ь, заданные равенствами (5) и (6), являются иррациональными.
   в) Десятичные приближения вещественных чисел. Поставим в соответствие неотрицательному вещественному числу (3) конечные десятичные дроби
ап = а₀,а₁...ап + ап = а₀,а₁...ап
и будем называть их п-ми десятичными приближениями числа а = = а®, 0,10,2...ап... соответственно с избытком и недостатком. Если а — отрицательное вещественное число вида (4), то для него n-е десятичные приближения с избытком и недостатком определяются соответственно равенствами
_ „ „ „ 1
И/; —              0^, — <Z(). <Z|      •
Десятичные приближения найдут применение при определении арифметических операций на множестве R (§3).
   Упражнение 3. Показать, что для любого вещественного числа его десятичные приближения обладают следующими свойствами:
   a)aₖ-aₖ = ^, k е N;
   б)     а, ... ап ...;
   в)     ад az ... ап ... ;
   г)     для любых пит.