Нелинейные волновые уравнения в оптике

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

И.И. Корель

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ

УРАВНЕНИЯ В ОПТИКЕ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 535.12 : 517.9(075.8)

К 663

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. Е.А. Титов,

д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Дмитриев

Работа выполнена на кафедре лазерных систем

Корель И.И.

К 663
Нелинейные волновые уравнения в оптике : учеб. пособие / 

И.И. Корель. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. – 40 с.

ISBN 978-5-7782-1334-0

Рассматриваются уравнения распространения оптических импуль
сов в резонансных и диспергирующих средах. Представлены численные методы их решения.

Предназначено для студентов физико-технического факультета.

УДК 535.12 : 517.9(075.8)

ISBN 978-5-7782-1334-0 
© Корель И.И., 2010
© Новосибирский государственный 

технический университет, 2010 

ВВЕДЕНИЕ

Нелинейные волновые уравнения в оптике описывают распростра
нение импульсов в средах различной физической природы, с различным типом взаимодействия в системе электромагнитное поле–среда. 
Частным решением подобного круга задач является образование солитонов и солитоноподобных волновых пакетов. В резонансной задаче 
примером образования солитонов служит эффект самоиндуцированной 
прозрачности (СИП), в слабодиспергирующих средах (оптических волокнах) существуют солитонные решения нелинейного уравнения 
Шрѐдингера. 

Пособие посвящено рассмотрению уравнений распространения 

импульсов в резонансной и диспергирующей средах и методам их решения. 

В главе 1 рассматривается взаимодействие оптического поля с 

двухуровневой резонансной средой в полуклассическом приближении, 
где атом имеет квантовую природу (т.е. дискретные уровни энергии), а 
поле описывается классически, с помощью уравнений Максвелла. 
Приводится решение самосогласованной системы Максвелла–Блоха, 
описывающее эффект самоиндуцированной прозрачности. Глава 2 посвящена задаче о распространении импульсов в оптических волокнах и 
нелинейному уравнению Шрѐдингера. Глава 3 содержит обзор численных методов решения дифференциальных уравнений с частными производными в нелинейной оптике.

Глава 1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА

В ДВУХУРОВНЕВОЙ СРЕДЕ

1.1. Оптические уравнения Блоха

Первоначально уравнения Блоха были получены применительно к 

изучению магнитного резонанса. Причина, по которой эти уравнения 
часто используют для описания процессов, связанных со взаимодействием оптических полей и резонансных сред, состоит в том, что существует прямая аналогия между двухуровневым атомом и частицей со 
спином 1/2 во внешнем магнитном поле.

Рассмотрим взаимодействие изолированного двухуровневого атома 

с внешним полем. Динамику атома можно описать в представлении 
Шрѐдингера или Гейзенберга. Воспользуемся операторным уравнением Гейзенберга, поскольку простота коммутационных соотношений 
матриц Паули значительно упрощает вывод динамических уравнений:

ˆ
ˆ
ˆ
,
.
i O
O H



Здесь ˆO – любой оператор, а ˆH – гамильтониан, который для атома, 
взаимодействующего с полем, можно записать следующим образом:

ˆ
ˆ
ˆ ˆ ( )
A
H
H
d E r .

Здесь ˆd – оператор дипольного момента атома; ˆ ( )
E r
– оператор элек
трического поля; 
A
H
– гамильтониан невозмущенной системы с дис
кретным спектром.

Оператор дипольного момента эрмитов:

ˆ
ˆ
0
i
ˆ
,
ˆ
ˆi
0

d
d
d

d
d

r
i

r
i

а значит, его можно представить с помощью матриц Паули следующим 
образом: