Основы теории сигналов в примерах, упражнениях и задачах

А.Н. ЯКОВЛЕВ





                ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ В ПРИМЕРАХ, УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАНИЯХ




Рекомендовано Сибирским региональным отделением Учебно-методического объединения высших учебных заведений РФ по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации для межвузовского использования в качестве учебного пособия для студентов радиотехнических направлений и специальностей







НОВОСИБИРСК
2012

УДК 621.372(075.8)
     Я 474

Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. С.П Новицкий (НГТУ); д-р техн. наук, проф. В.П. Разинкип (НГТУ); д-р техн. наук, проф. Л.К. Дмитриев (НГТУ); канд. техн. наук, д-р электротехники С.Ю. Матвеев (директор ООО «НПО-Триада-ТВ»);
канд. техн. наук, проф. Б.И. Филиппов (зав. каф. радиотехнических систем Сибирского гос. ун-та телекоммуникаций и информатики - СибГУТИ);
д-р техн. наук, проф. ВТ. Патюков (каф. радиотехники ИИФиРЭ ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»)

       Яковлев А.Н.
Я 474    Основы теории сигналов в примерах, упражнениях и заданиях : учеб. посо       бие / А.Н. Яковлев. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2012.- 472 с.
          ISBN 978-5-7782-1995-3
          Пособие содержит 16 глав по основополагающим разделам теории сигналов: сигналы и их основные характеристики, динамическое, корреляционное и геометрическое представления сигналов, представление сигналов ортогональными функциями (Радемахера, Уолша, рядами Фурье и Котельникова и др.), спектральное представление периодических и непериодических сигналов (преобразования Фурье и Лапласа), вейвлет-преобразования сигналов, модулированные сигналы и случайные процессы, дискретные сигналы, дискретное и быстрое преобразования Фурье и вейвлет-преобразования последовательностей, кепстральный анализ и др.
          В каждой из 16 глав даны краткие теоретические сведения (определения, расчетные формулы и т.п.) в объеме, необходимом для решения приводимых примеров и упражнений. Затем предложены примеры и упражнения (с ответами) для закрепления теоретического материала и выработки навыков творческого мышления, переноса знаний на решение более сложных ситуаций. Книга содержит 132 примера и 252 упражнения (с ответами). Далее почти по каждой теме следует задание, которое может быть составной частью расчетно-графической и/или курсовой работы и содержит от 1 до 3 задач, составленных в 10 вариантах и 10 подвариантах. В качестве средства создания иллюстрационных примеров использованы широко распространенные системы компьютерной математики: Mathcad и MATLAB.
          В приложении представлен обширный справочный материал.
          Предлагаемое пособие, в котором обобщен многолетний опыт автора, предназначено для практических и самостоятельных занятий, для расчетно-графических заданий, для контроля знаний и умений, а также для занятий в рамках модульно-рейтинговой системы образования и может быть полезно студентам и преподавателям радиотехнических специальностей и лицам, занимающимся самообразованием (или в системе дистанционного обучения).

УДК 621.372(075.8)


ISBN 978-5-7782-1995-3                             © Яковлев А.Н., 2012
                                                    © Новосибирский государственный технический университет, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ


Список сокращений..................................................
Предисловие........................................................
ВВЕДЕНИЕ...........................................................
   В.1.  Общие сведения............................................
   В.2.  Классификация сигналов....................................
   B.3.  Структурная схема ЦОС.....................................
Глава 1. СИГНАЛЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ......................
   1.1. Краткие теоретические сведения.............................
       1.1.1. Модель сигнала.......................................
       1.1.2. Некоторые физические характеристики..................
       1.1.3. Энергетические характеристики сигнала................
   1.2. Примеры....................................................
       1. Гармоническое колебание..................................
       2. Единичная функция........................................
       3. Дельта-функция...........................................
       4. Прямоугольный импульс....................................
       5. Сигнум-функция...........................................
       6. Энергия и мощность гармонического колебания за период....
       7. Энергия бигармонического сигнала.........................
       8. Телевизионный сигнал изображения.........................
   1.3. Упражнения.................................................
       1.3.1. Модели сигналов......................................
       1.3.2. Характеристики сигналов..............................
   1.4. Задание. Модель и основные характеристики сигнала..........
Глава 2. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ.......................
   2.1. Краткие теоретические сведения.............................
       2.1.1. Представление с помощью функций включения............
       2.1.2. Представление с помощью дельта-функций...............
   2.2. Примеры....................................................
       1. Линейно нарастающее напряжение...........................
       2. Прямоугольный импульс....................................
       3. Производная прямоугольного импульса......................
       4. Сигнал линейного перехода из состояния 0 в состояние U₀ .
       5. Нарастающая экспонента...................................
       6. Фильтрующее действие дельта-функции на экспоненциальный сигнал

15
17
19
19
21
27
29
29
29
30
33
35
35
36
38
40
41
41
42
42
43
43
45
46
49
49
49
51
52
52
53
53

53

54
54

2.3. Упражнения.....................................................
   2.4. Задание. Динамическое представление импульсного сигнала........
Глава 3. КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ.........................
   3.1. Краткие теоретические сведения.................................
       3.1.1. АКФ непериодического сигнала и ее свойства...............
       3.1.2. АКФ периодического сигнала и ее свойства.................
       3.1.3. ВКФ непериодического сигнала и ее свойства...............
       3.1.4. ВКФ периодического сигнала и ее свойства.................
   3.2. Примеры........................................................
        1. АКФ прямоугольного импульса.................................
        2. АКФ пары импульсов..........................................
        3. АКФ гармонического колебания................................
        4. АКФ периодической последовательности прямоугольных импульсов..
        5. ВКФ двух прямоугольных импульсов............................
        6. ВКФ прямоугольного и несимметричного треугольного импульсов.
        7. ВКФ двух несимметричных треугольных импульсов...............
        8. ВКФ двух гармонических колебаний............................
   3.3. Упражнения.....................................................
   3.4. Задание. Корреляционное представление сигналов.................
Глава 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ.........................
   4.1. Краткие теоретические сведения.................................
       4.1.1. Пространство сигналов....................................
       4.1.2. Линейное пространство....................................
       4.1.3. Нормированное пространство...............................
       4.1.4. Метрическое пространство.................................
       4.1.5. Пространство со скалярным произведением..................
   4.2. Примеры........................................................
        1. Множество сигналов с ограничением их амплитуды..............
        2. Энергия и норма косинусоидального импульса..................
        3. Метрика двух сигналов.......................................
        4. Минимальное расстояние между сигналами......................
        5. Скалярное произведение двух импульсов.......................
   4.3. Упражнения.....................................................
Глава 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ.
   5.1. Краткие теоретические сведения.................................
       5.1.1. Обобщенный ряд Фурье.....................................
       5.1.2. Спектральный анализ......................................

55
56
57
57
57
60
61
62
62
62
64
65
66
66
67
69
69
70
72
73
73
73
75
75
76
77
79
79
79
80
81
81
82
85
85
85
86

5.1.3. Синтез сигналов..............................................
       5.1.4. Выбор рациональной системы функций...........................
       5.1.5. Функции Уолша и Радемахера...................................
       5.1.6. Ортогональные системы специальных функций....................
   5.2. Примеры............................................................
       5.2.1. Ортогональные функции........................................
        1. Гармонические базисные функции..................................
        2. Комплексные экспоненциальные функции............................
        3. Формирование ФУ с помощью матриц Адамара........................
        4. Перемножение ФУ.................................................
        5. Формирование ФУ с помощью функций Радемахера....................
       5.2.2. Анализ и синтез сигналов в базисе функций Радемахера и Уолша.
        6. Аппроксимация сигнала функциями Радемахера......................
        7. Спектр гармонического сигнала в базисе ФУ.......................
        8. Синтез гармонического сигнала в базисе ФУ.......................
       5.2.3. Синтез (аппроксимация) сигнала в базисе функций Лагерра......
        9. Аппроксимация импульсного сигнала...............................
   5.3. Упражнения.........................................................
       5.3.1. Представление сигналов в базисе функций Радемахера...........
       5.3.2. Функции Уолша................................................
       5.3.3. Представление сигналов в базисе функций Уолша................
       5.3.4. Представление сигналов в базисе функций Лежандра и Лагерра...
   5.4. Задание. Представление сигнала в базисе функций Уолша..............
Глава 6. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ. РЯД ФУРЬЕ....................................................
   6.1. Краткие теоретические сведения.....................................
       6.1.1. Гармонические базисные функции...............................
       6.1.2. Формы ряда Фурье.............................................
       6.1.3. Распределение мощности в спектре сигнала.....................
       6.1.4. Задачи анализа и синтеза.....................................
   6.2. Примеры............................................................
        1. Гармоническое колебание.........................................
        2. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов........
        3. Меандр и его спектр.............................................
        4. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, представленной рядом Фурье в комплексной форме.................
        5. Синтез периодической последовательности прямоугольных импульсов .
        6. Пилообразный сигнал.............................................

..87 ..88 .89 .93 .94 .94 .94 .94 .95 .96 .96 ..97 ..97 .99 101 102 102 104 104 105 105 108 109

111
111
111
113
116
117
118
118
120
122

124
124
127

7. Последовательность треугольных импульсов...............129
   6.3. Упражнения...............................................130
Глава 7. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА.........................133

   7.1. Краткие теоретические сведения...................................133
       7.1.1. Преобразования Фурье.......................................133
       7.1.2. Энергетический спектр сигнала и его связь с АКФ............137
       7.1.3. Определение активной длительности сигнала и ширины его спектра.......................................................139
       7.1.4. Преобразования Лапласа.....................................141
   7.2. Примеры..........................................................142
       7. 2.1. Спектральная плотность интегрируемых сигналов.............142
        1. Прямоугольный импульс.........................................142

        2. Экспоненциальный импульс.........................................144
        3. Колокольный (гауссовский) импульс................................145
        4. Импульс вида sin(х)/х............................................146
        5. Спектр пары импульсов прямоугольной формы........................148
        6. «Пачка» импульсов................................................150
        7. Симметричный треугольный импульс.................................151
        8. Затухающее гармоническое колебание...............................153
        9. Свертка сигналов. Связь с ВКФ....................................154

       7. 2.2. Спектральная плотность неинтегрируемых сигналов............157
        10. Функция включения (Хевисайда).................................157
        11. Дельта-фукция (Дирака)........................................159
        12. Гармоническое колебание.......................................159
        13. Постоянное напряжение.........................................160
        14. Комплексная экспонента........................................160

        15. Периодический сигнал........................................161
       7. 2.3. Преобразования Лапласа...................................161
        16. Изображение функций Хевисайда и Дирака......................161
        17. Изображение прямоугольного импульса.........................162
        18. Определение оригинала по изображению........................162
   7.3. Упражнения......................................................163
       7.3.1. Спектральный анализ и синтез сигналов.....................163
       7.3.2. Спектр, АКФ и свертка сигналов............................167
       7.3.3. Преобразования Лапласа....................................168
   7.4. Задание. Спектральный анализ сигналов...........................169

Глава 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ РЯДОМ КОТЕЛЬНИКОВА................................................
   8.1. Краткие теоретические сведения...............................
       8.1.1. Ряд и теорема Котельникова.............................
       8.1.2. Базисные функции и их свойства.........................
       8.1.3. Коэффициенты ряда Котельникова. Спектральный анализ....
       8.1.4. База, энергия и мощность сигнала, ошибка аппроксимации.
       8.1.5. Дискретизация непрерывных сигналов.....................
       8.1.6. Связь между спектрами непрерывных и дискретных сигналов ...
       8.1.7. Восстановление непрерывного сигнала....................
       8.1.8. Теорема отсчетов в частотной области...................
   8.2. Примеры......................................................
        1. Гармоническое колебание...................................
        2. Бигармонический сигнал....................................
        3. Прямоугольный видеоимпульс................................
        4. Экспоненциальный импульс..................................
   8.3. Упражнения...................................................
   8.4. Задание. Представление сигналов рядом Котельникова...........
Глава 9. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ.............................
   9.1. Краткие теоретические сведения...............................
       9.1.1. Вейвлеты. Главные признаки.............................
       9.1.2. Примеры материнских вейвлетов..........................
       9.1.3. Непрерывное вейвлет-преобразование.....................
       9.1.4. Свойства вейвлет-анализа...............................
       9.1.5. Сопоставление с преобразованием Фурье..................
   9.2. Примеры......................................................
       9. 2.1. Определение вейвлет-спектра в системе Mathcad.........
        1. Гармоническое колебание...................................
        2. Сумма двух гармонических колебаний........................
        3. Прямоугольный импульс.....................................
       9. 2.2. Вейвлет-анализ в системе MATLAB.......................
        4. Гармоническое колебание...................................
        5. Сумма двух гармонических колебаний........................
        6. Бигармонический импульсный сигнал с шумом.................
        7. Прямоугольный импульс с шумом.............................
        8. Звуковой сигнал...........................................
        9. Доступ к демонстрационным примерам........................
       10. Треугольный сигнал (демонстрационный).....................

171
171
171
172
174
175
177
179
181
183
185
185
187
188
191
193
196
197
197
197
200
202
203
205
207
207
208
209
212
213
214
215
216
217
218
219
220

9.3. Задания........................................................
       9.3.1. Вейвлет-анализ в пакете Mathcad на основе МНАТ-вейвлета..
       9.3.2. Вейвлет-представление в пакете MATLAB....................
Глава 10. МОДУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ.......................................
   10.1. Краткие теоретические сведения................................
       10.1.1. Общие сведения..........................................
       10.1.2. Амплитудно-модулированное колебание (АМК)...............
       10.1.3. Сигналы угловой модуляции...............................
       10.1.4. Узкополосные, комплексные и аналитические сигналы.......
   10.2. Примеры.......................................................
       10  .2.1. Амплитудно-модулированный сигнал (АМС)................
        1. Спектр многокомпонентного АМС...............................
        2. Спектр АМС непериодического (импульсного) сигнала...........
        3. Автокорреляционная функция АМК..............................
        4. АКФ импульсного АМС.........................................
       10  .2.2. Сигнал угловой модуляции (УМС)........................
        5. Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией................
        6. АКФ ЛЧМ-импульса............................................
        7. Преобразования Гильберта для гармонических колебаний........
   10.3. Упражнения....................................................
       10.3.1. Амплитудно-модулированные сигналы.......................
       10.3.2. Сигналы с угловой модуляцией............................
       10.3.3. ЛЧМ-импульсы............................................
       10.3.4. Комплексные и аналитические сигналы.....................
   10.4. Задания.......................................................
       10.4.1. Амплитудно-модулированное колебание.....................
       10.4.2. Последовательность прямоугольных радиоимпульсов.........
       10.4.3. Частотно-модулированное колебание.......................
Глава 11. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ..................
   11.1. Краткие теоретические сведения................................
       11.1.1. Вероятностное описание СП...............................
       11.1.2. Моментные функции. Стационарные и эргодические процессы.
       11.1.3. Корреляционно-спектральное представление СП.............
   11.2. Примеры.......................................................
       11.2.1. Параметры и характеристики СП в сечении.................
        1. Определение вероятности событий.............................
        2. Математическое ожидание и дисперсия экспоненциального распределения...........................................................

221
221
222
225
225
225
227
231
237
241
241
241
242
243
245
246
246
247
248
249
249
252
254
255
256
256
258
259
261
261
261
266
269
274
274
274

274

3. Характеристическая функция и энтропия равномерного закона.
         4. Определение моментов СП по кумулянтным функциям...........
5. ПРВ функции случайной величины............................
         6. Функциональное преобразование СП..........................
       11.2.2 . Различные СП..........................................
         7. Гармоническое колебание со случайной начальной фазой......
         8. Производная от эргодического СП...........................
9. Узкополосный СП...........................................
       10. Распределение огибающей и фазы суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума..............................
    11.3. Упражнения..................................................
       11.3.1. Вероятностные характеристики в сечении.................
       11.3.2. Характеристические функции. Энтропия...................
       11.3.3. Моментные функции. Стационарные и эргодические процессы....
       11.3.4. Спектральный и корреляционный анализ...................
       11.3.5. Узкополосные случайные процессы........................
    11.4. Задания.....................................................
       11.4.1. Вероятность превышения заданного уровня................
       11.4.2. Закон распределения....................................
       11.4.3. Моментные функции. Стационарность и эргодичность.......
Глава 12. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ........................................................
    12.1. Краткие теоретические сведения..............................
       12.1.1. Общие сведения.........................................
       12.1.2. Оценка числовых характеристик..........................
       12.1.3. Оценка плотности вероятности...........................
       12.1.4. Оценка АКФ.............................................
       12.1.5. Оценка СПМ.............................................
       12.1.6. Вычисления в пакете Mathcad............................
    12.2. Примеры.....................................................
         1. Числовые характеристики последовательности................
         2. То же, но с использованием встроенных функций Mathcad.....
         3. Расчет и построение гистограммы...........................
4. Вычисление АКФ............................................
5. Вычисление СПМ............................................
         6. АКФ и СПМ коррелированной последовательности..............
         7. Корреляционная функция и СПМ двух коррелированных последовательностей ..................................................

275
276
277
278
279
279
281
282

284
287
287
291
292
294
294
296
296
297
299

301
301
301
302
304
305
306
307
307
307
309
309
312
313
313

316

12.3. Задание. Определение основных характеристик случайной последовательности .................................................................317
Глава 13. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ..............................................319
   13.1. Краткие теоретические сведения...................................319
       13.1.1. Способы представления дискретных сигналов..................319
       13.1.2. Преобразования Фурье и Лапласа.............................322
       13.1.3. Z-преобразование...........................................323
   13.2. Примеры..........................................................329
        1. Единичный дискретный скачок....................................329
        2.  Экспоненциальная дискретная последовательность................331
        3.  Косинусоидальная последовательность...........................332
        4.  Свертка последовательностей...................................332
        5.  Вычисление OZH с использованием теоремы Коши..................333
        6.  Определение OZH разложением Z-образа в степенной ряд..........334
        7.  Вычисление х[п] с помощью вычетов.............................334

         8. Вычисление OZR разложением функции А(z) на простые дроби.......335
         9. Нахождение последовательности делением числителя ее Z-образа на знаменатель....................................................336

   13.3. Упражнения..........................................................337
       13.3.1. Дискретная последовательность. Преобразования Фурье и Лапласа.337
       13.3.2. Прямое Z-преобразование...................................337
       13.3.3. Обратное Z-преобразование.................................339
Глава 14. ДИСКРЕТНОЕ И БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ..........................341
   14.1. Краткие теоретические сведения..................................341
       14.1.1. Дискретное преобразование Фурье...........................341
       14.1.2. Восстановление аналогового сигнала по ДПФ.................345
       14.1.3. Быстрое преобразование Фурье..............................346
       14.1.4. Вычисление БПФ в пакете Mathcad...........................349
       14.1.5. MATLAB для вычислений БПФ.................................349
   14.2. Примеры.........................................................350
       14  .2.1. Вычисление ДПФ..........................................350
        1. Экспоненциальная дискретная последовательность................350
        2. Вычисление коэффициентов ДПФ..................................352
        3. Выполнение обратного ДПФ......................................353
       14  .2.2. Вычисление БПФ в пакете Mathcad.........................353
        4. Прямое и обратное БПФ для векторов............................353
        5. Синусоида как вектор..........................................354