Математические методы исследования оптимального управления на классе кусочно-постоянных управлений

                Миронова К. В.
                Кузнецов А. В.




МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА КЛАССЕ КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫХ УПРАВЛЕНИЙ









Москва Горячая линия - Телеком 2015

УДК 517.977.5
ББК 22.16
  М64

Рецензенты: канд физ.-мат. наук, доцент Е. И. Троицкий; канд. физ.-мат. наук, доцент Т. А. Асаева

      Миронова К.В., Кузнецов А.В.
М64      Математические методы исследования оптимального
      управления на классе кусочно-постоянных управлений. — М.: Горячая линия — Телеком, 2015. — 142 с.: ил.
      ISBN 978-5-9912-0472-9.
         С современных, креативных, алгоритмических позиций изложены математические методы исследования оптимального управления на классе кусочно-постоянных управлений. Представлено решение актуальной задачи теории оптимального управления — созданы и апробированы на тестовых и реальных моделях алгоритмы, позволяющие переходить, в силу разных причин, от непрерывного оптимального управления к квазиоптимальному кусочно-линейному или кусочнопостоянному управлению объектами. Выполнен анализ методов исследования локальной оптимальности управлений в детерминированных системах, была поставлена и решена задача разработки методики исследования локальной оптимальности управления систем в классе кусочно-постоянных функций. Представлен усовершенствованный метод численного нахождения локально-оптимального управления в классе кусочно-постоянных управлений и разработана методика сведения задачи оптимального управления к конечномерной задаче исследования однородных форм высшего порядка. Рассмотрено практическое применение разработанных алгоритмов, реализованное в среде LabVIEW 9.0 на примере низколетящего объекта.
         Для научных работников, специалистов в области теории управления, аспирантов и студентов старших курсов технических университетов.
ББК 22.16



Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU











ISBN 978-5-9912-0472-9 © К. В. Миронова, А. В. Кузнецов, 2014, 2015 © Издательство «Горячая линия — Телеком», 2015

                Часть первая







            Введение


   В настоящее время теория оптимального управления приобретает все большую актуальность и становится неотъемлемой составной частью автоматизированных систем управления, технологических процессов производства и других отраслей промышленности. Ярким наглядным примером ее применения являются космические исследования, где теория оптимального управления используется, например, для улучшения траекторий движения искусственных спутников Земли, различных космических аппаратов, ит.п.
   Проблема обеспечения высокой точности посадки малого космического аппарата (МКА) на поверхность Земли актуальна в связи со значительным расширением в ближайшем будущем класса задач.
   При решении задачи синтеза управления спуском МКА в атмосфере формирование блока оптимального управления основывается на линеаризации математической модели движения МКА. При этом прогнозирование точки посадки осуществляется с использованием функций влияния, на основе которых формируется канал управления продольным движением.
   Согласно сложившейся в последнее время точке зрения, оптимальное управление — это раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи, который включает теорию экстремальных задач, посвящен исследованию и решению вопросов максимизации или минимизации функционалов на множествах функций специального вида.

Часть первая

   Кроме того, оптимальное управление тесно связано с выбором наиболее выгодных режимов управления сложными объектами, описывающихся при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
   Объекты, с которыми имеет дело техника, обычно снабжены механизмами управления. Математически поведение такого объекта описывается некоторыми уравнениями, как правило, дифференциальными или уравнениями в частных производных, куда входят и так называемые управляющие параметры, характеризующие положение «рулей». Необходимо найти наилучшее по тем или иным параметрам качество управления движением. Возникает вопрос об отыскании наилучшего в том, или ином смысле качества управления движением. Например, речь может идти о достижении движущимся объектом цели за минимальное время. Этот вопрос является задачей вариационного исчисления.
   Теория оптимального управления охватывает случай, когда управляющие параметры могут принимать и граничные значения. Последнее обстоятельство особенно важно с прикладной точки зрения, поскольку именно положение «руля» или механизма управления «на упоре» (т. е. на границе) зачастую обеспечивает оптимальное управление.
   Рассмотрим управляемый объект, под которым понимается некоторая машина, прибор или процесс, снабженные «рулями» управления, манипулируя которыми (в пределах имеющихся ресурсов управления), определяется движение объекта. Например, технологический процесс осуществления химической реакции можно считать управляемым объектом, «рулями» которого являются концентрации составляющих, количество катализатора, поддерживаемая температура и другие факторы, влияющие на течение реакции. Для понимания того, как именно ведет себя объект при том или ином управлении, необходимо знать закон движения, описывающий его динамические свойства и устанавливающий для каждого избираемого правила манипулирования «рулями» эволюцию состояния объекта.
   Возможности управления объектом лимитируются не только его ресурсами, но и тем, что в процессе движения объект не должен попадать в состояния, физически недоступные или недопустимые с точки зрения конкретных условий эксплуатации.
   Работая с объектом, операторы управления (это могут быть как люди, так и программы и механизмы) всегда стремятся так манипулировать «рулями», чтобы, исходя из определенно начального состояния, в итоге достичь некоторого заданного изменения.

Введение

5

   В связи с этим естественно возникает задача: найти такой способ управления, который позволяет достичь желаемого результата наилучшим, оптимальным образом и определенного критерия качества. Зачастую в конкретных задачах требуется реализовать цель управления за наиболее короткое время, или с минимальным расходом горючего, или с максимальным экономическим эффектом и т. п.
   Возникновение в начале 50-х гг. XX в. самого направления «оптимальное управление» представляет яркий пример того, как запросы практики с неизбежностью порождают новые теории. Для новейшей техники и современного высокомеханизированного и автоматизированного производства характерно стремление выбирать наилучшую программу действий, наиболее рационально использовать имеющиеся ресурсы.
   Именно эти конкретные технические задачи стимулировали разработку теории оптимального управления, оказавшейся математически чрезвычайно содержательной и позволившей решить многие практические задачи, к которым классические методы были неприменимы. Ее интенсивное развитие оказалось мощным фактором, способствующим успешному решению научно-технических и народнохозяйственных задач.
   Существуют фундаментальные способы решения оптимального управления, основу которых составляют методы вариационного исчисления. Главным результатом теории, дающим общее необходимое условие оптимального управления, является принцип максимума Понтрягина. Этот результат и связанные с ним исследования послужили исходным пунктом разработки теоретических, вычислительных и прикладных аспектов оптимального управления.
   При решении ряда поставленных в этой области задач с успехом используются идеи метода динамического программирования, основы которого разработаны выдающимся американским математиком Р. Беллманом.
   Словосочетание «динамическое программирование» впервые было использовано в 1940-х гг. Р. Беллманом для описания процесса нахождения решения, где ответ на одну задачу может быть получен только после решения задачи, «предшествующей» ей.
   Динамическое программирование в теориях управления и вычислительных систем является способом решения сложных задач путем разбиения их на более простые подзадачи (употребляемый здесь термин «программирование» не имеет собственно к традиционному программированию, как к способу написания

Часть первая

кодов, никакого отношения, так сложилось и закрепилось исторически). Способ применим к задачам с оптимальной подструктурой, выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.
   Ключевая идея динамического программирования достаточно проста. Как правило, для решения поставленной задачи, требуется решить отдельные ее части (подзадачи), после чего объединить их в одно целое. Зачастую многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно эффективно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико.
   Метод динамического программирования сверху — это простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем. Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.
   В настоящее время в связи с успехами в области вычислительной техники и появлением возможности использования на борту МКА малогабаритных высокопроизводительных компьютеров (БЦВМ), оказывается возможным решение на месте задачи формирования оптимальной траектории и выполнение численных процедур, связанных с решением краевых задач. Поэтому среди различных методов формирования оптимальной траектории (таких как методы вариационного исчисления, динамического программирования и других) наиболее предпочтительным оказывается принцип максимума Понтрягина.
   В общем процессе проектирования технических систем можно обозначить проблемы двух типов.
   1.    Проектирование системы управления, направленной на достижение поставленной задачи (формирование траекторий, режимов, выбор методов управления, реализующих траектории и т. д.). Этот круг задач можно назвать проектированием движений.
   2.    Проектирование конструктивных и прочностных схем (выбор геометрических, аэродинамических, конструктивных и других параметров), обеспечивающих выполнение общих характеристик и конкретных режимов работы. Этот круг задач проек

Постановка задачи

7

тирования связан с выбором ресурсов, необходимых для реализации поставленных задач.
   Проектирование движений (изменение технологических параметров) тесно связано с группой проблем второго типа, так как получаемая при этом информация является исходной (во многом определяющей) для решения этих проблем. Но и в тех случаях, когда имеется уже готовая техническая система (т. е. располагаемые ресурсы определены), в процессе его модификации могут быть осуществлены оптимизирующие приемы.
   Проблемы первого типа решаются в настоящий момент наиболее эффективно и строго.


            Постановка задачи


   Возникает проблема поиска наилучшего (как говорят, оптимального) в том или ином смысле качества управления движением. Данная задача может формулироваться в неформальных терминах, которые зачастую носят несколько расплывчатый характер. Для применения математических методов необходима четкая и строгая формулировка, которая бы устраняла возможные неопределенности и двусмысленности и одновременно делала бы задачу математически корректной, называемая математической моделью задачи оптимизации.
   Математическая модель (ММ) — достаточно полное математическое описание динамической системы и процесса управления в рамках выбранной степени приближения и детализации. ММ отображает исходную задачу в некоторую математическую схему, в конечном итоге — в некоторую систему чисел, где, с одной стороны, явно указываются (перечисляются) все сведения, без которых невозможно приступить к аналитическому или численному исследованию ее, а с другой, — дополнительные данные, вытекающие из сущности задачи и отражающие определенное требование к ее характеристикам.
   Полная ММ общей задачи оптимизации управления состоит из ряда частных ММ: процесса управляемого движения, располагаемых ресурсов и технических ограничений, показателя качества процесса управления, управляющих воздействий.
   Таким образом, математическая модель общей задачи управления характеризуется совокупностью определенных математических соотношений между ее элементами (дифференциальных уравнений, ограничений типа равенств и неравенств, функций качества, начальных и граничных условий и т. д.).

Часть первая

   Важным шагом в постановке и решении общей задачи управления является выбор критерия оптимальности, являющийся неформальным актом, который не может быть предписан какой-либо теорией, а целиком определяется содержанием задачи. В некоторых случаях формальное выражение понимания оптимальности системы допускает несколько эквивалентных (или почти эквивалентных) формулировок.
   В таких случаях успех и простота получаемого решения во многом определяется выбранной формой критерия оптимальности (при условии, что во всех случаях он достаточно полно определяет требования задачи к системе).
   Создание и апробирование на тестовых и реальных моделях алгоритмов, позволяющих переходить (в силу разных причин) от непрерывного оптимального к квазиоптимальному кусочно-линейному или кусочно-постоянному управлению, является достаточно интересной задачей, которая и рассматривается в данной книге.
   Математически данную задачу можно поставить следующим образом: в качестве типичного приводится управляемый объект, закон движения которого описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
   • уравнение состояния объекта
х'⁽t) = f [х⁽t), и⁽t⁾, t];         (1.1)
   • граничные условия

х (t₀ ) = х₀"; х (Ij ) = %;’;      (1.2)
   • минимизируемый функционал качества
                      ч
Q = J F [х ⁽т⁾, X ⁽т⁾, т] dr,      (1.3)
                      ‘о
где х(t) — вектор состояния системы; и(t) — управление; t₀, tх — начальный и конечный моменты времени.
   Математически, задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния и управления во времени, которые минимизируют функционал качества.
   К виду (1.1) обычно приводятся уравнения движения в случае управляемых механических объектов с конечным числом степеней свободы, например, движение МКА. В многочисленных реальных ситуациях возникают и иные постановки задач, отличающиеся от приведенной ранее:

1.1. Техническое обоснование

9

   •    с нефиксированным временем, когда продолжительность процесса заранее неизвестна;
   •    с неоднозначно определенными концами, когда про начальное и конечное состояния известно, что они принадлежат некоторым множествам;
   •    с фазовыми ограничениями, когда решение задачи в каждый момент времени должно принадлежать фиксированному замкнутому множеству, и другие.
   В задачах механики сплошных сред характеризующая состояние управляемого объекта функция х является функцией уже не только времени, но и пространственных координат (например, она может описывать распределение температуры в теле в данный момент времени), а закон движения выражается дифференциальным уравнением с частными производными.
   В некоторых рассматриваемых управляемых объектах независимая переменная принимает дискретные значения, а закон движения представляет систему конечно-разностных уравнений. Наконец, отдельную теорию составляет оптимальное управление стохастическими (случайными) объектами.
   Допустим, одним из методов (вариационный метод, принцип максимума Понтрягина, динамическое программирование) решена задача оптимального управления: найдены функции состояния и управления для времени, минимизирующие функционал качества. Остается создать конкретное техническое устройство, способное реализовать на практике это оптимальное управление.
   Но здесь-то и возникает целый ряд существенных проблем. Остановимся лишь на некоторых из них, причем представленных в простой форме, поскольку общая проблематика чрезвычайно сложна.


            1.1. Техническое обоснование


   В работе предлагаются и апробируются на тестовых и реальных моделях алгоритмы, позволяющие переходить от непрерывного к оптимальному стандартному управлению. Этот переход значительно сокращает материальные затраты на сопровождение движения объекта без существенного ухудшения качества управления. Как было сказано ранее, возможности управлять объектом лимитируются (ограничиваются) не только ресурсами управления, но и тем, что в процессе движения объект не должен попадать в состояния, физически недоступные или недопустимые с точки зрения конкретных условий его эксплуатации.

Часть первая

   Если управляемым объектом, к примеру, является искусственный спутник Земли, то для его запуска необходимо рассчитать режим работы двигателей ракеты-носителя, который обеспечит доставку спутника на желаемую орбиту. Отмечено, что существует много способов управления объектом для реализации цели управления. МКА можно вывести на орбиту разными ракетами, за разное время, с разным расходом топлива, точностью, вероятностями или степенями риска, т. е. с различными параметрами и характеристиками. Таким образом, имеет место обозначенная ранее задача: найти способ управления, позволяющий достичь желаемого результата наилучшим, оптимальным образом определенного критерия качества. Зачастую в конкретных задачах требуется реализовать цель управления за наименьшее возможное время с минимальным расходом горючего или с максимальным экономическим эффектом и т. п.
   При применении теории оптимального управления возникает ряд проблем, одной из которых является сложность технической реализации рассчитанного оптимального управления для конкретного, реального объекта. Такую реализацию либо в принципе нельзя создать, либо на ее создание потребуется слишком много затрат. Дело в том, что, к примеру, для оптимального подъема небольшого МКА (скажем, метеоспутника) на более высокую орбиту, или для состыковки среднего по размерам МКА с другим, необходима силовая установка (двигатель), которой на борту просто нет, в силу ограниченности спутников по массе и другим параметрам.
   В данной книге разрабатываются алгоритмы наилучшего управления траекториями движения объектов. Эта задача возникла в промышленности в силу необходимости оптимизации управления и сокращения как технических, так и экономических затрат. Предлагаемые в книге методы более просты и понятны, по сравнению с известными, с точки зрения моделирования, и соответственно — технической реализации, что в свою очередь, приводит к сокращению экономических затрат. Отметим, что если математически задача решена, то техническая реализация не так проста. Существуют определенные проблемы при ее решении, как с математической, так и с технической стороны.
   Первая трудность заключается в том, что в реальных задачах функция оптимального управления зачастую находится численно, в заранее выбранных точках. Следовательно, необходимо дополнительно решить проблему оптимальной аппроксимации этих измеренных значений функции оптимального управления некоторой функцией из класса непрерывных с некоторыми па