Руководство к решению задач по математическому анализу. Ч. 2

 
Ставропольский государственный аграрный университет 
 
 
 
 
 
 
Т.А. Гулай,  А.Ф. Долгополова,  Д.Б. Литвин         
 
 
 
 
 
Руководство к решению задач  
по математическому анализу 
 
Часть 2 
 
 
 
 
Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому  
и техническому образованию в качестве учебного пособия  
для студентов высших учебных заведений 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ставрополь 
2012 

 
УДК 517.1:517.2 
ББК 22.161 
          Г94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Гулай, Т. А. 
Г94        Руководство к решению задач по математическому анализу : 
учебное пособие. В 2 ч. Ч. 1 / Т. А. Гулай, А. Ф. Долгополова, 
Д. Б. Литвин. − Ставрополь : Сервисшкола, 2012. – 336 с. 
 
 
Настоящее руководство является составной частью комплекса 
учебных пособий по курсу математического анализа, направленных на 
развитие и активизацию самостоятельной работы студентов. Пособие 
написано в соответствии с учебной программой по высшей математике 
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 110.800.62 
«Электрификация и автоматизация сельского хозяйства», 140.400.62 
«Электроэнергетика 
и 
электротехника», 
190.600.62 
«Эксплуатация 
транспортно-технологических машин и комплексов». Может быть 
использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для 
самостоятельного изучения курса математического анализа. 
 
 
УДК 517.1:517.2 
ББК 22.161 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Предисловие

Учебное пособие «Руководство к решению задач по математическому

анализу» Часть 2 охватывает традиционный курс высшей математики в объёме
второго семестра и является второй частью комплекса учебных пособий под
общим
названием «Руководство
к
решению
задач
по
математическому

анализу».  

Структура второй части комплекса аналогична структуре первой его

части. Нумерация глав и параграфов продолжает соответствующую нумерацию
в первой части. 

Часть 2  включает семь глав, список литературы и приложения. Каждая

глава руководства начинается с необходимого теоретического минимума, 
включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем идёт блок
задач на эту тему, рассредоточенный следующим образом. Сначала подробно
разбираются несколько типовых задач с полным анализом решения, после чего
предлагается для самостоятельного решения блок аналогичных задач.  

В
пособии
наряду
с
традиционными
контрольными
заданиями

(Приложения 5-11) предлагается достаточно большое число тестовых заданий. 
Приведенные
контрольные
задания
и
тесты
могут
быть
эффективно

использованы при проведении аудиторных и домашних контрольных работ, 
собеседований, на зачетах и экзаменах; при тестировании студентов (в том
числе компьютерном) по курсу математического анализа. 

Авторы уделили особое внимание стандартным задачам, достаточного

количества которых так не хватает как преподавателям, так и студентам для
успешного хода учебного процесса. Тем не менее, в пособии довольно много
более сложных заданий для наиболее успевающих студентов. К подавляющему
большинству задач руководства приведены ответы, а к наиболее трудным из
них – подробные указания. Такое построение книги предоставляет студенту
широкие возможности для активной самостоятельной работы и экономит его
время. Студент, пользующийся
этим
способом, должен
перед
каждым

практическим
занятием
выучить
относящийся
к
нему
раздел
теории, 

внимательно, с выполнением всех действий на бумаге, разобрать решённые
задачи, и только после этого приступить к решению задач, предложенных для
самостоятельного решения. 

Пособие
может
быть
использовано
студентами
других
направлений

подготовки, где количество часов для изучения курса «Математический
анализ» значительно меньше. Кроме того пособие вполне доступно для
студентов заочных отделений вузов.

Важность разделов, представленных в пособии, заключается в том, что они

являются базовыми для последующего приобретения студентами специальных
знаний и приемов аналитической работы. 
 «Руководство к
решению задач по математическому анализу» полностью

подготовлено
к
изданию
на
кафедре 
«Математика» 
Ставропольского

государственного аграрного университета. 

Глава 5   Неопределённый интеграл 
 
5.1 Первообразная функции и неопределённый интеграл 
 
Пусть на интервале 

;a b  задана функция 
 
f x . Если 
 
 
F x
f x


, 

где 


;
x
a b

, то функция 
 
F x  называется первообразной функцией функции 
 
f x  на интервале 

;a b . Любые две первообразные данной функции 
 
f x  
отличаются друг от друга на произвольную постоянную. 
Совокупность первообразных 
 
F x
C

, где С – произвольная 

постоянная, 
функции 
 
f x , 


;
x
a b

, 
называется 
неопределённым 

интегралом функции  
f x : 

 
 
.
f x dx F x
C



 

 
Основные правила интегрирования 
1.   
 
 
 
;
f
x dx
df x
f x
C






 

 
 


 
;
d
f x dx d F x
C
f x dx




 

2.   
 
 


 
 
;
f x
x
dx
f x dx
x dx
 

 



 

3.   
 
 
,
a f x dx
a f x dx



 где  
;
a
const

 

4.   если 
 
 
,
f x dx
F x
C



 то  

               




1
f ax
b dx
F ax
b
C
a





 

при условии, что  ,a b - постоянные числа, 
0
a 
; 

5.   если 
 
 
f x dx F x
C



 и 
 
u
x
 
 - любая дифференцируемая 

функция, то 

 
 
.
f u du F u
C



 

 
Правильность результата интегрирования проверяется дифференцированием найденной первообразной, то есть 

 


 .
F x
C
f x



 
На основании определения неопределённого интеграла, правил 
интегрирования и таблицы производных основных элементарных функций 
можно составить таблицу основных неопределённых интегралов. 

ТАБЛИЦА  ОСНОВНЫХ  ИНТЕГРАЛОВ 
 

1 
;
dx
x
c



 
2 



1
1 ;
1

a
a
x
x dx
c
a
a





 


 

3 
ln
;
dx
x
c
x 


 
4 
;
ln

x
x
a
a dx
c
a



 

5 
;
x
x
e dx
e
c



 
6 
cos
sin
;
xdx
x
c




7 
sin
cos
;
xdx
x
c
 


 
8 
2
tg
;
cos
dx
x
c
x 


 

9 
2
ctg
;
sin
dx
x
c
x  


 
10
tg
ln cos
;
xdx
x
c
 



11 
ctg
ln sin
;
xdx
x
c



 
12




2
2
arcsin

arccos
0 ;

dx
x
c
a
a
x
x
c
a
a






 





 

13 
2
2
1 arctg
;
dx
x
c
a
x
a
a




 
14

2
2
1 ln
2

1 ln
;
2

dx
x
a
c
x
a
a
x
a

x
a
c
a
x
a









 





 

15 

2
2

2
2
ln
;
dx
x
x
a
c
x
a






 
16
 
 
 
ln
;
f
x dx
f x
c
f x





 

17 

2
2
2
2
2
arcsin
;
2
2
x
a
x
a
x dx
a
x
c
a






 

18 

2
2
2
2
2
2
2
ln
;
2
2
x
a
x
a dx
x
a
x
x
a
c








 

19 
ln tg
;
sin
2
dx
x
c
x 


 
20
ln tg
.
cos
2
4
dx
x
c
x











 

Решение типовых примеров 
 
Найти неопределённый интеграл 

5.1   
3
2
3
3
4
2
3
1
.
x
x
dx
x










 

Решение 

2
3
2
3
3
3
3
3
4
2
3
1
2
3
4
x
x
dx
x dx
x dx
x dx
dx
x





















 

5
4
2
4
3
5
3
2
9
2
2
3
4
.
5
4
2
2
5
3

x
x
x
x
x
c
x
x
c
x















 

 
5.2   
2
3
.
x
x
e dx

 

Решение 









2
2
2
2
3
3
3
.
ln 3

x
x
x
x
e
e dx
e
dx
c
e





 

 

5.3   
2
sin2
.
4
sin
x
dx
x


 

Решение 




2
2
2
2
2
4
sin
sin2
2sin cos
ln 4
sin
.
4
sin
4
sin
4
sin

x
x
x
x
dx
dx
dx
x
c
x
x
x














 

 

5.4   
2
2
.
4
5
x
dx
x
x






 

Решение 




2
2
2
2
4
5
2
1
1 ln
4
5
4
5
2
4
5
2

x
x
x
dx
dx
x
x
c
x
x
x
x

















 

2
ln
4
5
.
x
x
c




 
 
Найти указанные интегралы, результаты интегрирования проверить 
дифференцированием 

5.5 

7
3
5
4
3
5
3
.
x
x
dx
x









 
5.6 

2
2
1
3sin
2
3
.
9

x
x
x
dx
x












5.7 

7

3
1
2
.
x
x
dx
x









 
5.8 
2
1
.
2
3
x
dx
x
x





 

5.9 

2
6
1
7
.
2

x
x
dx
x











 
5.10 

2
1
2
.
x
x
dx
x









 

5.11 

8

4
10
3
.
x
dx
x


 
5.12 



3
.
x
x dx


 

5.13 
3
4
1
1
.
4
dx
x
x









 
5.14 



3
1
.
x
dx
x



 

5.15 
2
2 .
sin
cos
dx
x
x

 
5.16 

4

2
.1

x dx
x 

 

5.17 
3
2
.
x
dx
x


 
5.18 



2
2

2
1
.
x
dx
x



 

5.19 
2
3
1.
x

x



 
5.20 
2
2
5
.
5
7
x
dx
x
x





 

5.21 
2
.1

xdx
x 

 
5.22 
cos
.
2sin

xdx

x

 

 
5.2 Общие методы интегрирования 
 
5.2.1 Непосредственное интегрирование функций 
 
Задача нахождения неопределённых интегралов от многих функций 
решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. Этого 
можно 
достичь 
путём 
алгебраических 
тождественных 
преобразований 
подынтегральной функции  
f x  или подведения части её множителей под знак 
дифференциала. 
 
Решение типовых примеров 
 

5.23   



2

2
2
1
2
.
1
x
dx
x
x



 

Решение 













2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1

x
x
x
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x

















 

2
2
1
arctg
.
1
dx
dx
x
c
x
x
x


 





 

 

5.24   

9
2
7
.
x
dx


 

Решение 












10
10
9
9
2
7
2
7
1
1
2
7
2
7
2
7
.
2
2
10
20
x
x
x
dx
x
d
x
c
c













 

 

5.25   
2
arctg
.
1

x
x dx
x



 

Решение 






2
2
2

2
2
2
2

arctg
arctg
1
1
1

1
1
1
1
arctg
arctg
ln 1
arctg
.
2
1
2
2

x
x
x
x
dx
dx
dx
x
x
x

x
dx
xd
x
x
x
c
x

























 

 
5.26   


cos 7
3
.
x
dx


 

Решение 




 



1
1
cos 7
3
cos 7
3
7
3
sin 7
3
.
7
7
x
dx
x
d
x
x
c









 

 
Найти данные неопределённые интегралы. 

5.27 
cos3
.
xdx

 
5.28 
2
2
.

x
x
e
e
dx









 

5.29 

3 5
6
.
xdx


 
5.30 

2

2
9
.
9
x
dx
x



 

5.31 
3
.
5
x
dx
x




 
5.32 
2
cos 3
.
xdx

 

5.33 


ctg 3
2
.
x
dx


 
5.34 

5

2
1
.
4
x
dx
x



 

5.35 

3
2
1
3
.
3
2

x
x
e
dx
x












 
5.36 

3 2
2
1
sin7
.
cos 4

x
x
e
dx
x












 
5.2.2 Интегрирование методом замены переменной 
 
Если функция 
 
x
t
 
 имеет непрерывную производную, то в 

неопределённом интеграле вида 
 
f x dx

 всегда можно перейти к новой 

переменной   t   по формуле 

 
 


 
,
f x dx
f
t
t dt






 

затем найти интеграл из правой части равенства (если это возможно) и 
вернуться к исходной переменной   x. Такой способ нахождения интеграла 
называется методом замены переменной  или  методом подстановки. 
Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет 
большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей 
подстановки невозможно. Некоторые частные правила для важнейших типов 
интегралов даются в решениях типовых примеров. 
 
Решение типовых примеров 
 
5.37   Найти 
1
.
x x
dx


 

В данном примере не очевидно, что подвести под знак дифференциала, а 
поэтому сделаем подстановку, позволяющую избавиться от иррациональности. 
Обозначим 
1
x
t

 . Эта подстановка приводит исходный интеграл к новому 
интегралу, сводящемуся к табличному. 
 
Решение 











2
2
4
2

5
3
5
3
2
2

1

1
1
1
2
2
2

2
2
2
2
1
1
.
5
5
5
3

x
t

x x
dx
x
t
t
t
t dt
t
t
dt
dx
t dt

t
t
c
x
x
c

 

























 

 
Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции f(x), 
то есть выражение 
 
f
x dx

, то имеет смысл попробовать подстановку 
 
t
f x

. 
 
5.38   Найти 
3 1 sin cos
.
x
xdx


 

Решение 




4
1
3
4
3
3
3
1
sin
3
1
sin
cos
1
sin
.
4
cos
4
3

x
t
t
x
xdx
t dt
c
x
c
xdx
dt













 

Если под знаком интеграла стоит сложная функция 
 


f
x

, то, как правило, 

используется подстановка 
 
t
x


(к примеру, если в подынтегральном 

выражении встречается функция 
1
sin x , то стоит попробовать подстановку 
1
t
x

, 

а если 

3
x
e
- то 
3
t
x
 
) . 
 

5.39   Найти 

3
2
.
x
e
x dx


 

Решение 

3
3

3

2
2

2

1
1
1
1
3
.
3
3
3
3
1
3

x
t
t
t
x
x
t

e
x dx
x dx
dt
e
dt
e dt
e
c
e
c

x dx
dt







 



 
 

 





 



 

Если интеграл содержит радикал 

2
2
a
x

, то может быть эффективной 
подстановка 
sin
x
a
t

. 
 

5.40   Найти 
2
2
.
a
x dx


 

Решение 

2
2
2
2
2
sin

cos
sin
cos

arcsin

x
a
t

a
x dx
dx
a
t dt
a
a
ta
t dt

x
t
a













 

2
2
2
2
2
2 1
cos2
cos cos
cos
cos2
2
2
2
t
a
a
a
t
tdt
a
tdt
a
dt
dt
tdt












 

2
2
2
2
sin2
sin cos
2
4
2
2
a
a
a
a
t
t
c
t
t
t
c






 

2
2
2
. .
cos
1 sin
1
x
m к
t
t
a















 

2
2
2
2
2
2
2
arcsin
1
arcsin
.
2
2
2
2
a
x
a
x
x
a
x
x
c
a
x
c
a
a
a
a









 

 

Если интеграл содержит радикал 

2
2
x
a

, то может быть эффективной 
подстановка x
atgt

. 
 

5.41   Найти 

2
2

2
.
x
a dx
x


 

Решение 

2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2

tg
tg
1
tg
tg
cos
sin
cos

x
a
t
a
t
a
t
x
a
adt
dx
dt
adt
x
a
t
t
t
dx
t













