Руководство к решению задач по математическому анализу. Ч. 1

 

Ставропольский государственный аграрный университет 
 
 
 
 
 
 
А.Ф. Долгополова,  Т.А. Колодяжная         
 
 
 
 
 
Руководство к решению задач  
по математическому анализу 
 
Часть 1 
 
 
 
 
Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому  
и техническому образованию в качестве учебного пособия  
для студентов высших учебных заведений 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ставрополь 
2012 

УДК 517.1:517.2 
ББК 22.161 

Долгополова, А. Ф.

Д64        Руководство к решению задач по математическому анализу : 

учебное пособие. В 2 ч. Ч. 1 / А. Ф. Долгополова, Т. А. Колодяжная. − Ставрополь : Сервисшкола, 2012. – 168 с. 

Настоящее руководство является составной частью комплекса

учебных пособий по курсу математического анализа, направленных на
развитие и активизацию самостоятельной работы студентов. Пособие
написано в соответствии с учебной программой по высшей математике
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 110.800.62 
«Электрификация и автоматизация сельского хозяйства», 140.400.62 
«Электроэнергетика
и
электротехника», 
190.600.62 
«Эксплуатация

транспортно-технологических
машин
и
комплексов». Может
быть

использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для
самостоятельного изучения курса математического анализа. 

УДК 517.1:517.2 
ББК 22.161 

Д64        

Предисловие 
 
Предлагаемое пособие по решению задач охватывает первую часть 
традиционного  курса высшей математики технического ВУЗа. Книга написана 
в полном соответствии с программой по математическому анализу для 
студентов, обучающихся по инженерным специальностям, и подготовлена 
преподавателями, имеющими многолетний опыт работы со студентами. 
Опираясь на этот опыт, авторы попытались создать задачник, пригодный как 
для самообразования, так и для активной работы с преподавателем на 
практических занятиях. Этим объясняется структура книги.  
Часть 1  включает четыре главы, список литературы и приложения. 
Каждая глава руководства начинается с необходимого теоретического 
минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем 
идёт блок задач на эту тему, рассредоточенный следующим образом. Сначала 
подробно разбираются несколько типовых задач с полным анализом решения, 
после чего предлагается для самостоятельного решения блок аналогичных 
задач и тест для закрепления приобретённого навыка. 
Ещё одна особенность этой книги – наличие самостоятельных работ 
по каждой теме курса в приведённых приложениях. Их могут использовать как 
студенты при подготовке к контрольным работам или экзаменам, так и 
преподаватели при проведении практических занятий. 
Авторы уделили особое внимание стандартным задачам, достаточного 
количества которых так не хватает как преподавателям, так и студентам для 
успешного хода учебного процесса. Тем не менее, в пособии довольно много 
более сложных заданий для наиболее успевающих студентов. К подавляющему 
большинству задач руководства приведены ответы, а к наиболее трудным из 
них – подробные указания. Такое построение книги предоставляет студенту 
широкие возможности для активной самостоятельной работы и экономит его 
время. Студент, пользующийся этим способом, должен перед каждым 
практическим занятием выучить относящийся к нему раздел теории, 
внимательно, с выполнением всех действий на бумаге, разобрать решённые 
задачи, и только после этого приступить к решению задач, предложенных для 
самостоятельного решения. 
«Руководство к  решению задач по математическому анализу» 
полностью 
подготовлено 
к 
изданию 
на 
кафедре 
«Математика» 
Ставропольского государственного аграрного университета. 

 
 
 
 
 
 

Глава 1  Понятие функции и ее пределы. 
    Непрерывность функции 
 
1.1 Функция и область ее определения 
 
Переменной называется величина, принимающая различные числовые 
значения. 
Областью  изменения переменной величины называется совокупность 
всех принимаемых ею числовых значений. 
Определение   Переменная  у называется функцией переменной х , 
если каждому значению х из области ее изменения по определенному правилу 
или закону ставится в соответствие определенное единственное значение у . 
Символически записывают 
 
y
f
x

. 
Переменная х называется независимой переменной или аргументом. 
Переменная у называется зависимой переменной или функцией. 
Символ 
 
f
x  обозначает закон соответствия переменных х и у. 
Областью определения функции называется совокупность всех тех 
значений аргумента х, при которых переменная у имеет определенное 
действительное значение. 
             Область определения функции 
 
y
f
x

 обозначается 
 
f
D
 или 
 
y
D
. 
Область значений функции 
 
y
f
x

 обозначается 
 
E
f  или 
 
E y . 
Если нужно указать значение 
0y , соответствующее значению 
0x , то 
записывают 


0
0
y
f
x

.  


0
f
x
 обозначает частное значение функции 
 
y
f
x

 
при 
0
x
x

. 
Графиком функции 
 
y
f
x

 называется совокупность точек вида 
 


;x f x
на плоскости 
0
x y, абсциссы «х» которых являются значениями 

аргумента и принадлежат
 
f
D
, а ординаты «у» равны соответствующим 
значениям функции 
 
f
x : 
 
y
f
x

, 
 
f
D
x 
. 
Функция 
 
y
f
x

 называется четной, если для любого х 

х

из 
области определения функции 
 
f
D
выполняется условие 


 
f
x
f
x


. 

Записывают 

 
 
f
D
x
x
f
x
f




,
. 
График четной функции симметричен относительно оси 0у. 
Функция 
 
y
f
x

 называется нечетной, если для любого х 

x  из 
области определения функции  
 
f
D
 выполняется условие 


 

 
f
x
f
x . 

Записывают 

 
 
f
D
x
x
f
x
f





,
. 
График нечетной функции симметричен относительно точки 0(0;0). 

Функция 
 
y
f
x

 называется периодической с периодом Т, если для 

любого х из области определения функции 
 
f
D
 выполняется условие 


 
f
x
T
f
x


. 
Наименьшее число Т, обладающее указанным свойством называется 
основным периодом функции. 
Пусть 
 
y
f
x

, 
 
f
D
x 
, 
 
y
E
f

. 
Определение 
Если 
каждому 
значению 
 
y
E
f

 
ставится 
в 
соответствие единственное значение 
 
f
D
x 
 такое, что 
 
f
x
y

, то 
переменная х называется обратной функцией по отношению к функции 
 
y
f
x

 и обозначается 
 
x
y
 
   или   
 
1
x
f
y


. 
Если  y  является функцией от u , а u  в свою очередь зависит от 
переменной x , то y  также зависит от х. Пусть 
 

y
f u  и 
 
 
u
x . Получаем 
функцию y  от х  

 






y
f
x
, 
которая называется функцией от функции или сложной функцией. 
Область определения сложной функции 
 





f
x
 состоит из тех 
значений переменной х, которые принадлежат области определения функции 
 
 x    и   для которых   значения      
 x    принадлежат   области   определения 
функции f . 
Функция может быть задана аналитическим способом, графическим 
или табличным. 
Задание функции при помощи формулы, указывающей, какие 
действия и в какой последовательности надо произвести над аргументом х, 
чтобы получить значение зависимой переменной у, называется аналитическим 
заданием: 

                                          
2
2
1
x
y
x



 . 

Графический способ задания функции – это задание функции ее 
графиком. Преимущество этого способа – его наглядность.  Недостаток 
заключается в ограниченной точности определяемых по значению аргумента х 
значений функции у. 
Табличный способ состоит в том, что значения независимой 
переменной х и соответствующие значения функции, полученные в результате 
наблюдений, располагаются в два параллельных ряда, то есть в виде таблицы. 
 
                         Элементарные функции   
Основными элементарными функциями являются: 
1)  степенная функция 
a
y
x

; 
2)  показательная функция 


0,
1
x
y
a
a
a



; 
3)  логарифмическая функция 


log
0,
1
a
y
x a
a



; 

4)  тригонометрические функции   
sin ,
cos ,
tg ,



y
x
y
x
y
x    
ctg ,
cosec ,
sec



y
x
y
x
y
x; 
5)  обратные тригонометрические функции 
arcsin ,
arccos ,
arctg ,
arcctg




y
x
y
x
y
x
y
x. 
Функция 
 
y
f
x

 называется элементарной, если правая часть 
аналитического выражения
 
y
f
x

 составлена из основных элементарных 
функций с помощью применения конечного числа четырех арифметических 
действий и взятия функции от функции.  
Все остальные функции называются неэлементарными. 
 
Решение типовых задач и примеров 
 

1.1  Найти область определения функции 
2
2
3
7
12
5
x
y
x
x
x







. 

                                            Решение 
Область определения этой функции состоит из тех значений х, при 
которых оба слагаемых принимают действительные значения. Поэтому 

                                      

2
7
12
0
5
0.
x
x
x





 


 

Решая квадратное неравенство 
2
7
12
0
x
x



, получим 
3
x   или 
  
4
x 
. 
Таким образом, область определения данной функции состоит из 
совокупности трех промежутков:   
3
x  ;   
4
x 
;   
5
x    (рисунок 1.1). 
 

x
4
3
5
 
                                                       Рисунок 1.1 
 
Следовательно, 
 

 







;5
5;4
3;


y
D
. 
 
1.2  Установить четность или нечетность функции  
3 cos2
y
x
x

. 
                                       Решение 
 






;
y
D
, 
 







3
3
3
cos2 ,
cos2
cos2
f x
x
x
f
x
x
x
x
x


 

 
. 
Следовательно, 


 
f
x
f
x

 
, то есть данная функция нечетная. 
 

               1.3   Вычислить частные значения функции 
2
4
5
y
x
x



 при 
3
x   
и при  
2
x
a


. 
 

Решение 
              
 
 
2
3
3
4 3
5
16
4;
3
4
f
f


 



. 










2
2
2
2
2
4
2
5
9;
2
9
f a
a
a
a
f a
a











. 
 
              1.4  Найти область определения функций: 

1. 
3
2
3
5
7
2
y
x
x
x




. 
2. 
1
7
2
y
x


. 

3. 
2
1
7
12
x
y
x
x




. 
4. 

2

2
5
4
1
x
x
y
x
x






. 

5. 
5
4
y
x


. 
6. 

3
1
8
y

x





. 

7. 
2
4
y
x


. 
8. 
1
1
x
y
x



 . 

9. 



3
3
y
lq x


. 
10. 


sin 2
3
y
x


. 

11.
2
y
tg x

. 
12. 


sin 5
8
y
arc
x


. 

13. 


2
1
1
2






y
lq x
x
x
. 
14. 



2
2
1
y
loq
x
x



. 

15. 
5
3
y
x
x




. 
16. 



2
1
2
1
3
y
x
lq x
x





. 

17. 



2
sin
4

x
y
lq x


. 
18. 

2

2
5
6
1
x
x
y
lq x
x






. 

19. 



1
2
1
y
x
lq
x




. 
20. 
3
2
3
arcsin
5

x
y
x




. 

21. 
3
sin
4
2
x
y
arc
lq
x




. 
22. 
4
arccos x
y
x


. 

 
                1.5  Какие из указанных ниже функций чётны, какие нечётны, какие 
не являются ни чётными, ни нечётными: 

а) 
2
2
2
y
x
x


; 
б) 
2
y
x
x


; 

в) 
cos
y
x

; 
г) 

2
5

6
120

x
x
y
x



; 

д) 
sin
cos
y
x
x


; 
е) 

4
2x x
y


; 
 

ж) 

2

2
3
2

x
y
x


 ;                                          з) 
sin x
y
x

. 

 
               1.6  Построить график и указать интервалы возрастания и убывания 
функции: 
а) 
2
1
y
x

 ; 
б) 
2
1
y
x


; 

в) 
2
3
6
1
y
x
x
 

 ; 
г) 
2
4
5
y
x
x


 . 

 
               1.7  По известному графику функции 
2
y
x

 построить графики 
следующих функций: 

а) 
2
3
y
x

; 
б) 

2
1
2
y
x
 
; 

в) 



2
1
y
x


; 
г) 


2
1
1
2
y
x


; 

д) 
2
2
2
y
x
x



; 
е) 
2
4
8
12
y
x
x



. 

 
               1.8  Зная график функции 
3
y
x

, построить графики следующих 
функций: 
а) 



3
2
y
x
 

; 
б) 
3
1
y
x

 ; 
в) 


3
2
1
2
y
x


 . 
 
               1.9  Построить графики следующих функций: 

а) 
2
x
y

 
; 
б) 
2,
0

2,
0

для
x
y
для
x



 


; 

в) 
,
2

5,
2

x
если
x
y
если
x



 


; 
г) 
2
2
2,
1

1
,
1
1
2
2,
1

x
x

y
x
x
x
x



 


 

 







; 

д) 

2

,
2
3,
2
2

,
2

x
x
y
x

x
x


 










; 
е) 

2
2
4,
1

0,
1

x
x
x
y
x





 


. 

 
               1.10  Построить графики функций: 
а) 


3sin 2
4
y
x


; 
б) 
2cos3
y
x

. 

1.2  Множества и операции над ними 
 
               Понятие множества является базисным первоначальным понятием 
математики, которое не определяется формально – логически. Его можно лишь 
описать с помощью синонимов. 
Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, 
объединенных некоторым общим свойством. 
Объекты множества называют элементами множества и обозначают 
малыми буквами латинского алфавита: a,b,c,…,x,y,z. Множества обозначают 
большими буквами: А,В,С,…,Х,У,Z. 
Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают x
X

. 
Множество, содержащее конечное число элементов, называется 
конечным, а множество, содержащее бесконечное число элементов называется 
бесконечным. 
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым 
и обозначается  ø. 
Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних 
и тех же элементов. 
Множество В называется подмножеством или частью множества А, 
если каждый элемент множества В принадлежит и множеству А. Записывают 
В
А

. 
Два множества А и В называются эквивалентными (А~В), если 
между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, то 
есть каждому элементу множества А можно поставить в соответствие один и 
только один элемент множества В так, что каждый элемент из множества В при 
этом окажется соответствующим одному и только одному элементу из 
множества А. 
Объединением множества А и В называется множество, состоящее из 
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. 
Обозначение: А
В

.  (Рисунок 1.2) 
Пересечением двух множеств А и В называется множество, 
содержащее те и только те элементы, которые принадлежат обоим множествам 
А и В.  
Обозначение: А
В

. (Рисунок 1.3) 
 
 

A
B
A
B


A
B

A
B
 
                              Рисунок 1.2                                   Рисунок 1.3 

Разностью множеств А и В называется множество тех элементов 
множества А, которые не принадлежат множеству В. 
Обозначение: 
\
А В. (Рисунок 1.4) 
Если В
А

, то 
\
А В называется дополнением множества В в 
множестве А. 

A
B
B

A

\
A B
\
A B
 
Рисунок 1.4 
 
Решение типовых примеров 
 
1.11  Даны множества: 


6
;4
;3
;1;1;2

A
 


7
;5
;3
;2
;1

B
 


6
;4
;3
;2
;1

C
 


5
;2
;1

D
 
Найти А
В

; А
В

; А
С

; А
С

;
D
A 
;
D
A 
. Указать равные множества и 
какие из них являются подмножествами. 
Решение 



 

2;1;1;3;4;6
1;2;3;5;7
2;1;1;3;4;5;6;7
А
В 



; 


1;2;3
А
В 

;    



 

2;1;1;3;4;6
1;2;3;4;6
2;1;1;3;4;6
А
С 



; 


1;2;3;4;6
А
С

;   


6
;4
;3
;1;1;2

A

 
 

6
;5
;4
;3
;1;1;2
5
;2
;1
6
;4
;3
;1;1;2



 D
A
; 


.
;
;
2
;1
B
D
C
A
D
A




 
 
1.12 С помощью диаграмм показать справедливость следующих 
утверждений: 
а)  






X
Y
Z
X
Y
X
Z






   
  б)





\
\
\
A
C
В
А В
С
В



  
в) 



\
\
\
A В
С
А С
В


      
  г) 



\
\
\
\
A В
С
А С
В

 

                
 1.13   Задать перечислением всех элементов множества, определенные 
с помощью следующих характеристических свойств: 
а) 


5
А
х
N x



 
б) 


0
В
х
N x



 

в) 


2
C
х
Z x



 
г) 





0
;
0
1
3
2






x
x
x
Z
x
D
 

                1.14   Даны множества:  


5
;4
;3
;2

A
, 


6
;5
;4
;3

B
 
Найти А
В

; А
В

; 
\
А В;  
\
В А.