Квантовая теория рассеяния

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
 «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Р. В. ВЕДРИНСКИЙ

КВАНТОВАЯ 

ТЕОРИЯ  РАССЕЯНИЯ

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2008

УДК 530.1(075.8)
ББК 22.31я73

УДК 530.1(075.8)
ББК 22.31я73
       В 26
        

Ведринский Р. В.
Квантовая теория рассеяния: учебник / Р. В. Ведринский. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2008. – 192 с.
ISBN 978-5-9275-0626-2
Научная литература, посвященная фундаментальным проблемам квантовой физики, новым квантовым эффектам и их приложениям, широко использует математический аппарат и теоретические 
методы, не изучаемые на должном уровне в стандартных курсах 
квантовой теории и недостаточно описанные в типовых учебниках. 
Данный учебник призван заполнить имеющийся пробел. Основное 
внимание в нем уделено не рассмотрению конкретных квантовых 
явлений, что легко найти в любом учебнике по квантовой механике, а подробному описанию физических основ квантовой механики, ее математического аппарата, необходимого для изучения современной литературы, методов использования этого аппарата для 
описания основных нерелятивистских микрообъектов и аксиоматики, устанавливающей связь между математическим аппаратом и 
характеристиками микрообъектов. 
Учебник рассчитан на аспирантов, студентов магистратуры и 
старших курсов бакалавриата, желающих вести научную работу в 
следующих областях современной физики: фундаментальные проблемы квантовой физики, физика наноструктур и квантовые компьютеры.

© Ведринский Р. В.,  2008
© Южный федеральный университет,  2008
©  Оформление. Макет. Издательство 
    Южного федерального университета,  2008

В 26

ISBN 978-5-9275-0626-2

Учебник подготовлен и издан в рамках 
национального проекта «Образование» 
по «Программе развития федерального государственного 
образовательного учреждения 
высшего профессионального образования 
“Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.»

Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Постановка задачи рассеяния .......................................... 6 
 
 
Глава 2. Стационарный подход 
                к квантовой теории рассеяния ..................................... 14
         2.1. Постановка задачи рассеяния 
                в стационарном подходе ..................................................... 15
         2.2. Интегральное уравнение для волновой функции 
                задачи рассеяния. Борновские приближения 
                для амплитуды рассеяния. 

−
+ y
y ,
-векторы.
                Уравнения Липпмана–Швингера .................................... 19 
         2.3. Свойства 

−
+ y
y ,
-векторов. Полная функция Грина. 
                Уравнение Дайсона ............................................................... 34

Глава 3. Описание процессов рассеяния 
                в нестационарном подходе ............................................... 41
         3.1. Постановки задачи рассеяния 
                в нестационарном подходе ................................................. 42 
         3.2. Описание процесса адиабатического включения 
                и выключения взаимодействия 
                в теории рассеяния. S-матрица ........................................ 48 
      
         3.3. Расчет сечения рассеяния 
                в нестационарном подходе. 
                «Золотое правило» Ферми ................................................. 57
         3.4. Общие свойства S-матрицы, 
                оптическая теорема .............................................................. 60 
          
         3.5. Применение «золотого правила» Ферми 
                для описания процессов неупругого рассеяния ........ 64 
 
         3.6. Реалистический подход к задаче рассеяния ................ 70

Глава 4. Рассеяние сферически-симметричным   
                потенциальным центром ................................................ 83
         4.1. Постановка задачи ................................................................ 84
         4.2. Решение уравнения Шредингера 
                в сферически-симметричном потенциале ................... 85
         4.3. Решения задачи рассеяния для сферически-        
                симметричного потенциального центра ...................... 98 
         4.4. Свойства сдвигов фаз рассеяния ................................... 105

Глава 5. Аналитические свойства S-матрицы. 
                Поведение фаз рассеяния при малых энергиях .... 111
         5.1. Аналитические свойства S-матрицы ............................ 112
         5.2. Физический смысл полюсов S-матрицы ..................... 117
         5.3. Поведение сдвигов s-фаз рассеяния 
                при малых энергиях ........................................................... 119

Глава 6. Резонансные и квазистационарные 
                состояния. Время рассеяния ....................................... 125
         6.1. Квазистационарные и резонансные состояния 
                в квантовой механике ....................................................... 126
         6.2. Распад квазистационарных состояний ....................... 134
         6.3. Время рассеяния ................................................................. 142

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ .... 151

         1.1. Определение обобщенной функции. d-функция ....... 152
         1.2. Преобразования и свойства обобщенных функций.
                Дифференцирование обобщенных функций ............ 158
         1.3. Некоторые важные соотношения теории 
                обобщенных функций ...................................................... 164

1.4. Обобщенные функции, связанные 
             с функцией 1/x ......................................................................... 168
      1.5. d-функции в трехмерном случае ....................................... 176

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ........................................................ 179

Литература ............................................................................................. 188

Глава 1

ПОСТАНОВКА 
ЗАДАЧИ  РАССЕЯНИЯ

Квантовая теория рассеяния

Квантовая теория рассеяния изучает процессы взаимодействия 
падающих на твердотельную или газовую мишень микрочастиц с 
отдельными частицами мишени. Такие процессы называют элементарными. При их исследовании эксперимент должен быть поставлен 
так, чтобы исключить многократное рассеяние падающих частиц 
в мишени, а также интерференцию волн, описывающих частицы, 
когерентно рассеянные различными частицами мишени. Для исключения многократного рассеяния толщина мишени должна быть 
много меньше длины свободного пробега в ней падающих частиц. 
Для исключения интерференции импульс, переданный при рассеянии частице мишени, должен быть достаточно велик. В этом случае 
квантовое состояние рассеивающей частицы мишени изменяется, и 
волны, описывающие частицы, рассеянные различными частицами 
мишени, не интерферируют друг с другом, так что полный поток 
рассеянных частиц равен сумме потоков, возникших в результате 
рассеяния падающих частиц всеми частицами мишени. В случае 
больших переданных импульсов можно, кроме того, пренебречь 
взаимодействием между частицами мишени и считать элементар

Р. В. Ведринский

ный процесс рассеяния процессом столкновения двух свободных 
частиц. При этом падающая частица имеет достаточно большой 
импульс, а частица мишени первоначально практически покоится. 
Система отсчета, в которой частицы мишени покоятся, называется 
лабораторной. Теоретически более удобной системой отсчета является система центра масс. В этой системе отсчета процесс рассеяния 
можно описать как рассеяние одной эффективной частицы с массой, 
равной приведенной массе сталкивающихся частиц. Вопрос о том, 
как на основе решения задачи рассеяния в системе центра масс можно описать процесс рассеяния в лабораторной системе отсчета, подробно рассмотрен в «Курсе теоретической физики» Л. Д. Ландау и  
Е. М. Лифшица (том 1 [5], глава 4 и том 3 [3], глава 17) и в дальнейшем обсуждаться не будет. Ниже для простоты считается, что 
частицы мишени имеют столь большие массы, что лабораторная система и система центра масс совпадают. 
Частицами мишени являются атомные ядра, если исследуются 
процессы ядерного рассеяния нейтронов, протонов a-частиц и пр., 
и атомы или молекулы, если исследуются процессы рассеяния ими 
электронов. В последнем случае для исключения процессов многократного рассеяния обычно используют газовые мишени. 
В пренебрежении процессами многократного рассеяния падающих частиц в мишени и интерференцией рассеянных волн измеряемая детектором интенсивность рассеянных частиц (число частиц, регистрируемых детектором в единицу времени) равна сумме вкладов 
от рассеяния падающих частиц всеми частицами мишени. Каждый 
такой вклад dN/dt пропорционален плотности потока падающих частиц  j и величине телесного угла dW, под которым видно входное 
окно детектора из точки, где располагается мишень, размеры которой 
выбирают много меньшими, чем расстояния до детектора:

Квантовая теория рассеяния





d
d
d
j
t
d
dN
 ,  
 
 
 
 
(1.1.1) 

 

где величина 


d
d
, характеризующая элементарный процесс рассеяния, 

называется дифференциальным сечением рассеяния. Главной задачей теории 

рассеяния является вычисление сечений рассеяния. Величина: 

 

 
 
 
 






d
d
d
t
 
 
 
 
 
 
(2.1.2) 

 

называется полным сечением рассеяния. 

 
Длина l свободного пробега падающих частиц в мишени равна: 

 

 ,                                      (1.1)

где величина W

s
d
d

, характеризующая элементарный процесс рассеяния, называется дифференциальным сечением рассеяния. Главной 
задачей теории рассеяния является вычисление сечений рассеяния. 
Величина

                                            
∫
W
W
s
=
s
d
d
d

t

                                            
(1.2)

называется полным сечением рассеяния. 
Длина l свободного пробега падающих частиц в мишени равна

                                                 
s
=
n
l
/
1
,                                                (1.3)

где n – концентрация частиц мишени. 
Используя соотношение (1.3), легко понять, какой должна быть 
толщина мишени, чтобы можно было пренебречь процессами многократного рассеяния. 
Рассмотрим качественно вопрос о том, при каких условиях можно 
пренебречь эффектом интерференции волн, возникших в результате 
рассеяния падающих частиц различными частицами мишени. В случае газовых мишеней интерференция отсутствует. В случае твердотельных мишеней можно приближенно считать, что каждая частица 

Р. В. Ведринский

мишени совершает независимые колебания около своего положения 
равновесия. Такая модель, нередко используемая в физике твердого 
тела, называется моделью Эйнштейна. Пусть частица мишени находится в колебательном состоянии с волновой функцией 
)
(
0 r
j
. Если 
в результате рассеяния падающая частица получает дополнительный 
волновой вектор q  (называемый переданным импульсом или переданным волновым вектором), то частица мишени получает волновой векторq
−
. В случае, если падающие частицы имеют достаточно 
большие скорости, время рассеяния, как правило, намного меньше 
периода колебания частиц мишени около положения равновесия. При 
этом можно считать, что частица мишени получает волновой вектор 
q
−
 мгновенно и ее волновая функция сразу после окончания акта рассеяния становится равной 
)
(
)
exp(
)
(
0
1
r
r
qi
r




j
−
=
j
. Несложно вычислить вероятность w0 того, что колебательное состояние частицы мишени останется неизменным после рассеяния, что и обеспечивает возможность интерференции рассеянных волн. Эта вероятность равна:

                       

2
3
0
0
0
)
(
)
exp(
)
(
∫
j
−
j
=
∗
r
d
r
r
qi
r
w




.                     (1.4)

Пусть r0 – амплитуда колебаний частицы мишени около положения 
равновесия (в данном случае – то средний радиус волновой функции 

)
(
0 r
j
). Ясно, что величина w0 мала, если qr0 >> 1. В этом случае интерференция отсутствует. Если же qr0 << 1, то величина w0 близка 
к 1, колебательное состояние частицы мишени после рассеяния с 
большой вероятностью остается неизменным и интерференцией пренебрегать нельзя. 
Если внутреннее состояние частиц, участвующих в рассеянии, не 
изменяется, их кинетические энергии в системе центра масс по за