01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

1 

УДК 303.732.4+514.84 
 
UDC 303.732.4+514.84 

ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ И КОЭФФИЦИЕНТ ЭМЕРДЖЕНТНОСТИ КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ СИСТЕМ  
 

GRAVITATIONAL WAVES AND EMERGENCE 
PARAMETER OF CLASSICAL AND QUANTUM 
SYSTEMS 

Трунев Александр Петрович 
к.ф.-м.н., Ph.D. 
Alexander Trunev 
Ph.D. 
 A&E Trounev IT Consulting, Торонто, Канада 
 A&E Trounev IT Consulting, Toronto, Canada  
 
Луценко Евгений Вениаминович 
д.э.н., к.т.н., профессор 
Lutsenko Evgeny Veniaminovich 
Dr.Sci.Econ., Cand.Tech.Sci., professor 
Кубанский государственный аграрный университет, Россия, 350044, Краснодар, Калинина, 13, 
prof.lutsenko@gmail.com
  

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia 

Установлено, что статистики Ферми-Дирака, БозеЭйнштейна и Максвелла-Больцмана можно описать единым уравнением, которое следует из уравнения Эйнштейна для систем, обладающих центральной симметрией. Построен коэффициент 
эмерджентности классических и квантовых систем, 
представляемых как лучи гравитационных волн, 
взаимодействующих с гравитационным полем 
Вселенной.  
 

It was established that the Fermi-Dirac statistics, BoseEinstein and Maxwell-Boltzmann distribution can be 
described by a single equation, which follows from 
Einstein's equations for systems with central 
symmetry. Emergence parameter of classical and 
quantum systems composed by the rays of 
gravitational waves interacting with gravitational field 
of the universe has been computed. 

Ключевые слова: ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ, 
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ, КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА, СТАТИСТИКА ФЕРМИ-ДИРАКА, СТАТИСТИКА БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА, СТАТИСТИКА 
МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА, СИСТЕМНАЯ 
ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ, ТЕОРИЯ СТРУН, 
ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ ЭЙНШТЕЙНА,  ТЕМНАЯ МАТЕРИЯ, ТЕМНАЯ ЭНЕРГИЯ, ЭМЕРДЖЕНТНОСТЬ  

Keywords: BLACK ENERGY, BLACK MATTER, 
COMPLEX SYSTEM, EMERGENCE, GENERAL 
RELATIVITY, GRAVITATIONAL WAVES, 
INFORMATION THEORY, QUANTUM 
STATISTICS, FERMI-DIRAC STATISTICS, BOSEEINSTEIN STATISTICS, MAXWELLBOLTZMANN STATISTICS,  QUANTUM 
THEORY, STRING-THEORY. 

 
 

Введение 

Общая теория относительности Эйнштейна [1] и квантовая механика   

Шредингера [2] являются основой современной физической теории. В по
следнее время возникла проблема интерпретации барионной материи, со
держание которой во Вселенной составляет не более 5%   [3-4]. Необходи
мо указать механизм возникновения барионной материи из темной мате
рии или энергии, а также  объяснить,    почему в лабораториях наблюдают
ся только частицы, находящиеся в связи с барионной материей, но нет ни
каких следов темной энергии или темной материи.  

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

2 

Этот вопрос, на наш взгляд, напрямую связан с гравитационными 

волнами, которые недавно были обнаружены путем анализа поляризации 

фонового микроволнового излучения [5]. В этой связи приведем фрагмент 

из письма Шредингера к Эйнштейну: «…я уже давно думаю, что следует 

отождествлять ψ -волны с волнами нарушения гравитационного потенциа
ла -  конечно, не с теми, которые ты исследовал впервые, но с теми, кото
рые обладают действительной массой, т.е. не исчезающим
ik
T . Это значит, 

я думаю, что нужно в абстрактной общей теории относительности, содер
жащей  
ik
T  еще как «asylum ignorantial» (по твоему собственному выраже
нию), ввести материю не в качестве массивных точек или чего-нибудь по
добного, а как квантованные гравитационные волны» [2].  

Для описания материи в рамках общей теории относительности 

Эйнштейн и Инфельд сформулировали программу [6]: «Все попытки пред
ставить материю тензором энергии-импульса неудовлетворительны, и мы 

хотим освободить нашу теорию от специального выбора такого тензора. 

Поэтому мы будем иметь дело здесь только с гравитационными уравнени
ями в пустом пространстве, а материя будет представлена сингулярностя
ми гравитационного поля».    

Реализация этой программы в физике имела далеко идущие послед
ствия. В результате сформировалась научная парадигма, берущая свое 

начало из трудов Пифагора,  в которой реальность заменяется численной 

симуляцией, полученной на квантовом компьютере Вселенной  [7-13]. 

Действительно, хорошо известно, что информация является основой раз
вития систем [14-17]. Однако описание физических систем на основе уни
версальной модели – теории всего, все еще является нерешенной пробле
мой.  

Мы предполагаем, что теория относительности Эйнштейна [1] может 

служить базовой универсальной моделью, в которой Вселенная представ

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

3 

ляется как совокупность гравитационных волн разного масштаба [18-20]. В 

таком случае квантовые и классические системы представляются как лучи 

гравитационных волн, а метрика является основной мерой взаимодействия 

систем с внешним гравитационным полем.  

Предложенный подход к решению проблемы происхождения кван
товой механики [2] из общей теории относительности Эйнштейна [1] мо
жет явиться основой для построения ряда моделей, объясняющих не толь
ко связь волновой функции с гравитационными волнами, в полном соот
ветствии с гипотезой Шредингера [2], но и квантовой статистики. В насто
ящей работе построен коэффициент эмерджентности классических и кван
товых динамических систем, по аналогии  с коэффициент эмерджентности 

классических и квантовых статистических систем [21-22].          

Основные уравнения модели 

Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид /6/:    

µν
µν
µν
µν

π
T

c

G
g
R
g
R
4
8

2
1
+
Λ
=
−
                                                       (1) 

 
µν
µν
µν
T
g
R
,
,
  - тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии
импульса;  
c
G,
,
Λ
- космологическая постоянная Эйнштейна, гравитацион
ная постоянная и скорость света соответственно.  

В общем случае имеют место соотношения   









∂

∂
−
∂
∂
+
∂

∂
=
Γ

Γ
Γ
−
Γ
Γ
+
∂
Γ
∂
−
∂
Γ
∂
=

=
=

s
jk
j
sk
k
sj
is
i
jk

ik
ik
j
ijk
ik

x

g

x
g
x

g
g

x
x
R

R
g
R
R
R

2
1

,

,
,

α
µδ
µ
βγ
α
µγ
µ
βδ
δ

α
βγ
γ

α
βδ
α
βγδ
                                             (2) 

α
βγδ
R
- тензор Римана, 

i
kl
Γ – символы Кристоффеля второго рода.  

Чтобы сохранить основную идею определения метрики в теории гра
витации Эйнштейна, мы предположим, что уравнение Эйнштейна (1) рас
падается на два независимых уравнения [18-20]: 

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

4

)
(
8
2
1

4
Λ
−
=

=
−

k
g
T
c
G

kg
R
g
R

µν
µν

µν
µν
µν

π
                                                       (3) 

Здесь k – некоторая функция, зависящая от размерности простран
ства. Отметим, что первым уравнением определяется метрика простран
ства-времени, а вторым уравнением задается распределение материи, ко
торое соответствует этой метрике. Эта гипотеза соответствует идее о про
исхождении материи из гравитационного поля  [6], но без специального 

предположения о наличии сингулярности метрики. 

В работах [18-20] представленная модель квантовой гравитации в 

многомерных пространствах размерностью D  с метрикой   

2
1
2
2
2
1
2

2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2

sin
...
sin
sin
...

sin
sin
sin
)
(
)
,
(

N
N d

d
d
d
dr
p
dt
r
t
ds

φ
φ
φ
φ

φ
φ
φ
φ
φ
φ
ψ
ψ

−
−

−
−
−
−
−
=
               (4) 

Здесь 
N
φ
φ
φ
,...,
,
2
1
- углы на единичной сфере, погруженной в 
1
−
D
  

мерное пространство. Метрика (4) описывает многие важные случаи сим
метрии, используемые в физике элементарных частиц и в теории супергра
витации. Такой подход позволяет охватить все многообразие материи, ко
торую производит фабрика природы, путем выбора уравнения состояния 

)
(ψ
p
p =
. Так, например, в [18-19]  метрика (4) и модель (3) использованы 

для обоснования гипотезы Шредингера [2] о связи гравитационных волн с 

волновой функцией квантовой механики.     

Рассмотрим гравитацию в пространствах с метрикой (4). Уравнение 

Эйнштейна в форме (3) является универсальным, поэтому обобщается на 

пространство любого числа измерений. Движение материи будем описы
вать уравнением Гамильтона-Якоби, которое также обобщается на любое 

число измерений. Вместе эти два уравнения составляют универсальную 

модель, описывающую движение материи в D -мерном пространстве:     

µν
µν
µν
kg
R
g
R
=
− 2

1
                                                       (5) 

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

5

0
=
∂
∂

∂
∂

k
i
ik

x
S

x
S
g
                                                         (6) 

Следовательно, движение материи в квантовой или классической си
стеме можно рассматривать как результат фундаментального механизма 

преобразования темной энергии в системе, содержащей гравитационные 

волны разного масштаба [20].  Действительно,  уравнение Гамильтона
Якоби  (6) описывает распространение лучей света или пучков частиц с 

нулевой массой в приближении геометрической оптики. Тогда как уравне
ние Эйнштейна описывает гравитацию в исследуемом масштабе длин 

волн, включая прибор для измерения движения. Но свет и частицы можно 

рассматривать как пакеты гравитационных волн малого масштаба, которые 

генерируются в результате передачи энергии по спектру, аналогично меха
низму передачи энергии в турбулентном потоке [23].    

Коэффициент эмерджентности классических и квантовых стати
стических систем 

Если базовое множество содержит W элементов, то по Хартли коли
чество информации, которое мы получаем, когда выбираем некоторый 

элемент, равно: 

W
Log
I
2
=
                                                        (7) 

Если базовые элементы могут взаимодействовать друг с другом, то 

они могут образовывать подсистемы.  

Здесь и возникают принципиальные вопросы о том: 

– какие элементы могут образовывать подсистемы, а какие не могут; 

– сколько подсистем различной сложности может быть образовано 

из W базовых элементов? 

Ответы на эти вопросы зависят от того, какой квантовой статистике 

подчиняется образующаяся система. 

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из ряда подсистем, ко
торые пронумеруем целым числом 
,...
3
,2
,1
=
j
. Каждая подсистема харак

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

6 

теризуется числом состояний 
j
G и числом частиц 
j
N , которые находятся в 

этих состояниях и обладают энергией 
j
ε . Определим число возможных 

способов распределения 
j
N частиц по 
j
G состояниям. В случае статистики 

Ферми в каждом состоянии может находиться не более чем одна частица, 

поэтому число способов равно [24] 

)!
(!

!

j
j
j

j
j
N
G
N

G

−
=
∆Γ
                                      (8) 

В случае статистики Бозе в каждом состоянии может находиться лю
бое число частиц, следовательно, число способов равно [24] 

)!
1
(!

)!
1
(

−

−
+
=
∆Γ

j
j

j
j
j
G
N

N
G
                                      (9) 

Энтропия, общее число частиц и энергия системы равны по опреде
лению   

∑
∑
∑
=
=
∆Γ
=

j
j
j
j
j
j
j
N
E
N
N
S
ε
,
,
ln
                             (10) 

Найдем числа 
j
j
j
G
N
n
/
=
, которые соответствуют экстремуму эн
тропии при условии  постоянства общего числа частиц и энергии системы.  

Если число состояний и число частиц в каждой подсистеме достаточно ве
лико, 
1
,
>>
j
j G
N
, то можно воспользоваться приближенной формулой 

для логарифма факториала 
)
/
ln(
!
ln
e
N
N
N j ≈
. В этом случае выражение 

энтропии квантовых систем упрощается и принимает вид: 

 
∑

∑

−
+
+
=

−
−
−
−
=

j
j
j
j
j
j
B

j
j
j
j
j
j
F

n
n
n
n
G
S

n
n
n
n
G
S

]
ln
)
1
ln(
)
1
[(

,
)]
1
ln(
)
1(
ln
[

                             (11) 

Здесь первое выражение соответствует энтропии системы фермио
нов, а второе – системы бозонов.   

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

7 

Используя метод Лагранжа, составим функционал 
E
N
Sk
β
α
+
+
, 

где 
β
α ,
 - некоторые постоянные. Экстремум энтропии достигается при 

условии 

0
)
(
=
+
+
∂
∂
E
N
S
n
k
j
β
α
 

Отсюда находим два типа распределения  

1
)
exp(
1
±
+
=

j
j
n
βε
α
                                    (12) 

Отметим, что знак плюс соответствует распределению Ферми, а знак 

минус – распределению Бозе.  

Следовательно, в случае статистики Ферми на образование подси
стем накладывается ограничение на число частиц, которые могут нахо
диться в одном состоянии. С учетом этого ограничения все элементы базо
вого множества могут образовывать подсистемы в любых сочетаниях, а их 

общее число определяется выражением (8), которое запишем в виде   

(
)!
!
!
m
n
m
n
C m
n
−
=
                                              (13) 

Здесь n – число состояний системы; m – число частиц находящихся в 

этих состояниях. 

Ясно, что при фиксированном числе состояний в системе могут быть 

подсистемы из 1, 2, 3, …, W элементов. При этом подсистемы из 1-го эле
мента это сами базовые элементы, а подсистема из W элементов – это вся 

система в целом (булеан) [17, 21]. 

На всех иерархических уровнях системы от 1-го до W, суммарно бу
дет содержаться  общее число подсистем: 

(
)
∑
∑
=
=
−
=
=

W

m

W

m

m
n
FD
m
n
m
n
C
N

1
1
!
!
!
                                   (14) 

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

8 

В работе [14] предложено считать, что количество информации в си
стеме можно рассчитывать по формуле Хартли (7), полагая, что элемента
ми системы являются не только ее базовые элементы, но и состоящие из 

них подсистемы, количество которых в системе определяется выражением 

(14). Таким образом, количество информации в  системе будет: 

(
)
∑
∑
=
=
−
=
=
=

W

m

W

m

m
n
FD
FD
m
n
m
n
Log
C
Log
N
Log
I

1
2
1
2
2
!
!
!
                  (15) 

Или окончательно: 

∑
=
=

W

m

m
n
FD
C
Log
I

1
2
                                           (16) 

Следовательно, выражение (11) представляет собой системное 

обобщение формулы Хартли для количества информации в квантовой си
стеме, подчиняющейся статистике Ферми-Дирака с заданным числом со
стояний и с переменным числом частиц. 

В работе [14] предложено оценивать уровень системности или слож
ности системы отношением количества информации в системе (с учетом 

входящих в нее подсистем всех уровней иерархии) к количеству информа
ции во множестве образующих ее базовых элементов: 

W
Log

C
Log
W
n
H

W

m

m
n

FD
2

1
2
)
,
(
∑
=
=
                                            (17) 

Это выражение было названо в работе [21] коэффициентом эмер
джентности Хартли, в честь этого выдающегося ученого, внесшего 

большой вклад в становление научной теории информации, а также пото
му, что в нем использовано классическое выражение Хартли для количе
ства информации (7) и его системное обобщение (16). 

На рис. 1 представлена зависимость коэффициента эмерджентности 

Хартли (17), представляющая собой поверхность. Отметим, что в области 

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

9 

параметров 
137
≤
n
, характерной для ядерных и атомных оболочек, коэф
фициент эмерджентности изменяется немонотонно с ростом W, что позво
ляет объяснить поведение энергии связи нуклонов в атомных ядрах [25].  

Непосредственно из вида выражения для коэффициента эмерджент
ности Хартли (17) ясно, что он представляет собой относительное превы
шение количества информации в квантовой системе, подчиняющейся ста
тистике Ферми-Дирака, при учете системных эффектов (смешанных состо
яний, иерархической структуры ее подсистем и т.п.) над количеством ин
формации без учета системности.  

 
Рис. 1. Поведение коэффициента эмерджентности Хартли в случае 

классической и квантовой статистики [22]. На правом нижнем рисунке по
верхности коэффициента эмерджентности изображены для малого числа 

частиц и состояний.      

 

Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf 

1

В работе [21] показано, что при n=W выражение (16) приобретает 

вид: 

1
2

1
−
=
=∑
=

W
W

m

m
W
FD
C
N
                                      (18) 

Выражение (11) для количества информации в системе с учетом (18): 

)1
2
(
2
−
=
W
FD
Log
I
                                     (19) 

Выражение (19) дает оценку максимального количества информации, 

которое может содержаться в системе при вхождении всех элементов во 

все подсистемы различных уровней иерархической структуры.  

Из выражения (19) видно, что I достаточно быстро стремится к W, 

поскольку 

∞
→
=

W W
I
1
/
lim
                                               (20) 

При W > 4 различие I и W в выражении (20) не превышает 1%. Таким 

образом, коэффициент эмерджентности Хартли (17) отражает уровень 

системности объекта, подчиняющегося статистике Ферми-Дирака. Этот 

коэффициент изменяется от 1 (системность минимальна, т.е. отсутствует) 

до W/Log2W (системность максимальна).  

Для каждого количества элементов системы существует свой 

максимальный уровень системности, который никогда реально не 

достигается из-за действия правил запрета на реализацию в системе ряда 

подсистем различных уровней иерархии. Например, не все сочетания букв 

русского алфавита образуют слова русского языка, и не все сочетания слов 

– предложения. В каждом состоянии может находиться только одна 

частица и т.п.  По этой причине систему правил запрета в [21] предложено 

назвать информационным проектом системы. Различные системы, 

состоящие из равного количества одинаковых элементов, отличаются друг 

от друга именно по причине различия своих информационных проектов.