Начертательная геометрия

Е.И. БЕлякова
П.в. ЗЕлёный

НачертательНая 
геометрия

Допущено 
Министерством образования Республики Беларусь  
в качестве учебного пособия для студентов  
высших учебных заведений по техническим специальностям

2013

3-е издание, исправленное

Под редакцией П.В. Зелёного

 
Минск 
Москва
 
«Новое знание» 
«ИНФРАМ»

УДК 514.18(075.8) 
ББК 22.151.3я73 
 
Б44

Белякова, Е.И.
Начертательная геометрия : учеб. пособие / Е.И. Белякова,

П.В. Зелёный ; под ред. П.В. Зелёного. — 3-е изд., испр. —
Минск : Новое знание ; М. : ИНФРАМ, 2013. — 265с. : ил. —
(Высшее образование).

ISBN 978985475460-4 (Новое знание) 
ISBN 978-5-16-005063-8 (ИНФРА-М)

Содержит теоретический материал и индивидуальные графические

работы по основным темам курса «Начертательная геометрия». Каждая
графическая работа включает методический материал, примеры решения предложенных задач, атакже исходные данные для самостоятельного решения по 30 вариантам. Разработанные авторами графические алгоритмы помогут развитию логического мышления ипространственного воображения, а также приобретению навыков
самостоятельного решения различных задач. В приложении приводится краткое описание общих правил оформления чертежей всоответствии со стандартами ЕСКД.
Для студентов технических специальностей высших учебных заведений.

УДК 514.18(075.8) 
ББК 22.151.3я73

Б44

Белякова Е.И., Зелёный П.В., 2010
©
Белякова Е.И., Зелёный П.В., 2011,
©
с изменениями
ООО «Новое знание», 2011
©

ISBN 978985475460-4 (Новое знание) 
ISBN 978-5-16-005063-8 (ИНФРА-М) 

Рецензенты:
кафедра «Инженерная графика» Белорусского государственного технологического университета (зав. кафедрой — кандидат технических наук Н.И. Жарков);
кандидат технических наук, доцент кафедры «Инженерная графика» Белорусского государственного университета информатики и радиотехники В.А. Столер

Предисловие

Начертательная геометрия как наука сформировалась к концу XVIII века, когда французский общественный деятель, ученый и гениальный геометр Гаспар Монж (1746–1818) впервые опубликовал курс лекций по начертательной геометрии для студентов парижской Политехнической школы
(Geometrie descriptive). С тех пор начертательная геометрия входит в учебные программы технических вузов как дисциплина, без которой немыслимо
обучение специалистов инженерного профиля. В России начертательная
геометрия стала предметом преподавания с 1810 г., когда курс начертательной геометрии впервые ввели в учебную программу петербургского Института корпуса инженеров путей сообщения.
Начертательная геометрия является основополагающим разделом учебной дисциплины «Инженерная графика», входящей в цикл общенаучных
и общепрофессиональных предметных курсов подготовки специалистов
в высшей технической школе по большинству направлений образования
профиля «Техника и технологии», по направлению образования «Экономика и организация производства», по группам специальностей «Преподавание технологии» и «Профессиональное образование».
Изучение начертательной геометрии начинается на первом курсе в первом
семестре. Последующие разделы инженерной графики — «Проекционное
черчение», «Машиностроительное черчение» и «Инженерная компьютерная
графика и моделирование» — изучаются далее в названном порядке, но могут совмещаться с начертательной геометрией в зависимости от количества
учебных часов, отведенных на весь курс инженерной графики.
Предметом начертательной геометрии является научная разработка и обоснование, теоретическое и практическое изучение способов графического построения изображений пространственных форм на плоскости и графических
способов решения различных позиционных и метрических задач.
Способы построения изображений предметов на чертеже по методу проекций (методу Г. Монжа), изучаемые в начертательной геометрии, позволяют
по чертежу создавать пространственные образы предметов, определять их
взаимное расположение и размеры, исследовать и моделировать различные
технические формы и конструкции. Начертательная геометрия развивает
пространственное мышление, необходимое для профессиональной деятельности инженера при решении различных технических задач и выполнении
чертежей. Особое значение начертательная геометрия приобретает при переходе на компьютерное моделирование и автоматизированное выполнение
чертежей, поскольку программное обеспечение основано на теоретических
положениях, понятиях и способах решения различных задач, изучаемых
исключительно в начертательной геометрии.
Учебные задачи курса начертательной геометрии заключаются в следующем:

усвоить правила построения изображений пространственных форм на
чертеже;

усвоить графические способы решения различных практических позиционных и метрических задач;

развить навыки создания пространственных образов предметов на основе логического анализа их изображений, т.е. развить пространственное
мышление;

научиться применять методы и понятия начертательной геометрии
в решении различных задач геометрического конструирования в практике
автоматизированного выполнения чертежей и компьютерного трехмерного
моделирования.
Порядок изложения тем начертательной геометрии в данном учебном пособии (см. прил. 1) соответствует принятому в базовом учебнике «Начертательная геометрия» В.О. Гордона [5] и практически во всех других изданных
учебниках.
К учебному пособию издана рабочая тетрадь, в которой собраны задачи по
всем темам начертательной геометрии, в том числе и по темам, не включенным в данное пособие (Белякова Е.И. Начертательная геометрия: рабочая
тетрадь / Е.И. Белякова, П.В. Зелёный; под. ред. П.В. Зелёного. М. : Новое
знание; Минск: Новое знание, 2009).
Авторы приносят благодарность за оказанную помощь при оформлении
средствами компьютерной графики разработанных графических условий
индивидуальных заданий и некоторых текстовых рисунков сотрудникам
кафедры «Инженерная графика машиностроительного профиля» Белорусского национального технического университета Т.В. Дорогокупец (условия
к задачам 1–6), В.Н. Степаненкову (образцы выполнения заданий), О.К. Щербаковой (подготовка рисунков), О.П. Зелёной (корректировка и перевод всех
графических изображений из AutoCAD в Word), а также студентам автотракторного факультета БНТУ Р.М. Алиевичу, А.А. Бобко, Д.В. Гинетову,
М.В. Гришелю, М.Н. Ефременко, А.О. Комарову, А.Е. Маркевичу, В.С. Слепец, С.А. Филипповичу.

4
Предисловие

Методические указания
по выполнению графических работ

При изучении начертательной геометрии необходимо придерживаться
следующих общих указаний:
1. Изучать и усваивать теоретический материал последовательно; запоминать применяемую терминологию и понятия, формулировки теорем.
2. Обязательно проработать и усвоить графическое решение всех типовых
задач, данных в качестве примеров. Это поможет понять теоретический материал и решить индивидуальные задания.
3. При изучении курса полезно прибегать к моделированию изучаемых
геометрических сочетаний и форм — например, сделать модель системы
трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций H, V и W и изучить
на такой модели возможные положения прямых и плоскостей относительно
плоскостей проекций; выполнить модели по темам «Поверхности», «Преобразование чертежа» и т.д. Опора на пространственные модели поможет быстрее установить логическую связь между пространственной формой и чертежом и развить пространственное воображение и логическое мышление.
Задачи, представленные в данном пособии и объединенные в графические
работы (текстовые условия задач см. в прил. 2), следует выполнять по две
или одной на отдельных листах белой бумаги в соответствии с приведенными
образцами. Каждую задачу графических работ 1, 2 и 3 необходимо сопроводить кратким планом решения в виде текстового алгоритма, выполненным
чертежным шрифтом на листах писчей бумаги.
Чертежи решенных задач выполняются в масштабе М1:1 (ГОСТ 2.302–68.
Масштабы) в карандаше с использованием линий, установленных ГОСТ
2.303–68. Линии.
Каждая графическая работа выполняется на стандартных листах формата А3 (ГОСТ 2.301–68. Форматы) с размерами сторон внешней рамки
420 297 мм. Оформление листа формата А3 показано на рис. 1.
В правом нижнем углу формата выполняется основная надпись, разработанная для заданий по начертательной геометрии (рис. 2). Для выполнения текста основной надписи следует использовать стандартный чертежный
шрифт № 7 и 5 типа Б (ГОСТ 2.304–81. Шрифты чертежные).
К альбому чертежей следует выполнить на листе формата А4 с размерами
сторон 210 297 мм титульный лист (рис. 3). Для выполнения надписей на
титульном листе также используют прямой или наклонный чертежный
шрифт № 5, 7 и 10, тип Б (широкий).
При выполнении графических работ следует соблюдать общие правила
оформления чертежей в соответствии со стандартами Единой системы конструкторской документации (ЕСКД) (см. прил. 3).
Чертежные материалы, принадлежности и инструменты для выполнения графических работ существенно влияют на качество и трудоемкость выполнения чертежей. При работе следует использовать:
1) чертежную белую бумагу — ватман формата А3 — хорошего качества
без типографской рамки чертежа и основной надписи;

Методические указания по выполнению графических работ

Рис. 1. Оформление листа формата A3

Рис. 2. Основная надпись

Методические указания по выполнению графических работ
7

Рис. 3. Пример оформления титульного листа

2) чертежные линейки и угольники — деревянные или из качественной
прозрачной пластмассы (с выступающими опорными элементами во избежание размазывания вычерченных линий):

линейка должна быть длиной не менее 400 мм (для вычерчивания рамки чертежа и нанесения горизонтальных линий связи);

можно использовать роликовые рейсшины хорошего качества (длина
220...300 мм) для вычерчивания параллельных линий;

прямоугольные треугольники (деревянные или пластмассовые с выступающими опорными элементами) должны иметь острые углы в 30и 60(или два угла по 45) и прямолинейные гладкие кромки;
3) карандаши с грифелем твердостью «HB» (твердомягкий), «BH» (мягкотвердый), «B» (мягкий) и «F» (более мягкий); грифель твердостью «B»
или «F» вставляют в головку циркуля;
4) ластик — без абразивных включений (как правило, белого цвета), должен вытирать линию, не размазывая ее и не протирая бумагу.

8
Методические указания по выполнению графических работ

1. ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1
(задачи 1 и 2)

Тема:образование проекций; проекции точки и прямой; взаимное положение прямых; плоскость; пересечение прямой и плоскости; пересечение плоскостей; теорема о проекции прямого угла

Для решения задач 1 и 2 следует усвоить материал начертательной геометрии по следующим темам:
1. Образование проекций (метод проекций):

проекции центральные и параллельные;

свойства параллельных проекций;

прямоугольные (ортогональные) проекции.
2. Точка:

метод Г. Монжа;

точка в системе плоскостей проекций H, V, W;

ортогональные (прямоугольные) проекции точки в системе прямоугольных координат x, y, z.
3. Прямая:

прямые линии общего положения относительно плоскостей проекций
H, V, W и их изображение на чертежах;

особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
проекций и их изображение на чертеже — проецирующие прямые и прямые
уровня;

точка на прямой (теорема о принадлежности точки прямой);

деление отрезка в заданном отношении;

определение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов ее наклона к плоскостям проекций H и V (способ прямоугольного треугольника);

понятие о следах прямой.
4. Взаимное положение прямых:

взаимное положение двух прямых и их изображение на чертеже (прямые параллельны, пересекаются или скрещиваются);

теорема о проекции прямого угла (взаимно перпендикулярные прямые — частный случай пересекающихся прямых).
5. Плоскость:

различные способы задания плоскости на чертеже;

точка и прямая в плоскости (теоремы о принадлежности точки и прямой плоскости;

прямые особого положения — горизонталь и фронталь плоскости;

понятие о следах плоскости;

положение плоскости относительно плоскостей проекций (плоскости
общего положения, плоскости частного положения — проецирующие плоскости и плоскости уровня);

проведение проецирующей плоскости через прямую общего положения (заключение прямой в плоскость).
6. Взаимное положение плоскостей, прямой и плоскости:

взаимное положение двух плоскостей (плоскости пересекаются или параллельны);

взаимное положение прямой и плоскости (прямая и плоскость пересекаются или параллельны);

частные случаи пересечения двух плоскостей, прямой и плоскости;

пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения (построение точки их пересечения);

пересечение плоскостей общего положения (построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых с плоскостью).

Краткое изложение теоретического материала

1.1. Метод проекций. Проекции центральные и параллельные.
Параллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование.
Свойства параллельного проецирования

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей.
Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча
с плоскостью проекции. Проекции называются параллельными, если проецирующие лучи параллельны между собой, и центральными, если все проецирующие лучи проходят через одну точку — центр проекций S.
Параллельные проекции могут быть:

прямоугольными (ортогональными) — если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций;

косоугольными — если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций (угол проецирования не равен 90).
Отметим некоторые свойства параллельного проецирования:

проекцией точки является точка;

проекцией прямой линии в общем случае является прямая;

если точка делит отрезок прямой в определенном отношении, то проекция точки делит проекцию прямой в том же отношении;

если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны.
На рис. 1.1 показано построение проекций точек A и B, C и D (объекты
проецирования) на некоторую плоскость проекций. Проецирующие лучи,
проведенные через центр проекций (точку S) и заданные точки A и B, пересекаются с плоскостью проекций и определяют центральные проекции Аи В10
1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и 2)