Высшая математика. Руководство к решению задач. Ч. 1

Èçäàíèå òðåòüå,
èñïðàâëåííîå è äîïîëíåííîå

2014

УДК 510
ББК 22.1
Л 84

Л у н г у К. Н., М а к а р о в Е. В.
Высшая математика. Руководство
к решению задач. Ч. 1. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. —
216 с. — ISBN 978-5-9221-1500-1.

Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций
и проведения практических занятий по высшей математике в Московском
государственном открытом университете на различных факультетах. В пособии
большое внимание уделяется решению типовых задач по вычислению пределов,
по построению и исследованию графиков функций, по дифференциальному исчислению. Наряду с большим числом решенных задач, приводятся упражнения
для самостоятельного решения; ко всем главам даны контрольные задания.
Пособие рассчитано на студентов очной, заочной и вечерней форм обучения
факультетов, где математика не является профилирующей дисциплиной.
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
техническим направлениям и специальностям.

Учебное издание

ЛУНГУ Константин Никитович
МАКАРОВ Евгений Васильевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Редактор В.С. Аролович
Корректор Н.А. Лихач¨ева
Оригинал-макет: Я.В. Жабицкий
Оформление переплета: А.Ю. Ал¨ехина

Подписано в печать 06.02.2014. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 13,5. Уч.-изд. л. 14,85. Тираж 500 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с электронных носителей издательства
в ОАО «ИПК «Чувашия»,
428019, г. Чебоксары, пр-т И. Яковлева, 13

ISBN 978-5-9221-1500-1

ISBN 978-5-9221-1500-1

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008, 2010, 2014

c⃝ К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров, 2008, 2010,
2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а I.
Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§ 1. Метод Жордана–Гаусса. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§ 2. Метод Крамера . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
§ 3. Метод обратной матрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

Г л а в а II.
Аналитическая геометрия на плоскости . . . . . . . . . . . .
36
§ 1. Декартовы системы координат. Простейшие задачи . .. . . . . . . . .
36
§ 2. Полярные координаты. .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
38
§ 3. Линии первого порядка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
§ 4. Линии второго порядка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
§ 5. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
60
Контрольные задания (к главам I и II). .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

Г л а в а III.
Элементы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
§ 1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. .. . . . . . . .
66
§ 2. Скалярное произведение векторов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
§ 3. Векторное произведение векторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
§ 4. Смешанное произведение векторов . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

Г л а в а IV.
Аналитическая геометрия в пространстве . . . . . . . . . .
79
§ 1. Плоскость в пространстве . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
§ 2. Прямая в пространстве . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
87
§ 4. Поверхности второго порядка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Контрольные задания (к главам III и IV) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

Г л а в а V.
Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
§ 1. Основные понятия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
103
§ 2. Деформация графиков функций . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

Оглавление

§ 3. Предел последовательности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
§ 4. Вычисление пределов функций. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
§ 5. Односторонние пределы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
§ 6. Непрерывные функции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
129

Г л а в а VI.
Элементы высшей алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
§ 1. Понятие комплексного числа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа . .. . . . . . . . . .
135
§ 3. Арифметические действия с комплексными числами . .. . . . . . . .
137
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа. .. . . . . . . . . . . . . . . .
139
§ 5. Разложение рациональной дроби на простейшие . .. . . . . . . . . . .
142
Контрольные задания (к главам V и VI) . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
147

Г л а в а VII.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
§ 1. Определение производной . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
§ 2. Геометрическая, механическая и экономическая интерпретации
производной . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
§ 3. Связь дифференцируемости с непрерывностью . .. . . . . . . . . . . .
152
§ 4. Таблица производных и правила дифференцирования. .. . . . . . . .
152
§ 5. Дифференциал функции и ее линеаризация . .. . . . . . . . . . . . . .
156
§ 6. Производные и дифференциалы высших порядков . .. . . . . . . . . .
158
§ 7. Дифференцирование обратных функций. Дифференцирование
функций, заданных неявно и параметрически . .. . . . . . . . . . . . . .
159
§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления . .. . . . . . . . .
163
§ 9. Применения производной . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
164
§ 10. Асимптоты . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
§ 11. Исследование функций на выпуклость, вогнутость и перегиб при
помощи второй производной . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
§ 12. Применение высших производных . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
§ 13. Исследование функций и построение графиков . .. . . . . . . . . .. .
177
Контрольные задания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185

Г л а в а VIII.
Функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . .
187
§ 1. Определение функции нескольких переменных . .. . . . . . . . . . . .
187
§ 2. Предел и непрерывность функции двух переменных . .. . . . . . . .
188
§ 3. Частные производные и дифференциал функции двух переменных
191
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Линеаризация
функций двух переменных . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков . .. . . .
196
§ 6. Производная по направлению. Градиент. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
198
§ 7. Формула Тейлора для функций двух переменных . .. . . . . . . . . .
201

Оглавление
5

§ 8. Экстремум функции двух переменных. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
§ 9. Наибольшее и наименьшее значения функции . .. . . . . . . . . . . .
206
§ 10. Метод наименьших квадратов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
§ 11. Приближенный метод решения несовместных систем . .. . . . . . .
210
Контрольные задания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214

Список литературы . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216

Предисловие

Настоящее учебное пособие написано авторами на основе многолетнего опыта чтения лекций и проведения практических занятий по
высшей математике в Московском государственном открытом университете на различных факультетах очной, заочной и вечерней форм
обучения, где математика не является профилирующей дисциплиной.
Авторы поставили перед собой цель — привить студенту умение
грамотно выбрать правильный подход к решению конкретной задачи.
Перед тем как начинать решать любые задачи, имеет смысл познакомиться с теорией по учебникам, список которых указан в конце
книги. Хотя в книге достаточно много теоретической информации,
иногда имеется намек на то, откуда тот или иной факт можно извлечь.
Например, из теорем, приведенных в § 8 гл. VII, получается много
других правил (алгоритмов) и формул: правило Лопиталя, необходимые
условия экстремума, формулы Тейлора и др.
Каждый параграф всех восьми глав, как правило, имеет единую
структуру. В начале параграфа даны основные теоретические сведения,
формулировки теорем, их интерпретации, формулы. Затем приведено
достаточное количество примеров, которые позволят грамотно выбрать
правильный подход к решению конкретных задач. Решенные в пособии
задачи не только имеют алгоритмический характер, но и способствуют
формированию и развитию у студента аналитико-синтетического стиля
мышления, который должен обеспечить возможность проанализировать и решить любую задачу из раздела «Упражнения», помещенного
в конце параграфа.
Отметим отдельные методические особенности настоящего пособия. В гл. I, наряду с методом Гаусса решения линейных систем, мы
приводим хорошо известный более экономный метод Жордана–Гаусса (мнемоническое правило прямоугольника). При этом все системы
можно поместить в одну таблицу Гаусса — компактное средство получения решения. В таблице Гаусса удобно найти матрицу, обратную для
данной, определить ранг системы, ранг матрицы, произвести другие
действия. Авторы считают методически оправданным прием введения
формул Крамера (в § 2) до понятия определителя. Это должно стимулировать желание студента узнать, что такое определитель и как он

Предисловие
7

вычисляется. В § 3 гл. II мы строим график специфической функции,
заданной в полярных координатах (пример 3). Цель примера состоит в том, чтобы заложить основу понимания многолистных функций
комплексной переменной. Большое внимание уделяется построению
графиков функций посредством их преобразования, вычислению пределов. Построено большое количество графиков функций с полным их
исследованием.
Некоторые задачи могут быть решены разными способами, и мы
рекомендуем читателю выбрать простейший.
Опыт работы студентов и преподавателей МГОУ с аналогичным
пособием показал целесообразность его создания.
Главы I, III, VI–VIII написаны К.Н. Лунгу, а главы II, IV, V —
Е.В. Макаровым.
Существенному улучшению настоящего издания способствовали
замечания, подсказки и советы профессоров Л.А. Уваровой (МГТУ
«Станкин»), В.И. Михеева (РУДН), А.Б. Будака (МГУ) и особенно
А.А. Пунтуса (МАИ). Всем им авторы признательны и благодарны.

Г л а в а I

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Метод Жордана–Гаусса

1◦. Система из m линейных уравнений с n неизвестными в общем
случае записывается так:
⎧
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎩

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn
= b1,
a21x2 + a22x2 + ... + a2nxn
= b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn= bm.

(1)

Коэффициенты {aij}, i = 1, 2, ... m, j = 1, 2, ... n, и свободные члены {bi}, i = 1, 2, ... m, — заданные действительные числа. Первый
индекс i в записи aij обозначает номер уравнения, второй — j — номер
неизвестной.
Решить систему (1) — значит найти все ее решения, т. е. все
такие наборы чисел (x1, x2, ..., xn), которые при подстановке во все
уравнения системы превращают их в верные равенства, или доказать,
что решений нет.
Система (1) называется:
— совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
— определенно совместной, если она имеет только одно решение;
— неопределенно совместной, если она имеет более одного решения;
— несовместной, если она не имеет ни одного решения.

2◦. Две системы называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или обе несовместны.
Переход от одной системы к равносильной осуществляется при
помощи множества элементарных преобразований:

§ 1. Метод Жордана–Гаусса
9

— умножение обеих частей любого уравнения на отличное от нуля
число;
— прибавление к одному из уравнений произвольного другого,
умноженного на любое число;
— удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения
0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0;
— если в системе имеются два или более уравнений с пропорциональными коэффициентами, то сохранить нужно только одно из них.
Уравнение 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, где b ̸= 0, не имеет решений.
Оно называется противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама противоречива, т. е. несовместна.

3◦. Один шаг метода Жордана–Гаусса состоит в приведении системы (1) к виду
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩

a′
11x1 + ... + a′
1 q−1xq−1
+a′
1 q+1xq+1 + ... + a′
1nxn = b′
1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a′
p1x1 + ... + a′
p q−1xq−1 +xq+a′
p q+1xq+1 + ... + a′
p nxn = b′
p,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a′
m1x1 + ... + a′
m q−1xq−1
+a′
m q+1xq+1 + ... + a′
mnxn= b′
m,

(2)

в котором одна неизвестная xq сохранена с коэффициентом 1 только
в p-м уравнении, а из остальных исключена. Систему (2) назовем разрешенной относительно неизвестной xq, поскольку ее легко выразить
через остальные неизвестные данной системы.
Для того, чтобы получить систему (2), требуется следующее:
1) коэффициент apq при xq в уравнении с номером p должен быть
отличен от нуля; в дальнейшем apq назовем ведущим, или разрешающим коэффициентом, а p-е уравнение — ведущим уравнением;
2) p-е уравнение надо разделить на apq;
3) для получения нулевых коэффициентов при xq в остальных
уравнениях следует из i-го уравнения вычесть ведущее уравнение,
сначала разделенное на apq, а затем домноженное на aiq.
Тогда все остальные коэффициенты aijи bi преобразуются по формулам

a
′
ij = aij − apj · aiq

apq
,
b
′
i = bi − bp · aiq

apq
,
i ̸= p,
j ̸= q.

Эти формулы будем называть формулами Жордана–Гаусса. Расчет
по ним удобно выполнять, пользуясь мнемоническим правилом прямоугольника, наглядно показанным на следующих диаграммах:
apj
−
apq



aiq
−
bi

|
|
|
|
aij
−
aiq
apq



−
bp

Гл. I. Системы линейных уравнений

Смысл диаграмм следующий: новый коэффициент a
′
ij (или b
′
j) получается из старого вычитанием из него произведения соседних (по прямоугольнику) коэффициентов, деленного на противолежащий (разрешающий) коэффициент apq.

4◦. На втором шаге сохраним с коэффициентом 1 другую неизвестную в другом уравнении, исключая из остальных.
Через r (r ⩽ m) шагов систему (1) можно привести к системе,
состоящей из r уравнений (остальные (m − r) тривиальных уравнений,
если такие были, отброшены) и содержащей r разрешенных неизвестных. Эти r неизвестных назовем базисными (используя векторную терминологию, которая появится позже), остальные — свободными, или
независимыми. Основная часть метода Жордана–Гаусса завершена.
Если r = m = n, то система разрешена относительно всех неизвестных, т. е. однозначно совместна.
Если r < n, то, выражая базисные (зависимые) неизвестные через
свободные (независимые), получаем «общее» решение системы в соответствующем базисе, которое впоследствии следует параметризовать
и из которого можно получать различные частные решения, в том
числе базисное (так называется решение, соответствующее нулевому
набору свободных неизвестных).
Заметим, что «общее» решение определяется неоднозначно, оно
зависит от того, какие неизвестные являются свободными (независимыми, произвольными), а какие — зависимыми (базисными).

5◦. Метод Жордана–Гаусса удобно реализовать в виде таблицы,
которую назовем таблицей Гаусса. Каждый ее блок содержит результат
одного преобразования или одну итерацию. Столбец блока таблицы, состоящий из нулей и одной единицы, будем называть единичным столбцом. Цель преобразований Жордана–Гаусса — получить r (r ⩽ m) единичных столбцов. Неизвестные, соответствующие единичным столбцам, являются базисными, остальные — свободными. Последний блок
таблицы изображает систему, разрешенную относительно r базисных
неизвестных.

Примеры с решениями

П р и м е р 1.
Решить линейную систему
⎧
⎪
⎨

⎪
⎩

x1 + 2x2 − 3x3 − x4 =
10,
−2x1 − 3x2 + 7x3
= −23,
2x1 + 6x2 − 5x3 − 5x4 =
18,
−x1 +
3x3 − 4x4 = −11.

Р е ш е н и е.
Имеем m = 4, n = 4.
Первый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид («св. ч.»
означает «свободные члены» уравнений системы, вертикальная черта
соответствует знакам равенства):