Задачи по теоретической физике

Ю.М. БЕЛОУСОВ, С.Н. БУРМИСТРОВ, А.И. ТЕРНОВ

ЗАДАЧИ  
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ  
ФИЗИКЕ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации по образованию
в области прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия для студентов вузов
по направлению “Прикладные математика и физика”

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Ю.М. Белоусов, С.Н. Бурмистров, А.И. Тернов
Задачи по теоретической физике: Учебное пособие/ Ю.М. Белоусов,
С.Н. Бурмистров, А.И Тернов – Долгопрудный: Издательский Дом
«Интеллект», 2013. – 584 с.
ISBN 9785915591348

Книга содержит 460 задач различной степени сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ, и охватывает все основные разделы теоретической физики: Теория поля, Квантовая механика и Статистическая физика. Задачи снабжены подробными решениями и пояснениями. Всем
разделам предшествует краткое теоретическое введение, содержащее необходимые сведения для решения и понимания соответствующих задач.
Книга предназначена студентам и аспирантам высших учебных заведений,
изучающим теоретическую физику.

ISBN 9785915591348
© 2012, Ю.М. Белоусов,
С.Н. Бурмистров, А.И. Тернов
© 2013, ООО Издательский Дом «Интеллект»,
оригиналмакет, оформление

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Ч а с т ь I. Задачи

Глава 1. Теория поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1. Векторы и тензоры в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . .
40
1.2. Векторы и тензоры в пространстве Минковского . . . . . . . . . . . .
42
1.3. Релятивистская кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.4. Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.5. Движение заряженной частицы во внешнем поле . . . . . . . . . . .
49
1.6. Статическое электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.7. Свободное электромагнитное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.8. Запаздывающие потенциалы, излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.9. Электромагнитное поле релятивистских частиц . . . . . . . . . . . . .
57
1.10. Рассеяние электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Глава 2. Квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.1. Операторы и состояния в квантовой механике . . . . . . . . . . . . .
82
2.2. Одномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.3. Линейный гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2.4. Угловой момент, спин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.5. Движение в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.6. Движение в центральном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.7. Квазиклассическое приближение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.8. Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

Оглавление

2.9. Релятивистская квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.10. Сложение моментов. Тождественность частиц . . . . . . . . . . . . . .
97
2.11. Теория атомов и молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.12. Теория рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
2.13. Теория излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

Глава 3. Статистическая физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
3.1. Распределение Гиббса. Термодинамические величины и функции .
142
3.2. Квантовые идеальные газы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
3.2.1. Идеальный ферми-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
3.2.2. Идеальный бозе-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
3.2.3. Идеальный газ элементарных бозе-возбуждений . . . . . . . .
150
3.3. Неидеальные квантовые системы (жидкости). Основы теории конденсированных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
3.3.1. Нормальная (несверхтекучая) ферми-жидкость . . . . . . . . .
152
3.3.2. Сверхпроводимость. Теория БКШ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
3.3.3. Слабонеидеальный бозе-газ. Уравнение Гросса–Питаевского
156
3.3.4. Теория сверхтекучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
3.4. Фазовые переходы и критические явления . . . . . . . . . . . . . . . .
159
3.4.1. Приближение самосогласованного поля . . . . . . . . . . . . . .
159
3.4.2. Функционал Гинзбурга–Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
3.4.3. Основы теории критических явлений. . . . . . . . . . . . . . . .
163

Ч а с т ь II. Решения задач

Глава 1. Теория поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168

1.1. Векторы и тензоры в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . .
168
1.2. Векторы и тензоры в пространстве Минковского . . . . . . . . . . . .
171
1.3. Релятивистская кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
1.4. Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
1.5. Движение заряженной частицы во внешнем поле . . . . . . . . . . .
204
1.6. Статическое электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
1.7. Свободное электромагнитное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
1.8. Запаздывающие потенциалы, излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
1.9. Электромагнитное поле релятивистских частиц . . . . . . . . . . . . .
254
1.10. Рассеяние электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266

Оглавление
5

Глава 2. Квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278

2.1. Операторы и состояния в квантовой механике . . . . . . . . . . . . .
278
2.2. Одномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
2.3. Линейный гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
2.4. Угловой момент, спин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
2.5. Движение в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
2.6. Движение в центральном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321
2.7. Квазиклассическое приближение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332
2.8. Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337
2.9. Релятивистская квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352
2.10. Сложение моментов. Тождественность частиц . . . . . . . . . . . . . .
366
2.11. Теория атомов и молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373
2.12. Теория рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
392
2.13. Теория излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407

Глава 3. Статистическая физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
416

3.1. Распределение Гиббса. Термодинамические величины и функции .
416
3.2. Квантовые идеальные газы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
447
3.2.1. Идеальный ферми-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
447
3.2.2. Идеальный бозе-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
472
3.2.3. Идеальный газ элементарных бозе-возбуждений . . . . . . . .
485
3.3. Неидеальные квантовые системы (жидкости). Основы теории конденсированных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
491
3.3.1. Нормальная (несверхтекучая) ферми-жидкость . . . . . . . . .
491
3.3.2. Сверхпроводимость. Теория БКШ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
501
3.3.3. Слабонеидеальный бозе-газ. Уравнение Гросса–Питаевского
510
3.3.4. Теория сверхтекучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
520
3.4. Фазовые переходы и критические явления . . . . . . . . . . . . . . . .
527
3.4.1. Приближение самосогласованного поля . . . . . . . . . . . . . .
527
3.4.2. Функционал Гинзбурга–Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
532
3.4.3. Основы теории критических явлений. . . . . . . . . . . . . . . .
555

Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
573

1. Дельта-функция Дирака и другие обобщенные функции . . . . . .
573
2. Цилиндрические функции полуцелого индекса . . . . . . . . . . . . .
575
3. Вырожденная гипергеометрическая функция. Полиномы Лагерра .
577
4. Гамма-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
578

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
579

ПРЕДИСЛОВИЕ

Изучение теоретической физики невозможно представить себе без
освоения методов решения задач — это не гуманитарная наука. Именно при решении задач после изучения какого-либо раздела теоретической физики приходит как усвоение, так и понимание пройденного
материала. Перед Вами сборник задач по курсу теоретической физики,
снабженных подробными решениями и пояснениями, которые в том или
ином виде предлагались в различные годы студентам Московского физико-технического института на так называемом базовом уровне сложности. Последний термин появился не так давно, но он вполне адекватно отражает требования, которые предъявляются студентам-физикам,
не обязательно специализирующимся как будущие физики-теоретики.
Итак, в данной книге предложены задачи по трем основным курсам теоретический физики: теории поля, квантовой механике и статистической физике в соответствии с теми курсами, которые изучают
студенты Физтеха в бакалавриате (это вовсе не означает, что другие
разделы теоретической физики менее значимы, просто так сложилось со
времен основания МФТИ). Между различными разделами существует
неразрывная связь, которую мы постарались проследить, и поэтому все
задачи объединены в одном сборнике. В соответствии с этим задачник
состоит из трех разделов, каждому из которых предшествует краткое
введение, напоминающее читателю основные понятия, которые будут в
дальнейшем необходимы при решении предлагаемых задач. Это, если
угодно, своего рода теоретический минимум, который должны знать
студенты после изучения курса. Поэтому можно считать данную книгу
также и учебным пособием. Краткое введение не предполагает последовательного вывода формул. Если вывод какой-либо формулы сам по
себе представляет полезную задачу, мы старались сформулировать его
именно в виде задачи. Мы полагаем, что такой подход помогает студенту лучше понять и усвоить материал. В то же время мы не стремились составить как можно больше задач, а постарались предложить

Предисловие
7

и разобрать такое количество задач, которое мы считаем достаточным
для усвоения и понимания основных курсов теоретической физики.
Решение задач дает студенту возможность проверить свои реальные
знания, которые в идеале не должны быть только набором заученных
сведений. Для преподавателя самостоятельно решенная студентом задача — самый эффективный показатель глубины понимания изучаемого предмета. Самостоятельное решение задач развивает и воспитывает аналитическое и творческое научное мышление. Ответы и методы
решения задач приведены во второй части книги в той же последовательности, что и условия. В пояснениях к задачам и их решениях мы,
по мере возможности, старались избежать использования сложных математических методов или специального аппарата теоретической физики, чтобы изложение было доступно как можно более широкому кругу
студентов-физиков, а не только студентам, которые специализируются
в области теоретической физики. В качестве справочного материала в
конце книги приведены некоторые полезные сведения о специальных
функциях математической физики, часто используемых при решении
различных задач.
Теперь несколько слов о самих задачах. Специфика формулирования
задач часто состоит в том, что трудно найти их истинного автора, поэтому они носят, как правило, «фольклорный» характер. Действительно,
часть задач можно найти в замечательных сборниках задач по теории
поля [3], по квантовой механике [23–25], а также по статистической
физике [31] и, естественно, в соответствующих томах Курса теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, который составляет основу курса теоретической физики МФТИ. Как правило, эти задачи в различные годы включались (и включаются в настоящее время) в домашние задания студентов. Некоторые из этих задач вошли и в наш сборник, поскольку они стали классическими, и без них трудно представить
себе курс теоретической физики. Однако, наряду с такими задачами
читатель найдет в нашем сборнике и много оригинальных задач, учитывающих особенности курсов, читаемых на разных лекционных потоках. Поэтому нужно понимать, что данный сборник задач — продукт
коллективного творчества сотрудников кафедры теоретической физики
МФТИ, как работающих в настоящее время, так и и тех, кого уже, к сожалению, нет с нами. Особенно хотелось бы отметить роль В. П. Смилги и В. П. Кузнецова, которые работали на кафедре практически с первых лет ее существования и одними из первых начали заниматься составлением и подбором задач. Часть из этих задач уже вошла в «Катехизис» [45] и небольшую книгу «Практическая математика» [46].
Авторы выражают искреннюю благодарность всему коллективу преподавателей кафедры теоретической физики МФТИ, однако все-таки

Предисловие

хотелось бы особо отметить С. П. Аллилуева, С. Т. Беляева, С. С. Герштейна, Р. О. Зайцева, Л. А. Максимова, внесших большой вклад в становление курса теоретической физики и составление заданий, а также
ушедших от нас В. Б. Берестецкого, Б. Т. Гейликмана, В. Н. Горелкина
и И. А. Малкина. Авторы также выражают благодарность доценту кафедры М. Г. Иванову за помощь в подготовке раздела, посвященного
теории поля.

Ч А С Т Ь
I

ЗАДАЧИ

Г Л А В А
1

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

ВВЕДЕНИЕ

1.
Понятие тензора

Все физические явления описываются в теоретической физике с помощью различных математических моделей, в которых физическим объектам ставятся в соответствие математические объекты. Математические объекты описывают физические объекты в пространстве,
задавая их в различных системах координат. При этом любой точке
пространства ставится в соответствие набор координат, число которых
зависит от размерности пространства и которые принято обозначать
как xi, где индекс i принимает все возможные значения в соответствии
с нумерацией осей системы координат и называется свободным индексом. Совокупность координат называется радиус-вектором и обычно,
а в трехмерном случае всегда, обозначается как r.
Свойства физических объектов не могут зависеть от выбора системы координат, и это определяет свойства соответствующих им математических объектов. Например, законы сохранения в физике должны
описываться при помощи математических объектов, имеющих одинаковый вид в разных системах координат. Это — инварианты. Различные
системы координат могут быть связаны между собой с помощью определенного преобразования координат, которое с формально-математической точки зрения представляется некоторой заменой, записываемой
обычно в виде xi = xi(r′). Штрихом принято обозначать радиус-вектор в
преобразованной относительно исходной системе координат. Поскольку
при описании физических объектов необходимо использовать преобразования, имеющие обратные, то для замен координат следует применять
только непрерывные и невырожденные преобразования, т. е. такие преобразования, для которых J = det(∂xi/∂x′k) ̸= 0, где J — определитель
матрицы Якоби, т. е. якобиан данного преобразования.