Основы механики недеформируемого твердого тела

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

НЕДЕФОРМИРУЕМОГО

ТВЕРДОГО ТЕЛА

М.И. Антипин

Учебное
пособие

МЧС России

Сибирская пожарно-спасательная академия
Государственной противопожарной службы 

М.И. Антипин

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ НЕДЕФОРМИРУЕМОГО 

ТВЕРДОГО ТЕЛА

Железногорск 2017

МЧС России

Сибирская пожарно-спасательная академия
Государственной противопожарной службы 

М.И. Антипин

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ НЕДЕФОРМИРУЕМОГО 

ТВЕРДОГО ТЕЛА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 

ЖЕЛЕЗНОГОРСК 2017

УДК 621.01(07):531.8
ББК 30.12я7

А72

Р е ц е н з е н т ы:

В. Л. Лапшин

доктор технических наук, профессор

заведующий кафедрой сопротивления материалов и строительной

механики института архитектуры и строительства 

ФГБОУ ВО «Иркутский национальный исследовательский технический

университет»;

А. К. Шатров

доктор технических наук, профессор

профессор кафедры технической механики

ФГБОУ ВО «Сибирский аэрокосмический университет

имени академика М.Ф. Решетнева»;

А.А. Носенков

доктор технических наук, доцент

профессор кафедры механики и инженерной графики

ФГБОУ ВО «Сибирская пожарно-спасательная академия 

ГПС МЧС России»

Антипин М. И. 
А72 Учебное пособие. Основы механики недеформируемого твердого те
ла. / М. И. Антипин. –
Железногорск: Сибирская пожарно
спасательная академия ГПС МЧС России, 2017. – 130 с.

Кратко изложены элементарные основы курса механики недеформируемого 

твердого тела в соответствии с программами высших учебных заведений МЧС России 
по дисциплинам «Прикладная механика», «Механика». Краткое изложение теории  сопровождается примерами решения задач с пояснениями. Теоретические построения и 
формулы даны без использования специального аппарата высшей математики на основе единой методической системы, обеспечивающей осмысление  и использование 
теоретических результатов  для практического применения. 

Издание предназначено для лиц всех форм обучения в качестве справочного по
собия.

УДК 621.01(07):531.8
ББК 30.12я7

© Антипин М.И., 2017
© Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии кратко изложены элементарные основы курса 

механики недеформируемого твердого тела в соответствии с программами 

высших учебных заведений МЧС России по дисциплинам «Прикладная 

механика», «Механика».

Настоящий курс является комплексным. Краткое изложение теории  

сопровождается примерами решения задач с пояснениями.

Изложение курса выполнено на основе единой методической 

системы с позиции пользователя, для которого важны не математические 

подробности выводов, а осмысление  и использование теоретических 

результатов  для практического применения.  Ввиду этого изложение тем 

несколько отличается от классического принятого в учебниках, учебных 

пособиях 
по 
теоретической 
механике 
и 
прикладной 
механике.  

Обучающиеся, заинтересованные в углубленном изучении отдельных 

вопросов и более широкой практике по решению задач, необходимые 

материалы могут найти в учебной литературе, список которой дается в 

конце пособия. 

Издание предназначено для лиц всех форм обучения в качестве 

справочного пособия.

1. ИСТОРИЯ МЕХАНИКИ НЕДЕФОРМИРУЕМОГО 

ТВЕРДОГО ТЕЛА

История механики недеформируемого твердого тела неразрывно 

связана с историей развития механики. Механика подобного геометрии 

получила свое начало в глубокой древности под влиянием практики 

строительства сооружений различного назначения, некоторые из которых 

сохранились до наших дней. Постепенно накапливая опыт, обобщая, люди 

древнего мира смогли сформировать примитивные знания о законах 

механики и использовать их в дальнейшем для создания машин для 

строительства и военных целей.  

Механика как наука возникла с того времени как появились первые 

сочинения, дающие более или менее систематическое изложение 

накопленного опытом материала в виде общих законов. Первые дошедшие 

до нас сочинения по механике появились в Древней Греции. Великий 

ученый и мыслитель древности Аристотель (IV в. до н.э., 384-322) в своих 

сочинениях философического характера «Физика», «Механика», «О мире и 

небе» впервые вводит термин «Механика», который происходит от 

греческого слова μηχανη, что означает изобретение, машина, сооружение,

излагает учение о равновесии рычага и других машин, общее учение о 

движении. Метод Аристотеля существенно отличается от современного 

метода точных наук и носит метафизический характер. Аристотель 

пытается выяснить причины явлений умозрительным путем не прибегая к 

опыту 
и 
наблюдению, 
поэтому 
иногда 
приходит 
к 
выводам 

противоречащим действительности.

Появление «Начал» Евклида (III в. до н.э.) дало толчок 

математической мысли древности и повлекло за собой сочинения 

знаменитого геометра и механика Архимеда  (287-212 до н.э.), который дал 

механике 
настоящее 
научное 
обоснование. 
Сочинения 
Архимеда 

отличаются строгостью своих выводов  и изяществом метода. В своих 

сочинениях он излагает учение о равновесии рычага, о центрах тяжести 

тел, дает основания геометрической статике: учение о равновесии тел, 

плавающих в жидкости.

Дальнейшее 
развитие 
механики 
в 
классической 
древности 

совершенствовалось благодаря трудам греческих геометров, среди 

которых Герон (II в. до н.э.), занимавшийся теорией равновесия машин, 

Гепарх (II в. до н.э.) и Птоломей (II в. до н.э.), изучавшие видимое 

движение светил на небесной сфере. 

Средние века, после падения Римской империи, не дали ничего 

существенного для развития механики, как и для других естественных 

наук, вследствие причин исторического характера.

Интенсивное развитие механики, как и всех естестественных наук 

начинается в эпоху  Возрождения, с XV века сначала в Италии, а затем в 

других странах, в связи с развитием ремесел, торговли, мореплавания и 

военного дела. 

Среди деятелей эпохи Возрождения можно выделить гениального 

художника, геометра, инженера Леонардо да Винчи (1452-1519), которому  

принадлежат исследования в области теории механизмов, трения в 

машинах, движения по наклонной плоскости, ученого Николая Коперника 

(1475-1543), 
создавшего 
своею 
гелиоцентрическую 
картину 
мира, 

астронома Браге Иоганна Кеплера (1571-1630), получившего три 

знаменитых закона движения планет, голландца Стевина (1548-1620), 

исследовавшего законы равновесия тел на наклонной плоскости, 

сделавшего выводы об общих законах равновесия.

Фундаментальное значение для этого периода развития механики 

имеют работы итальянского ученого Галилея (1564-1642), положившего 

начало изучению законов движения тел под действиям сил – динамике. 

Работы Галилея были продолжены голландцем Х. Гюйгенсом 

(1629-1695), обобщившим понятие об ускорении  и сформулировавшим 

ряд теорем о центробежной силе. 

Новый период развития  механики начинается  со времен великого 

английского математика  и  механика Исаака Ньютона (1643-1727), 

завершившего построение основ современной классической механики  и 

положивший начало анализу бесконечно малых. В своих сочинениях 

«Principia», «Philosophiae naturalis principia mathematica» Ньютон дает 

определение основных понятий механики – массы, времени, пространства, 

силы, устанавливает законы движения (аксиомы). 

Одновременно с «Principia» Ньютона в 1687г. появляется сочинение 

французского ученого Вариньона (1654-1722) «Проект новой механики» в 

котором дается систематическое изложение статики. 

После появления созданного Ньютоном  и Лейбницем исчисления 

бесконечно малых в период с XVIII по начало XIX века наблюдается 

значительное развитие математики и механики. В этом периоде братья 

Якоб и Иоганн Бернулли положили начало вариационному исчислению, 

сформулировали принцип возможных перемещений.  

Великий математики и механик Леонард Эйлер разработал 

аналитические методы решения задач динамики путем составления и 

интегрирования уравнений движения, аналитическую теорию движения 

твердого тела. 

Французский энциклопедист Даламбер в своей работе «Traite de

dynamique» сформулировал основной принцип механики носящий его имя, 

дающий 
общий 
метод 
решения 
задач 
динамики 
несвободных 

механических систем путем составления уравнений статики.

Наибольший вклад в развитие аналитического направления 

развития механики внес крупнейший французский ученый Лагранж, 

изложивший в своем сочинении «Mecanique analytique» (1788) механику 

строго аналитическим методом на основе одного общего начала без всяких 

чертежей.

Дальнейшее развитие аналитической механики связано с трудами 

Лапласа, Фурье, Гаусса, Пуассона, К. Якоби, Гамильтона, Остроградского, 

Киргофа, 
Гельмгольца, 
Кельвина, 
Герца, 
Ковалевской, 
Ляпунова, 

Чаплыгина и других выдающихся ученых.

Одновременно с развитием аналитической механики продолжали 

развиваться геометрические методы исследования. В 1804 г. французский 

геометр и механик Пуансо (1777-1880) в сочинении «Elemente de statique»

излагает стройную систему геометрической статики, положив в основу 

разработанную теорию пар. 

Одновременно с разработкой и совершенствованием аналитических 

и геометрических методов исследования движения материальных частиц и 

твердых тел под влиянием запросов практики возникает  и интенсивно 

развивается 
ряд 
новых 
областей 
и 
направлений: 
гидромеханика, 

аэромеханика, 
теория 
упругости, 
теория 
пластичности, 
теория 

устойчивости равновесия и др.

В середине XIX столетия  связи с быстрым ростом техники 

начинают 
развиваться 
различные 
области 
технической 
механики 

(прикладная механика, механика недеформируемого твердого тела, 

механика деформируемого твердого тела), целью которой является 

решение 
возможно 
более 
простыми 
методами 
соответствующих 

практических задач. Однако обширность и сложность задач, предлагаемых 

сегодня создателям современной техники требуют использования в 

технической механике столь же тонких математических методов, как и в 

теоретической механике. 

Теория  относительности, созданная Энштейном, внесла довольно 

существенные 
изменения 
в 
основания 
механики 
и 
показала 

ограниченность Ньютоновских представлений о пространстве, времени и 

материи, вследствии чего стало возможным объяснить ряд явлений, 

которые не могли быть объяснены с точки зрения классической механики. 

Несмотря на это механика Галилея-Ньютона продолжает сохранять 

огромную ценность как мощное орудие научного исследования различных 

вопросов естествознания и техники. Все разнообразные технические 

сооружения, 
все 
современные 
расчеты 
построены 
на 
основании 

классической механики, и как показывает опыт с успехом выполняют свое 

назначение. Поэтому классическая механика Галилея-Ньютона никогда не 

потеряет своего научного значения и практической ценности.

2. ВЕКТОРНЫЕ И СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В механике недеформируемого твердого тела встречаются два типа 

величин – скалярные, векторные.

Скалярной величиной (скаляром) называется величина, которая 

определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к 

соответствующей единице измерения. Примерами скалярных величин 

являются масса, температура, объем и т.д.

Простейшей векторной величиной является направленный отрезок 

– вектор, который вполне определяется заданием его длины и 

направлением в пространстве. В зависимости от свойств изображаемой им 

величины вектор может быть свободным – приложенным в любой точке 

пространства, скользящим – приложенным в любой точке некоторой 

прямой, 
неподвижным 
– 
приложенным 
к 
определенной 
 
точке 

пространства.

Остановимся более подробно на векторах.

Вектор геометрически изображается, прямолинейным отрезком АВ

(рис. 1), длина которого в известном масштабе 

соответствует 
численному 
значению 
вектора, 
а 

направление 
совпадает 
с 
направлением 
вектора. 

Численную 
величину 
вектора 
называют 
модулем 

вектора. Концы А и В отрезка АВ, изображающего 

вектор, называют соответственно началом и концом вектора. Для 

обозначения вектора используют символ обозначения отрезка с чертой 

наверху АВ , а для обозначения длины отрезка АВ, представляющего 

А

В

Рис. 1