Геометрия и графика, 2017, № 2

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор Московский 
технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Назарова М.В. 
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2017

Подписано в печать 09.06.2017.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Иванов Г.С., Дмитриева И.М. 
Нелинейные формы в инженерной графике  . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Графский О.А., Пономарчук Ю.В. 
Об одном свойстве окружности координатной плоскости . . . 13

Панчук К.Л., Ляшков А.А., Варепо Л.Г.
Кинематическая геометрия кривой линии и ее 
приложение к геометрическому моделированию 
плоского зубчатого зацепления  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Кривошапко С.Н.
К вопросу об ошибках в терминологии по теории 
поверхностей и геометрического моделирования . . . . . . . . . 32
Гирш А.Г.
Задание и построение квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Хейфец А.Л.
Коники как сечения квадрик плоскостью (обобщенная 
теорема Данделена) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Короткий В.А.
Реконструкция квадратичного кремонова 
преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Левкин Ю.С.
Получение четырёхмерных номограмм на базе теоремы 
подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

Юматова Э.Г.
Система межинтегративных конструктивно-аналитических 
задач как метод формирования профессионально 
ориентированных способностей будущих инженеров . . . . . 75
Игнатьев С.А., Мороз О.Н., Третьякова З.О., 
Фоломкин А.И. 
Опыт разработки электронных средств обучения 
для преподавания геометро-графических дисциплин . . . . . 84

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ 
ОЛИМПИАД

Сальков Н.А., Вышнепольский В.И., 
Аристов В.М., Куликов В.П.
Олимпиады по начертательной геометрии 
как катализатор эвристического мышления . . . . . . . . . .93

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2017. Том 5. Вып. 2
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского технологического университета, 
Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им.  
В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2017. Vol. 5. Issue 2
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ) (Россия).
 
Moscow Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Moscow Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Moscow Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Субочаева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский 
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломо-носова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ), зам. гл. редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ), ответственный секретарь 
(Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
Московский технологический университет. Институт тонких 
химических технологий (МИТХТ).

марта 2017 г. состоялись похороны д-ра пед. наук, профессора А.А. Павловой.
Алина Абрамовна родилась в г. Юрьев-Польский Ивановской области 12 августа 1939 г. в семье военного врача. В 1941 г. война застала их семью в Орле, затем она с мамой и братом оказались в эвакуации в г. 
Фрунзе. К окончанию войны семья жила в г. Оренбурге, где прошли школьные годы Алины. 
Школу Алина Абрамовна закончила с золотой медалью и уехала в 1956 г. поступать в Ленинградский 
институт инженеров водного транспорта. Проучившись там 2 года, перевелась в Московский инженерностроительный институт (МИСИ, ныне МГСУ) на факультет промышленного и гражданского строительства 
(ПГС) и окончила его в 1963 г. По распределению работала прорабом на стройке, получила квартиру.
Поступив в аспирантуру Московского автомобильно-дорожного института (МАДИ), защитила кандидатскую диссертацию и, получив ученую степень кандидата технических наук, осталась работать на кафедре 
«Начертательная геометрия и машиностроительное черчение» МАДИ.
В середине 1980-х гг. перешла на работу в Московский педагогический институт имени В.И. Ленина на 
художественно-графический факультет. При разделении кафедры графики волею судеб оказалась на факультете подготовки учителей труда, где проработала до июля 2015 г., на кафедре машиноведения.
В 1992 г. Алина Абрамовна защитила докторскую диссертацию на тему «Методические основы графической подготовки учителя труда и общетехнических дисциплин», в 1994 г. ей присвоено ученое звание профессора.
А.А. Павлова являлась членом двух диссертационных советов Московского педагогического государственного университета: на физическом и художественно-графическом факультетах. Она вела очень большую 
работу по подготовке аспирантов по специальностям 13.00.02. и 13.00.08, одним из которых является автор 
данной заметки. Как минимум два её аспиранта сейчас — заведующие кафедрами графических дисциплин 
в МЭИ и МИТХТ имени М.В. Ломоносова.
Основные научные труды Алины Абрамовны Павловой:
1. Методические основы графической подготовки учителя труда и общетехнических дисциплин: диссертация ... 
доктора педагогических наук: 13.00.02 / Моск. пед. ун-т. — М., 1992. — 336 с. + Прил. (76 с.)
2. Начертательная геометрия: Учебник для студентов вузов. Издавался в издательствах «Владос» (2005), «АСТ–
Астрель», «КНОРУС» (2016). 
3. Практикум для студентов вузов в двух частях. — М.: Владос, 2003.
4. Графика и черчение. 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2009. 263 с.
5. Графика и черчение. 7–9 классы. Рабочая тетрадь № 1, 2, 3, 4. М.: Мнемозина.
6. Черчение и графика. 8–9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2007.
7. Перспектива. Тетрадь с печатной основой: Учебное пособие для студентов факультетов технологии и предпринимательства педвузов. М.: Школьная Пресса, 2002.
8. Методика обучения черчению и графике: Учебно-методическое пособие для учителей. М.: Владос, 2004. 96 с.
9. Графика в средней школе. Методическое пособие для учителей 8–9 классов общеобразовательных учреждений. 
М.: Мнемозина, 1999.
10. Черчение. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Владос.
11.  Основы черчения: Учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования. М.: Академия, 
2014. 272 с.

12.08.1939–27.03.2017

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2017                                                                 GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 2. 4–12

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 515.001:513.628                                                                  
DOI: 10.12737/article_5953f295744f77.58727642

Г.С. Иванов 
Д-р техн. наук, профессор,
Московский государственный технический университет 
им. Н.Э. Баумана,
Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1
И.М. Дмитриева 
Канд. пед. наук, доцент,
Мытищинский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана,
Россия, 141005, Московская обл., г. Мытищи-5,
ул. 1-я Институтская, д. 1

Нелинейные формы 
в инженерной графике 

Аннотация. Внедрение методологии компетентностного 
подхода в преподавание дисциплин кафедр инженерной графики, как показывает имеющийся опыт ряда технических 
вузов России, происходит по некоторому шаблону. Если в 
70–80-х гг. прошлого века кафедры составляли технологические карты преподавания предмета с указанием обеспечивающих и обеспечиваемых дисциплин, то в настоящее время 
говорят о межпредметных компетенциях. При этом межпредметные компетенции по инженерной и компьютерной графике определяют выпускающие кафедры. Формулировка 
внутрипредметных компетенций сводится к определению 
разделов начертательной геометрии, минимально необходимых 
для изучения основ инженерной графики (геометрическое и 
проекционное черчение, линии среза и пересечения простейших поверхностей). В итоге важные разделы начертательной 
геометрии (основные понятия теории кривых и поверхностей, 
развертки, касательные плоскости, аксонометрия и др.), имеющие прикладное значение, исключаются из программы 
курса. Это с учетом уровня преподавания геометрии в средней 
школе существенно влияет на качество общегеометрической 
подготовки студентов технических вузов.
По нашему мнению, выход из сложившейся ситуации 
заключается в последовательной, целенаправленной трансформации начертательной геометрии в инженерную без 
радикальных перекосов [2; 5; 10; 12; 14–16]. В связи с этим 
настоящая статья посвящена изложению некоторых вопросов теории нелинейных форм в инженерной геометрии. 
Предлагаемый подход позволит усилить прикладное значение 
нашей дисциплины за счет расширения межпредметных 
компетенций со смежными разделами высшей математики, 
САПР и т.д.
Ключевые слова: кривые линии и поверхности, обводы, 
гладкость обвода, кинематический способ образования многомерных поверхностей.

G.S. Ivanov
Doctor of Engineering, Professor,
Bauman Moscow State Technical University,
5/1, 2 Baumanskaya St., Moscow, 105005, Russia

I.M. Dmitrieva
Ph.D. of Pedagogy, Associate Professor,
Mytishchi branch of Bauman Moscow State Technical 
University,
1, First Institutskaya st., Mytischi-5, Moscow reg., 141005, 
Russia

The Nonlinear Forms in Engineering Geometry

Abstract. The introduction of the methodology of a competence 
approach in teaching the courses of departments of engineering 
graphics, as shows the experience of a number of technical universities of Russia, occurs according to some template. If in 70–80 
years the last century the Departments was the routing of the 
teaching subject with the indication providing, and provide discipline 
then currently are talking about interdisciplinary competences. 
In this case, interdisciplinary competence on engineering and 
computer graphics define the departments. The wording of the 
intrasubject competencies reduced to define the topics of descriptive geometry necessary for the study of the fundamentals of 
engineering graphics (geometrical and projection drawing, the 
cutting line and the intersection of simple surfaces). In the end, 
the important topics of descriptive geometry (basic concepts of 
the theory of curves and surfaces, sweep, tangent planes, axonometric etc.) that have practical value, are excluded from the syllabus. This greatly affects the quality overall geometric training 
of students of technical universities with based on the level of 
teaching geometry in high school.
In our opinion, the way out of the situation is in consistent, 
purposeful transformation the descriptive geometry in the engineering geometry without radical distortions. In this regard, the present 
article is devoted to the presentation some issues in the theory of 
nonlinear forms in engineering geometry. The proposed approach 
will enhance the practical value of our discipline due to the expansion of cross-curricular competencies with related sections of 
higher mathematics, CAD, etc.
Keywords: the curves and surfaces, contours, the smoothness 
of the contour, the kinematic method of forming a multidimensional surfaces.

Нелинейные формы трехмерного пространства, 
кривые линии и поверхности нашли достаточно полное и всестороннее освещение в учебных и научных 
публикациях. Это классические труды по алгебраической и дифференциальной геометрии, а также 
многочисленные публикации по их использованию 
в компьютерной графике, геометрическом моделировании технических форм, САПР [1; 4; 8; 20]. Вопросы 
их образования, задания на чертеже, построения 
сопряжений (обводов), а также решения позиционных и метрических задач с их участием, рассматриваются в традиционных курсах начертательной геометрии.

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 2. 4–12                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2017 

• нулю, когда составляющие инцидентны стыковым 
точкам и образуют замкнутый или разомкнутый 
многоугольник, стороны которого являются дугами кривых определенного вида, в частности 
отрезками прямых;
• единице, если составляющие в стыковых точках 
имеют двухточечное касание или, что то же самое, 
равны первые производные;
• двум, когда составляющие в стыковых точках 
имеют трехточечное касание (равны первые и 
вторые производные).
В последнем случае обвод называется динамическим и применяется, в частности, для моделирования 
аэро- и гидродинамических профилей.
Из приведенных выше определений порядка гладкости обвода следует, что рассматриваемые в разделе «Геометрические построения» способы построения 
сопряжений из отрезков прямых и дуг окружностей 
обеспечивают конструирование обводов нулевого и 
первого порядков гладкости. Необходимость построения обводов второго порядка гладкости, управления 
параметрами составляющих с целью конструирования контуров с наперед заданными характеристиками потребовала использования кривых второго и 
высших порядков.
Дугу m кривой второго порядка при решении 
таких задач задают стыковыми точками A, B, касательными tA, tB в этих точках и инженерным дискриминантом d = |MN| : |TN|, где T = tA ∩ tB, TN – медиана Δ ATB (рис. 1). При d = 0,5 m будет параболой, 
при d > 0,5 – гиперболой, при d < 0,5 – эллипсом. 
Прямая tM, где M ∈ tM || AB, будет касательной к дуге 
конструируемой кривой m. Выбирая значение инженерного дискриминанта d, обеспечивают степень 
«прилегания» (кривизну) кривой m в точках A и B к 
соответствующим касательным tA, tB.

 
Рис. 1

Дискуссии последних лет о трансформации начертательной геометрии в инженерную предполагают внесение в модернизированный курс необходимых 
изменений при изложении рассматриваемой темы. 
Имея в виду повышение прикладной значимости 
курса и усиления внутрипредметных и междисциплинарных связей, предлагается:
• рационально сочетать синтетические (графические) 
и аналитические способы задания простых и составных нелинейных форм, решения задач с их 
участием;
• показать возможность обобщения одномерных 
и двумерных форм многомерными с целью геометрической интерпретации операций с участием функций многих переменных, в частности 
операций дифференцирования и интегрирования, 
решения вариационных и оптимизационных 
задач.
Кривые линии в традиционных курсах инженерной графики и начертательной геометрии рассматриваются при изучении тем «Геометрические построения», «Линии среза», изучении проекционных 
свойств кривых линий, построении сечений поверхностей плоскостями, в частности конические сечения, и, наконец, при построении линии пересечения 
поверхностей. Их изображения выполняются на 
чертеже Монжа, аксонометрии и в линейной перспективе.
При «ручной технологии» все лекальные кривые 
и проекции плоских, пространственных кривых в 
решаемых задачах строятся по единой схеме:
• используя известные алгоритмы, определяется 
упорядоченный массив точек; при этом некоторые характерные точки могут иметь фиксированное положение касательной (ых) к изображаемой линии;
• имея комплект лекал и зная приемы работы с 
ними, строится искомая, как правило, плавная 
составная кривая (одномерный обвод).
Обширный круг задач компьютерной графики 
также сводится к построению обводов. Это визуализация на экране дисплея линий каркаса поверхности, 
сечения поверхности какой-либо плоскостью, линий 
пересечения поверхностей. Все они изначально задаются дискретно, а затем тем или иным способом 
представляются в виде непрерывной линии.
Таким образом, искомая кривая и (или) ее проекции представляются в виде одномерного обвода, 
составляющие которого в стыковых точках (точках 
сопряжения) имеют определенный порядок соприкосновения (порядок гладкости). В зависимости 
от назначения изображаемой (конструируемой) 
кривой порядок соприкосновения принимают равным:

Впервые этот способ был использован Лаймингом 
[20] для проектирования поперечных сечений фюзеляжа самолета.
Также в эпоху «ручной технологии» в самолетостроении в качестве лекала использовалась гибкая 
рейка (spline). Было показано, что ось изогнутой 
рейки можно описать полиномом третьей степени:

 
y = A0 + A1x + A2x2 + A3x3 
(1)

График этой кривой, называемой кубической 
параболой, имеет вид, показанный на рис. 2. Обычно 
с целью построения гладких обводов она задается 
двумя стыковыми точками A, B и касательными tA, 
tB, проведенными в этих точках.

 
Рис. 2

Переход от графических способов построения 
обводов к вычислительным (компьютерным) показал 
целесообразность использования параметрического 
способа задания составляющих обвода. Параметрическое задание плоской кривой в виде

 
x = f(p), y = ϕ(p), где 0 ≤ p ≤ 1,  
(2)

пространственной кривой в виде

 
x = f(p), y = ϕ(p), z = δ(p), где 0 ≤ p ≤ 1,  
(3)

отличается простотой вычислений и обеспечивает 
достаточную точность аппроксимации. Использование 
в качестве функций f(p), ϕ(p), δ(p) кубических полиномов дает возможность конструировать обводы до 
второго порядка гладкости без осцилляции (волнистости).
Однако графики параметрически заданных кривых 
(2), (3) не дают наглядного представления о форме 
кривой, в отличие от их задания, когда независимый 
аргумент откладывается по одной оси, а зависимый 
(функция) – по другой. На этих графиках параметр p 
вообще не представлен. Поэтому для исследования 
свойств параметрически заданных кривых требуется 
их перезадание в виде

 
y = γ(x) 
(4)

для плоских кривых, и в виде

 
y = γ(x)
 
z = δ(x)  
(5)

для пространственных кривых [1].
Аналитически это сводится к определению в (2, 3)

 
p = f–1(x)

и подстановке в y = ϕ(p), z = δ(x) значения p из (6). 
В итоге получаем в случае плоской кривой

 
 y
f
x
y x
=
( )
(
) = ( )

−
ϕ
1
,

а в случае пространственной кривой

 
y
f
x
y x

z
f
x
x

=
( )
(
) = ( )

=
( )
(
) = ( )

−

−
ϕ

δ
β

1

1
,

.

 

Более наглядно такое перезадание можно выполнить средствами начертательной геометрии [9]. Плоскую 
кривую, заданную в параметрической форме (2), 
считаем отнесенной к декартовой системе координат 
Oxyp и изображаем ее проекциями на плоскостях 
проекций Oxp и Oyp (рис. 3). Далее по этим двум 
проекциям строим общеизвестным способом их третью проекцию y = γ(x) на плоскости проекций Oxy. 
Эта проекция представляет собой график явно заданной функции (4).

 
Рис. 3

Аналогично выполняется графическое перезадание параметрически заданной пространственной 
кривой (3) в виде (5) (рис. 4):
• кривую (3) относим к декартовой системе Oxyzp 
четырехмерного пространства и изображаем ее на 
обобщенном чертеже Монжа проекциями на координатных плоскостях Oxp, Oyp, Ozp;

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2017                                                                 GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 2. 4–12

• по проекциям x = f(p) и y = ϕ(p) строим третью 
проекцию ϕ = γ(x), а по проекциям x = f(p) и  
z = δ(x) — проекцию z = β(x);
• графики y = γ(x) и z = β(x) являются проекциями 
пространственной кривой (5).

Рис. 4

В статье [9] показано, что параметрическому заданию функций (2), (3) в виде кубических полиномов 
соответствуют функции (4), (5), графиками которых 
являются соответственно плоская кривая четвертого 
порядка и пространственная кривая пятнадцатого 
порядка. Таким образом, простота вычислений при 
параметрическом задании кривой приводит к существенному усложнению ее характеристик (порядок, 
количество действительных несобственных точек  
и т.д.). Тем не менее предпочтение отдается простоте вычислений.
Задание кубических полиномов (1) в форме Эрмита 
в качестве четырех условий принимают значения x, 
y в концевых точках дуги, угловые коэффициенты 
касательных в этих точках и порядок гладкости обвода (условие сопряжения смежных составляющих 
в стыковых точках). При задании кубических полиномов m в форме Безье касательные tA, tB в концевых 
точках A и B определяются двумя специальными 
контрольными точками P1, P2, не принадлежащими 
самой кривой m (рис. 5). Форма кривой Безье зависит от характеристической ломаной AP1P2B.

 
Рис. 5

Сплайн, заданный уравнением (1), называется 
натуральным [1]. Он по сравнению с кривыми Эрмита 
и Безье позволяет конструировать обводы до второго порядка гладкости. Их применение в системах 
машинной графики ограничено имеющимися недостатками в вычислении коэффициентов уравнений 
(1) составляющих. Их устранение в итоге привело к 
появлению неоднородных B-сплайнов, задаваемых 
в рациональной форме и называемых в литературе, 
по машинной графике NURBS, кривыми (сокращение 
от nonuniform rational B-spline).
Таким образом, краткий обзор трансформации 
ручных способов построения лекальных плоских и 
пространственных кривых в вычислительные способы построения одномерных обводов, применяемых 
в системах машинной графики, показал:
• актуальность включения в курс инженерной геометрии теоретических и практических вопросов 
построения одномерных обводов;
• наличие тесной взаимосвязи аналитических и 
графических способов представления (перезадания) кривых линий средствами начертательной 
геометрии.
Отсюда непосредственно следуют необходимость 
и своевременность использования при изучении темы 
«Сопряжения» построения плоских контуров наряду с отрезками прямых и дугами окружностей дуг 
кривых второго порядка, заданных дискриминантом, 
а также сплайнов, кривых Безье. Такой подход становится реальным с внедрением в учебный процесс 
кафедр инженерной графики концепции сочетания 
графических и аналитических способов решения геометрических задач [6; 12–14; 17; 18]. Отметим, что в 
настоящее время в Мытищинском филиале МГТУ 
им. Н.Э. Баумана идут в указанном направлении переработка заданий по теме «Сопряжения» и составление методических указаний к их выполнению.
Решение задач с участием функций многих переменных, в частности оптимизационных, требует рассмотрения вопросов образования кривых в многомерных пространствах. Если обобщение параметрического (аналитического) задания кривых (2), (3) на 
многомерные пространства очевидно, то их получение в результате пересечения нелинейных многомерных форм требует предварительного изучения 
способа получения (образования) последних.
Поверхности, как и линейные формы, в многомерном пространстве отличаются своей размерностью 
0 ≤ p ≤ n – 1, где n – размерность пространства:
• при p = 0 поверхность представляет точку;
• при p = 1 поверхность представляет линию;
• при p = 2 – это обычная двумерная поверхность;
• при p = 3 она называется 3-поверхностью и т.д.;
• при p = n – 1 она называется гиперповерхностью.

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 2. 4–12                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2017 

Как и в случае обычных 2-поверхностей, p-поверхности можно получать как множества ∞p точек, 
∞p–1 линий и т.д.
P-поверхность можно получить как пересечение 
двух r- и q-поверхностей, где p = r + q – n [11] (здесь 
n – размерность операционного пространства),  
а также как пересечение трех или более поверхностей 
различных размерностей.
На многомерные пространства также обобщаются способы преобразований (аффинных, проективных, 
бирациональных) конструирования обычных поверхностей в трехмерном пространстве.
С точки зрения простоты и наглядности предпочтение следует отдать кинематическому способу 
образования p-поверхностей:
• точка A, двигаясь в координатной плоскости Oxy 
по некоторому закону, описывает кривую a:

 
y = f 1(x);

• кривая a, двигаясь в трехмерном пространстве 
Oxyz по некоторому закону, «заметает» поверхность 
α2; при этом точка A ∈ a описывает линию  
m ⊂ α2; семейство линий a и m образует сетчатый 
каркас поверхности α2:

 
z = ϕ2(x, y); 
(7)

• поверхность α2, в свою очередь, перемещается в 
четырехмерном пространстве Oxyzt по заданному 
закону и «заметает» 3-поверхность α3, содержащую 
3-ткань из семейств линий aij, muj, vij:

 
t = ϕ3(x, y, z);  
(8)

• 3-поверхность α3, двигаясь в пятимерном пространстве Oxyztw в направлении оси Ow по некоторому закону, образует 4-поверхность α4 (она на 
рис. 6 не показана):

 
v = ϕ4 (x, y, z, t). 
(9)

Этот процесс можно продолжать до получения 
гиперповерхности αn–1:

 
y = ϕn–1 (x1, x2, …, xi, … xn). 
(10)

2-поверхность α2 (7) содержит линейный каркас 
образующих ai постоянной или переменной формы. 
Она может содержать, как это принято при задании 
технических поверхностей, например в самолетостроении, сетчатый каркас (двуткань ai, mu) (см. 
рис. 6);

• семейства нервюр и стрингеров при задании поверхности крыла; множества шпангоутов и стрингеров при задании поверхности фюзеляжа.
В кораблестроении поверхность судна задается 
3-тканью, состоящей из трех семейств линий:
• батоксов (продольных вертикальных сечений);
• шпангоутов (поперечных вертикальных сечений);
• ватерлиний (горизонтальных сечений).

 

Рис. 6

Иногда для лучшего согласования обводов судна 
задают линии сечения корпуса наклонными продольными плоскостями — рыбинами.
Обобщая способы образования 2-поверхностей 
трехмерного пространства, задания их линейным 
или сетчатым каркасом, на образование p-поверхностей многомерного пространства, следует отметить:
1) построение сечений p-поверхности (p – 1)-,  
(p – 2)-, …, 3- и 2-плоскостями, параллельными 
соответствующим координатным (p – 1)-, (p – 2)-, 
…, 3-, 2-плоскостям, расслаивает [3] данную поверхность последовательно на каркас (p – 1)-,  
(p – 2)-, …, 2-поверхностей и кривых линий;
2) такое расслоение дает возможность наглядно (геометрически) представить численные способы 
дифференцирования и интегрирования функций 
многих переменных [19], а также дать геометрическое толкование алгоритмов решения прикладных вариационных, оптимизационных и других 
задач.
Таким образом, открывается широкая область 
межпредметных связей инженерной (начертательной) 
геометрии с рядом разделов высшей математики.
В конечном итоге решение прикладных задач с 
участием многомерных нелинейных форм сводится 
к вычислению координат их точек, принадлежащих 
перечисленным выше в п. 1 сечениям p-поверхности:

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2017                                                                 GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 2. 4–12

• зная пределы (начальное xн и конечное xк) изменения абсцисс точки А и закон образования кривой a, вычисляем ее ординаты, что позволяет 
получить ее аналитическую модель в той или иной 
форме;
• далее, зная пределы zн ≤ zi ≤ zк и закон образования 
поверхности α2, имеем возможность получения 
ее математической модели [4; 20]. Таким образом, 
получаются математические модели любой p-поверхности.
Следующей типовой задачей является построение 
пересечений (вычисление координат их точек) двух 
нелинейных форм. В качестве примера рассмотрим 
обобщение на четырехмерное пространство Oxyzt 
алгоритма построения линии пересечения двух поверхностей трехмерного пространства способом плоскостей уровня:
• даны две гиперповерхности (3-поверхности) α3 и 
β3 четырехмерного пространства;
• построить их пересечение ρ2 = α3 ∩ β3(3 + 3 – 4 = 2).
Искомую 2-поверхность ρ2 будем строить, используя в качестве посредников гиперплоскости γ3, параллельные координатной плоскости Oxyz (перпендикулярные оси Ot):
• проводим посредник γ i
3 ;

• строим сечения a
b
i
i
i
i
2
3
3
2
3
3
=
∩
=
∩
γ
α
γ
β
и
;

• 2-поверхности a
b
i
i
2
2
,
,  принадлежащие трехмерному посреднику γ i

3 , пересекаются по пространственной кривой l
a
b
i
i
i
=
∩
2
2 (кривую li строим 
общеизвестным способом плоскостей уровня 
γ ij
Oxy
2 
).
Таким образом, проведением посредника γ i

3  в 
Oxyzt и множества (пучка) посредников γ ij
2  в Oxyz 
получаем линию каркаса li искомой 2-поверхности 
ρ2. Выполнив перечисленные выше операции алгоритма с участием пучка всех i посредников γ i

3 , 
получаем дискретный линейный каркас пространственных кривых (li) – модель искомой 2-поверхности ρ2 в виде двупараметрического (∞2) множества 
точек.
Далее рассмотрим последовательность расчета 
координат точек пересечения ρ двух гиперповерхностей αn–1, βn–1 n-мерного пространства Ox1x2…xn. На 
первом этапе в качестве посредников используем 
гиперплоскости γn–1, перпендикулярные оси Oxn:
• строим сечения an–2 = γn–1 ∩ αn–1, bn–2 = γn–1 ∩ βn–1; 
(n – 1) + (n – 1) – n = n – 2;
• сечения an–2, bn–2, расположенные в гиперплоскости γn–1, пересекаются между собой по ρn–3 =  
= an–2 ∩ bn–2 ((n – 2) + (n – 2) – (n + 1) = n – 3).
На втором этапе для построения поверхности ρn–3 

в качестве посредников используем плоскости γn–2, 
перпендикулярные оси Oxn–1:

• строим сечения an–3 = γn–2 ∩ an–2, bn–3 = γn–2 ∩ bn–2 
((n – 2) + (n – 2) – (n – 1) = n – 3);
• сечения an–3, bn–3, принадлежащие посреднику 
γn–2, пересекаются между собой по ρn–4 = an–3 ∩ bn–3 
((n – 3) + (n – 3) – (n – 2) = n – 4).
Этот конструктивно-вычислительный процесс 
продолжается до построения точек пересечения двух 
линий a1, b1, получающихся в результате проведения 
посредника γ2, перпендикулярного оси Ox3 (табл.). 
На этом этапе в операционной 3-плоскости проведением достаточного количества посредников γ ij
2  
строим линию l1 пересечения 2-поверхностей a2, b2.

Таблица

Размерность 
посредника γ 
(операционного 
пространства)

Размерность 
сечений ai, bi
Размерность 
пересечения ρ

n – 1
n – 2
n – 3

n – 2
n – 3
n – 4

n – 3
n – 4
n – 5

…
…
…

4
3
2

3
2
1

2
1
0

Далее «поднимаемся» в операционную 4-плоскость 
γ4 и проведением пучка посредников γ3 строим каркаc линий lj искомой 2-поверхности ρ2. При этом 
каждую линию каркаса этой 2-поверхности ρ2 строим по алгоритму предыдущего этапа. Таким образом, 
поверхность ρ2 строится с использованием вложенного цикла построения линии l j
1 .
Этот процесс продолжается до построения ρn–3. 
При этом каждая следующая поверхность пересечения представляется как семейство (пучок) предыдущих сечений со всеми ранее построенными поверхностями – сечениями меньших размерностей.
Рассмотренная схема построения пересечения 
гиперповерхностей действительна и в случае пересечения нелинейных форм различных размерностей 
p, q: поверхность меньшей размерности принимается при этом проецирующей. Например, построение 
точки пересечения плоскости α2 и прямой l1 в трехмерном пространстве сводится к построению линии 
пересечения плоскости α2 и проецирующей плоскости β2 = l1.
Таким образом, рассмотренный конструктивновычислительный алгоритм построения пересечения 
многомерных нелинейных форм демонстрирует правило Гаусса [7] решения многомерных задач понижением их размерности. В данном случае понижение 
размерности выполняется сочетанием расслоения и 
проецирования.

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 2. 4–12                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2017 

Заключение. Ранее в наших публикациях [10; 12; 
14; 15; 19] отмечалась необходимость расширения 
предмета начертательной геометрии многомерными 
формами и сочетания конструктивных и аналитических способов решения с целью трансформировать 
ее в инженерную геометрию как отвечающую современным требованиям высшего образования.  
В данной статье этот тезис подкрепляется рассмотрением вопросов образования нелинейных форм, их 
задания, решения задач на пересечение.
Представляется, что внедрение в учебный процесс 
этих предложений позволит:
1) повысить не только реальное пространственное 
мышление студентов, необходимое для изучения 
инженерных дисциплин, но и абстрактное мышление, необходимое для понимания смежных 
разделов математики (геометрическое толкование 
решения систем уравнений, операций дифференцирования и интегрирования функций многих 
переменных и т.д.), физики (теория относитель
ности и т.д.), химии и материаловедения (диаграммы «состав–свойство» и т.д.) и др.;
2) повысить прикладное значение начертательной 
(инженерной) геометрии как обеспечивающей не 
только курс инженерной графики, но и других 
дисциплин (см. п. 1, САПР) за счет расширения 
межпредметных компетенций;
3) лишить авторов радикальных заявлений о начертательной геометрии
• как умирающей науке;
• противопоставляющих конструктивные (синтетические) методы решения задач аналитическим;
• считающих первичной 3D-модель по отношению к 2D-модели;
• умалчивающих о существовании пространств 
различных размерностей и структур, отличных 
от евклидового и также требующих моделирования при решении многих теоретических и 
прикладных задач [10].

Литература

 1. Божко А.Н. Компьютерная графика [Текст] / А.Н. Божко, Д.М. Жук, В.Б. Маничев. — М.: Изд-во МГТУ  
им. Н.Э. Баумана, 2007. — 396 с.
 2. Боровиков И.Ф. Новые подходы преподавания начертательной геометрии в условиях использования информационных образовательных технологий [Текст] /  
И.Ф. Боровиков, Г.С. Иванов, В.И. Серегин, Н.Г. Суркова // Инженерный вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 
2014. — № 12.
 3. Войцеховский М.Н. Расслоение [Текст] / М.Н. Войцеховский // Математическая энциклопедия. — Т. 4. — 
М., 1984. — С. 893–894.
 4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / 
Н.Н. Голованов. — М.: Изд-во физико-математической 
литературы, 2002. — 472 с.
 5. Гузненков В.Н. Геометро-графическая подготовка как 
интегрирующий фактор образовательного процесса 
[Текст] / В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Образование 
и общество. — 2014. — № 2. — С. 26–28.
 6. Дмитриева И.М. Интеграция графических и аналитических способов решения задач при обучении студентов начертательной геометрии [Текст]: автореф. дис. … 
канд. пед. наук / И.М. Дмитриева. — М., 2005. — 18 с.
 7. Ефимов Н.В. Линейная алгебра и многомерная геометрия [Текст] / Н.В. Ефимов, Э.Р. Розендорн. — М., 1974. — 
544 с.
 8. Завьялов Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии 
[Текст] / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. — 
М.: Машиностроение, 1985. — 224 с.
 9. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования 
свойств параметрически заданных кривых [Текст] /  

Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — 
№ 3. — С. 3–6. — DOI: 10.12737/12163.
 10. Иванов Г.С. Предыстория и предпосылки трансформации начертательной геометрии в инженерную [Текст] / 
Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — 
№ 2. — С. 29–36. — DOI: 10.12737/19830.
 11. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 
1988. — 158 с.
 12. Иванов Г.С. Интегрированный курс геометрии и линейной алгебры как средство формирования математической подготовки студентов технических вузов [Текст] / 
Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Омский научный вестник. Серия «Общество. История. Современность». — 
2010. — № 5. — С. 205–208.
 13. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. —  
С. 3–8. — DOI: 10.12737/12163.
 14. Иванов Г.С. Организационно-правовое обеспечение постановки интегрированного курса линейной алгебры, 
начертательной и аналитической геометрии [Текст] / 
Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Право и образование. — 
2007. — № 11. — С. 68-74.
 15. Иванов Г.С. Как обеспечить общегеометрическую подготовку студентов технических университетов [Текст] / 
Г.С. Иванов, В.О. Москаленко, К.А. Муравьев // Наука и образование, МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2012. —  
№ 8. — URL: http:// technomag.edu.ru/doc/445140.html/
 16. Иванов Г.С. Инженерная геометрия — теоретическая 
база построения геометрических моделей [Текст] /  
Г.С. Иванов, В.И. Серегин // Сб. статей международной 
научно-практической конференции «Инновационное 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2017                                                                 GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 2. 4–12

развитие современной науки». — Уфа: Изд-во БашГУ, 
2014. — Ч. 3. — С. 339–346.
 17. Сальков Н.А. Графо-аналитическое решение некоторых частных задач квадратичного программирования 
[Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2014. — 
Т. 2. — № 1. — С. 3–8. — DOI: 10.12737/3842.
 18. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1. — С. 44–54. — 
DOI: 10.12737/18057.
 19. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. — 2013. —  
Т. 1. — № 3–4. — С. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.
 20. Фокс А. Вычислительная геометрия [Текст] / А. Фокс, 
М. Пратт. — М.: Мир, 1982. — 304 с.

References

 1. Bozhko A.N., Zhuk D.M., Manichev V.B. Komp'juternaja 
grafika [Computer graphics]. Moscow, Publishing house of 
Bauman Moscow State Technical University, 2007. (in Russian)
 2. Borovikov I. F., Ivanov G. S., Seregin V. I., Surkova N.G. 
Novye podhody prepodavanija nachertatel'noj geometrii 
v uslovijah ispol'zovanija informacionnyh obrazovatel'nyh 
tehnologij [New approaches of teaching descriptive geometry in the terms of use of educational information technology]. Inzhenernyy vestnik [Engineering Bulletin]. Publishing 
house of Bauman Moscow State Technical University. 2014, 
I. 12. (in Russian)
 3. Vojcehovskij M.N. Rassloenie [Bundle]. Matematicheskaya 
encyclopedia [Mathematical Encyclopedia]. 1984, V. 4,  
pp. 893–894. (in Russian)
 4. Golovanov N.N. Geometricheskoe modelirovanie [Geometric modeling]. Moscow, Fizmatgiz Publ. 2002. (in Russian)
 5. Guznenkov V.N., Jakunin V.I. Geometro-graficheskaja 
podgotovka kak integrirujushhij faktor obrazovatel'nogo processa [Geometro-graphic training as an integrating factor in 
the educational process.] Obrazovanie i obshhestvo [Education and society], Moscow, 2014, I. 2, pp. 26–28. (in Russian)
 6. Dmitrieva 
I.M. 
Integracija 
graficheskih 
i 
analiticheskih sposobov reshenija zadach pri obuchenii studentov 
nachertatel'noj geometrii. Kand. Diss. [Integration of graphical and analytical methods of problem solving in teaching 
students of descriptive geometry. Cand. Diss.]. Moscow, 
2005. (in Russian)
 7. Efimov N.V., Rozendorn Je.R. Linejnaja algebra i mnogomernaja geometrija [Linear algebra and multidimensional 
geometry]. Moscow, 1974. 544 p. (in Russian)
 8. Zav'jalov Ju.S., Leus V.A., Skorospelov V.A. Splajny v inzhenernoj geometrii [The splines in engineering geometry]. 

Moscow, Mashinostroenie Publ., 1985. (in Russian). DOI: 
10.12737/12163.
 9. Ivanov G.S. Konstruktivnyj sposob issledovanija svojstv 
parametricheski zadannyh krivyh [A constructive way to 
study the properties of parametrically defined curves]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2014, V. 2, I. 3, pp. 3–6. (in Russian). DOI: 
10.12737/12163.
 10. Ivanov G.S. Predystorija i predposylki transformacii 
nachertatel'noj geometrii v inzhenernuju [Previous History 
and Background of Transformation of the Descriptive Geometry in the Engineering Geometry]. Geometrija i grafika 
[Geometry and graphics]. 2016, V.4, I. 2, pp. 29–36. (in 
Russian). DOI: 10.12737/19830.
 11. Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noj geometrii 
[Theoretical foundations of descriptive geometry]. Moscow, 
Mashinostroenie Publ., 1988. (in Russian)
 12. Ivanov G.S., Dmitrieva I.M. Integrirovannyj kurs geometrii i 
linejnoj algebry kak sredstvo formirovanija matematicheskoj 
podgotovki studentov tehnicheskih vuzov [Integrated course 
of geometry and linear algebra as means of formation of 
mathematical training of students of technical universities]. 
Omskij nauchnyj vestnik, serija Obshhestvo. Istorija. Sovremennost' [Omsk scientific Bulletin, series Society. History. 
Modernity]. 2010, I. 5, pp. 205–208. (in Russian)
 13. Ivanov G.S., Dmitrieva I.M. O zadachah nachertatel'noj geometrii s mnimymi reshenijami [About the tasks of descriptive geometry with imaginary solutions]. Geometrija i grafika 
[Geometry and graphics]. Moscow, 2015, V. 3, I. 2, pp. 3–8. 
(in Russian). DOI: 10.12737/12163.
 14. Ivanov G.S., Dmitrieva I.M. Organizacionno-pravovoe 
obespechenie postanovki integrirovannogo kursa linejnoj 
algebry, nachertatel'noj i analiticheskoj geometrii [Organizational and legal support of the integrated production of linear 
algebra, descriptive and analytic geometry]. Pravo i obrazovanie [Law and education]. Moscow, 2007, I. 11, pp. 68–74. 
(in Russian)
 15. Ivanov G.S., Moskalenko V.O., Murav'ev K.A. Kak obespechit' obshhegeometricheskuju podgotovku studentov 
tehnicheskih universitetov [How to ensure to obseruations 
training of students in the technical universities]. Nauka i 
obrazovanie, MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education, MSTU. NE Bauman]. 2012, I. 8. Available at: http:// 
technomag.edu.ru/doc/445140.html
 16. Ivanov G.S., Seregin V.I. Inzhenernaja geometrija — teoreticheskaja baza postroenija geometricheskih modelej [Engineering geometry is the theoretical basis of constructing 
geometric models]. Sb. statej mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Innovacionnoe razvitie sovremennoj 
nauki» [Collection of articles of international scientificpractical conference "Innovative development of modern 
science"], Ufa, RIC BashGU Publ., 2014, pp. 339–346. (in 
Russian)
 17. Sal'kov N.A. Grafo-analiticheskoe reshenie nekotoryh 
chastnyh zadach kvadratichnogo programmirovanija [Grafo-analytical solution of some particular quadratic program
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 2. 4–12                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2017 

ming problems]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2014, V. 2, I. 1, pp. 3–8. (in 
Russian). DOI: 10.12737/3842.
 18. Sal'kov N.A. Nachertatel'naja geometrija — baza dlja geometrii analiticheskoj [Descriptive geometry — the base 
of analytical geometry]. Geometrija i grafika [Geometry 
and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2016, V. 4, I. 1,  
pp. 44–54. (in Russian). DOI: 10.12737/18057.

 19. Seregin V.I., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Murav'ev K.A. 
Mezhdisciplinarnye svjazi nachertatel'noj geometrii i 
smezhnyh razdelov vysshej matematiki [Interdisciplinary 
connections descriptive geometry and related sections of 
higher mathematics]. Geometrija i grafika [Geometry and 
graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2013, V. 1, I. 3–4,  
pp. 8–12. (in Russian). DOI: 10.12737/2124.
 20. Foks A., Pratt M. Vychislitel'naja geometrija [Computational 
geometry]. Moscow, Mir Publ., 1982. (in Russian)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2017                                                                 GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 2. 4–12