Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций

100-летию со дня основания
Саратовского государственного
университета им. Н. Г. Чернышевского
посвящается

В.С. Анищенко,  В.В. АСтАхоВ, т.е. ВАдиВАСоВА

2009

РегуляРные  

и хАотичеСкие 
АВтоколебАния

СинхРонизАция и Влияние 

флуктуАций

В.С. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова
Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и
влияние флуктуаций: Учебникмонография / В.С. Анищенко,
В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова – Долгопрудный: Издательский
Дом «Интеллект», 2009. – 312 с.
ISBN  9785915590662

В книге наиболее полно и последовательно излагается классическая теория периодических автоколебаний, внешней и взаимной синхронизации и
влияния флуктуаций на свойства периодических автоколебаний.
Результаты используются для анализа проблемы генерирования и синхронизации более сложных (квазипериодических и хаотических) автоколебаний в системах с полутора и двумя степенями свободы. Рассмотрены примеры систем, реализующих двухчастотные и хаотические автоколебания и
проблема влияния флуктуаций.
Для студентов и преподавателей университетов, ведущих подготовку по
физикоматематическим, химикобиологическим, биофизическим, инженерным и социальноэкономическим специальностям.

 © 2009, В.С. Анищенко,
В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова
 © 2009, ООО Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ISBN  9785915590662

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Гла ва 1
Основы теории динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

1.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2. Динамическая система и ее математическая модель . . . . . . . . . . .
18
1.2.1. Классификация динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.2. Предельные множества динамической системы . . . . . . . . . .
20
1.2.3. Автоколебательные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2.4. Фазовые портреты динамических систем . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3. Устойчивость фазовых траекторий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.3.1. Линейный анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.3.2. Устойчивость состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.3.3. Устойчивость периодических решений . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.3.4. Устойчивость квазипериодических и хаотических решений . .
36
1.3.5. Устойчивость фазовых траекторий в системах с дискретным
временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.4. Бифуркации динамических систем, катастрофы . . . . . . . . . . . . . .
39
1.4.1. Бифуркации состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.4.2. Бифуркации предельных циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.4.3. Нелокальные бифуркации. Гомоклинические траектории и
структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.5. Аттракторы динамических систем. Детерминированный хаос . . . . .
52
1.5.1. Регулярные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.5.2. Грубые гиперболические хаотические аттракторы . . . . . . . .
55
1.5.3. Квазигиперболические аттракторы. Аттракторы типа Лоренца
57
1.5.4. Негиперболические хаотические аттракторы . . . . . . . . . . . .
57
1.5.5. Странные нехаотические и хаотические нестранные аттракторы
58
1.6. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

Оглавление

Гла ва 2
Автоколебательные системы с одной степенью свободы: осциллятор
Ван дер Поля, генератор с жестким возбуждением . . . . . . . . . . . . .
62

2.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2. Примеры автоколебательных систем, описываемых уравнением осциллятора с нелинейной диссипацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2.1. Маятник Фроуда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2.2. Закрепленный грузик на движущейся ленте . . . . . . . . . . . .
65
2.2.3. Ламповый генератор с колебательным контуром в цепи сетки
66
2.2.4. RC-генератор с мостом Вина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.2.5. Колебательный контур с активным нелинейным элементом .
69
2.3. Исследование динамики осциллятора Ван дер Поля . . . . . . . . . . .
71
2.3.1. Состояния равновесия и анализ устойчивости . . . . . . . . . .
72
2.3.2. Квазигармонические автоколебания. Энергетический метод
Теодорчика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.3.3. Квазигармонические автоколебания. Метод усреднения Ван
дер Поля. Укороченные уравнения для амплитуды и фазы .
77
2.3.4. Релаксационные автоколебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.4. Исследование динамики генератора с жестким возбуждением . . . .
84
2.4.1. Типы состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.4.2. Укороченные уравнения для амплитуды и фазы генератора с
жестким возбуждением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.4.3. Бифуркационная диаграмма генератора с жестким возбуждением
87
2.5. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

Гла ва 3
Автоколебательные системы с полутора и двумя степенями свободы .
92

3.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.2. Генератор Теодорчика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.3. Модификация генератора с инерционной нелинейностью. Генератор Анищенко–Астахова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3.1. Периодические режимы автоколебаний и их бифуркации . . .
100
3.3.2. Бифуркации удвоения периода. Универсальность Фейгенбаума
109
3.3.3. Хаотический аттрактор и гомоклинические траектории в
генераторе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
3.4. Генератор Чуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
3.4.1. Состояния равновесия системы Чуа . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
3.4.2. Гомоклинические траектории и аттракторы системы Чуа . . .
122
3.5. Генераторы квазипериодических колебаний. Цепь Чуа . . . . . . . . .
126

Оглавление
7

3.6. Генератор квазипериодических колебаний с двумя независимыми
частотами. Бифуркация удвоения тора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
3.6.1. Бифуркационная диаграмма системы . . . . . . . . . . . . . . . .
134
3.6.2. Бифуркация удвоения двумерного тора . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.7. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

Гла ва 4
Синхронизация автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
4.2. Синхронизация периодических автоколебаний . . . . . . . . . . . . . .
145
4.2.1. Внешняя синхронизация генератора Ван дер Поля. Укороченные уравнения для амплитуды и фазы . . . . . . . . . . . .
146
4.2.2. Взаимная синхронизация. Бифуркационные механизмы эффектов синхронизации и гашения в диссипативно связанных
генераторах Ван дер Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
4.3. Синхронизация квазипериодических колебаний . . . . . . . . . . . . . .
178
4.3.1. Резонансный предельный цикл на двумерном торе . . . . . . .
179
4.3.2. Воздействие внешней периодической силы на резонансный
предельный цикл в системе связанных генераторов . . . . . .
183
4.3.3. Основные бифуркации квазипериодических режимов при
синхронизации резонансного предельного цикла . . . . . . . .
185
4.3.4. Фазовая синхронизация системы связанных генераторов Ван
дер Поля внешним гармоническим сигналом . . . . . . . . . .
192
4.3.5. Синхронизация двухчастотных колебаний в автогенераторе
квазипериодических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
4.4. Синхронизация хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
4.4.1. Частотно-фазовая синхронизация хаотических автоколебаний
208
4.4.2. Полная синхронизация взаимодействующих хаотических систем
221
4.4.3. Количественные характеристики степени синхронности хаотических автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
4.5. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229

Гла ва 5
Флуктуации в автоколебательных системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
5.2. Основы теории случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
5.2.1. Основные характеристики случайных процессов . . . . . . . . .
241
5.2.2. Основы теории марковских процессов. . . . . . . . . . . . . . . .
252
5.2.3. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) . . . . .
256

Оглавление

5.3. Флуктуации в автономном квазигармоническом генераторе . . . . . .
258
5.3.1. Стохастические уравнения квазигармонического автогенератора
258
5.3.2. Флуктуации амплитуды автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . .
261
5.3.3. Случайная фаза автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
5.3.4. Автокорреляционная функция и спектр автоколебаний в присутствии шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
5.4. Методы измерения флуктуаций автогенераторов . . . . . . . . . . . . .
267
5.5. Обобщение спектрально-корреляционной теории флуктуаций на
случай генераторов спирального хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
5.5.1. Численное исследование детерминированных хаотических автоколебаний в режиме спирального хаоса . . . . . . . . . . . .
276
5.5.2. Влияние белого шума на хаотические автоколебания в режиме спирального аттрактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
5.5.3. Исследование динамики мгновенной фазы и спектральных
характеристик автогенератора со спиральным аттрактором в
натурном эксперименте. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
5.6. Синхронизация автоколебаний в присутствии шума . . . . . . . . . . .
284
5.6.1. Вынужденная синхронизация зашумленных автоколебаний
гармонической внешней силой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
5.6.2. Взаимная синхронизация квазигармонических автогенераторов в присутствии шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
5.6.3. Синхронизация хаотических автоколебаний в присутствии
шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
5.6.4. Синхронизация автоколебаний узкополосным шумом . . . . .
295
5.7. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299

П р и л о ж е н и я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

П.1. Преобразование источников шума в автогенераторе . . . . . . . . . . .
306
П.2. Получение выражения для автокорреляционной функции колебаний генератора с шумом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемый читатель!

Перед Вами еще одна книга по теории колебаний, которая является
неотъемлемой частью радиофизики. За период становления и развития
радиофизики написано достаточно много замечательных книг по теории колебаний, которые вошли в золотой фонд отечественной науки.
Возникает вопрос, а что интересного, важного и нового можно к этому
добавить? По мнению авторов, сегодня это целесообразно и необходимо
сделать, и мы попытаемся вас в этом убедить. Прежде чем поставить эту
книгу на полку, советуем прочитать краткое предисловие, ознакомиться
с оглавлением, а затем сделать выводы.
Теория колебаний является разделом фундаментальной радиофизики,
изучающей физические явления общего характера, существенные для
радиосвязи в широком ее понимании. Следуя терминологии С. М. Рытова, это направление радиофизики относится к «физике для радио», так
как непосредственно решает одну из главных проблем радиофизики —
проблему генерации электромагнитных колебаний.
Уместно отметить, что радиофизика как фундаментальная область
научных знаний явилась уникальным достижением отечественной науки. Основы радиофизики в СССР были заложены трудами выдающихся советских ученых, таких как Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси,
А.А. Андронов, Г.С. Горелик, С.М. Рытов, В.А. Котельников, С.П. Стрелков, В. И. Калинин, А. А. Харкевич и другие. Нигде в мире не существует такой четко определенной области науки как радиофизика. Безусловно, отдельные направления радиофизических исследований, такие как,
например, электротехника и теория цепей, электродинамика и электроника СВЧ, лазерная физика, нелинейная динамика и другие, существуют и развиваются. Однако указанные направления исследований в
зарубежной науке до сих пор существуют независимо и не объединены единой концепцией радиофизики, как это было в СССР и остается
в настоящее время в России. Отечественная радиофизическая научная

Предисловие

школа является единственной в своем роде и ее достижения за столетие
существования признаны международным научным сообществом.
Вернемся к теории колебаний, а точнее — к теории автоколебаний,
которая составляет главный предмет обсуждения предлагаемой Вашему
вниманию книги. Термин «автоколебания» был введен в рассмотрение
А. А. Андроновым применительно к колебаниям, возникающим в автономных нелинейных диссипативных системах в результате преобразования постоянной энергии источника в энергию периодических незатухающих колебаний. Характеристики процесса, такие как амплитуда,
частота и форма периодических автоколебаний, определяются исключительно параметрами системы и не зависят от начальных условий.
А. А. Андронов с соавторами детально исследовал автоколебательные
режимы в системах с одной степенью свободы, фазовым пространством
которых является плоскость. Была установлена однозначная взаимосвязь
автоколебаний в таких системах с предельным циклом Пуанкаре, который есть изолированная замкнутая фазовая траектория на плоскости.
Значение этого результата во многом повлияло на дальнейшее развитие
нелинейной теории колебаний.
На первом этапе формирования теории колебаний важно было убедиться в фундаментальной общности автоколебаний как явления, присущего широкому классу систем различной природы. Еще в довоенные
годы появилось много работ, в которых колебательные процессы, демонстрирующие принципиальные свойства автоколебаний, иллюстрировались на примерах механических, электротехнических, гидравлических
и других типов систем. Было показано, что незатухающие колебания
поршневых двигателей, язычков духовых музыкальных инструментов,
часов, электронных и других типов систем являются автоколебаниями.
Были вскрыты принципиальные механизмы возбуждения и поддержания устойчивых автоколебаний, обусловленные нелинейностью и диссипативностью, введены понятия отрицательного сопротивления и сформулированы амплитудные и фазовые требования к обратной связи в
автогенераторах.
Замечательной особенностью этих работ явилось то, что достаточно
сложный эффект автоколебаний описывался на языке классических физических представлений. Определенным итогом этих работ явилась книга А. А. Харкевича «Автоколебания», излагающая физическую трактовку
явления автоколебаний применительно к широкому классу систем, которая не содержит ни единой формулы.
Однако физическая трактовка явления автоколебаний нуждается в
количественном, математически строгом описании и эта задача решалась А. А. Андроновым и многими другими выдающимися учеными

Предисловие
11

(Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский). Математический анализ задачи об автоколебаниях наталкивался на серьезную проблему решения нелинейных дифференциальных уравнений. Было установлено, что наиболее простым и в то же время достаточно общим
уравнением автоколебательной системы с одной степенью свободы является уравнение Ван дер Поля (или уравнения типа Ван дер Поля).
Это нелинейное диссипативное однородное уравнение второго порядка,
строгое решение которого в аналитической форме было неизвестно.
В связи с тем, что общих методов строгого решения нелинейных
дифференциальных уравнений не создано, необходимо было разработать
эффективные методы приближенного решения уравнений автогенераторов, которые позволили бы разработать аналитическую теорию автоколебаний. И такие методы были развиты.
В создание приближенных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений огромный вклад внесли отечественные ученые
(Н.М. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, М.А. Бонч–Бруевич,
Ю. Б. Кобзарев и др.). Кроме того, примерно в то же время Л. И. Мандельштам и А. А. Андронов предложили специальные методы анализа
нелинейных уравнений, использующие работы А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре. В частности, ими был эффективно использован метод фазовых
траекторий для анализа режима автоколебаний.
В послевоенные годы в вопросе об автоколебаниях динамических
систем с одной степенью свободы была достигнута практически полная ясность. Создана приближенная аналитическая теория, разработаны
основы качественной теории динамических систем и ее приложения к
задаче автоколебаний (А. А. Андронов, Е. М. Леонтович, И. И. Гордон,
А. Г. Майер), проведены экспериментальные исследования и установлено их соответствие с выводами теории. Все это нашло отражение в
прекрасных книгах (С. П. Стрелков, В. И. Калинин и Г. М. Герштейн,
П.С. Ланда, В.В. Немыцкий и В.В. Степанов, Н.Н. Баутин и Е.М. Леонтович и др.) и вошло в курсы лекций по теории колебаний для радиофизических специальностей вузов.
Во второй половине прошлого века произошло важнейшее событие,
которое оказало принципиальное влияние на понимание и трактовку динамических закономерностей природы. Этим событием явилось открытие феномена детерминированного хаоса (Э. Лоренц, 1963 г., Д. Рюэль
и Ф. Такенс, 1971 г.). Эффект детерминированного хаоса и его математический образ в виде странного аттрактора существенно изменили наши представления об автоколебаниях. Стало понятным, что предельный
цикл как образ устойчивых незатухающих периодических колебаний характеризует лишь частный и наиболее простой пример автоколебаний.
Обсудим это более детально.