Математика
Покупка
Новинка
Тематика:
Основы математики
Издательство:
ФЛИНТА
Авторы:
Шевалдина Ольга Яковлевна, Кругликов Сергей Владимирович, Трофимова Елена Александровна, Выходец Евгения Владимировна, Кузнецова Ольга Леонидовна, Жильцова Ольга Юрьевна
Год издания: 2025
Кол-во страниц: 726
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9765-5793-2
Артикул: 862090.01.99
Доступ онлайн
2 500 ₽
В корзину
В учебнике, предназначенном для студентов нематематических специальностей и направлений подготовки, компактно изложены основы математики. Значительная часть теорем сформулирована, но доказательства не приведены. Математические понятия и утверждения иллюстрируются примерами, что дает возможность студентам приобщиться к математическому моделированию различных прикладных задач. Для проверки освоения изученного материала приводятся блоки задач для самостоятельного решения и тесты.
Учебник предназначен для студентов, изучающих дисциплину «Математика» в рамках модуля «Математические методы анализа», будет полезен начинающим преподавателям математики.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 00.03.06: Математика
- ВО - Специалитет
- 00.05.06: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА МАТЕМАТИКА Учебник 2-е издание, стереотипное Москва Издательство «ФЛИНТА» 2025 Екатеринбург Издательство Уральского университета 2025
УДК 51(075.8)
ББК 21.1я73
М34
М34
УДК 51(075.8)
ББК 21.1я73
Авторы:
О. Я. Шевалдина, С. В. Кругликов, Е. А. Трофимова,
Е. В. Выходец, О. Л. Кузнецова, О. Ю. Жильцова
Под общей редакцией С. В. Кругликова
Рецензенты:
отдел математического программирования
Института математики и механики УрО РАН
(зав. отделом, д-р физ.-мат. наук, член-корреспондент РАН М. Ю. Хачай);
Г. А. Тимофеева, д-р физ.-мат. наук, проф.
(Уральский государственный университет путей сообщения)
Математика : учебник / О.Я. Шевалдина, С.В. Кругликов, Е.А. Трофимова —
2-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА ; Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2025. —
726 с. : ил. — 978-5-9765-5793-2 (ФЛИНТА) ; ISBN 978-5-7996-3850-4 (Изд-во
Урал. ун-та). — Текст : электронный.
В учебнике, предназначенном для студентов нематематических специальностей
и направлений подготовки, компактно изложены основы математики. Значительная
часть теорем сформулирована, но доказательства не приведены. Математические понятия и утверждения иллюстрируются примерами, что дает возможность студентам
приобщиться к математическому моделированию различных прикладных задач. Для
проверки освоения изученного материала приводятся блоки задач для самостоятельного решения и тесты.
Учебник предназначен для студентов, изучающих дисциплину «Математика» в
рамках модуля «Математические методы анализа», будет полезен начинающим
преподавателям математики.
ISBN 978-5-9765-5793-2 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-3850-4 (Изд-во Урал. ун-та)
© Уральский федеральный
университет, 2025
© Коллектив авторов, 2025
ОГЛАВЛЕНИЕ От авторов 11 От редактора 14 1. Матричная алгебра 23 1.1. Матрицы 23 1.2. Операции над матрицами 26 1.3. Использование алгебры матриц в решении экономических задач 30 1.4. Определители 32 1.5. Обратная матрица 40 1.6. Решение матричных уравнений 43 1.7. Векторы. Действия с n-мерными векторами 44 1.8. Ранг матрицы 47 1.9. Операции матричной алгебры в среде MS Excel 52 Задачи для самостоятельного решения 62 Тесты 64 2. Системы линейных уравнений 70 2.1. Понятие о системах линейных уравнений и их виды 70 2.2. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы 72 2.3. Формулы Крамера 73 2.4. Метод Жордана — Гаусса построения общего решения систем линейных алгебраических уравнений 75 2.5. Условия совместности системы линейных алгебраических уравнений 80 2.6. Однородные системы линейных уравнений 89 2.7. Обращение матриц методом Жордана — Гаусса 92 2.8. Решение матричных уравнений методом Жордана — Гаусса 93
Оглавление 4 2.9. Нахождение неотрицательного базисного решения 95 2.10. Системы линейных уравнений в решении экономических задач 98 2.11. Линейная балансовая модель Леонтьева 101 2.12. Модель Неймана 109 2.13. Решение систем линейных уравнений в MS Excel 111 Задачи для самостоятельного решения 120 Тесты 123 3. Векторная алгебра 126 3.1. Линейные пространства 126 3.2. Линейная зависимость элементов 128 3.3. Базис и размерность линейного пространства. Ранг и базис системы векторов 132 3.4. Нахождение базиса системы векторов a1, a 2, …, a m (ai Rn) 135 3.5. Формула преобразования координат элемента при преобразовании базиса 138 3.6. Скалярное произведение, угол и длина вектора в евклидовом пространстве 142 3.7. Задача ортогонализации 145 Задачи для самостоятельного решения 147 Тесты 148 4. Аналитическая геометрия 150 4.1. Векторы на плоскости и в пространстве 150 4.2. Декартова прямоугольная система координат в R3. Скалярное произведение векторов 151 4.3. Векторное произведение векторов 155 4.4. Смешанное произведение векторов 158 4.5. Плоскость в пространстве 160 4.6. Прямая линия в пространстве 167 4.7. Кривые второго порядка 172 Задачи для самостоятельного решения 179 Тесты 180 5. Линейные операторы 183 5.1. Понятие линейного оператора 183 5.2. Алгебра линейных операторов 186
Оглавление 5 5.3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 190 5.4. Линейная модель торговли 193 5.5. Линейные операторы в евклидовом пространстве 195 5.6. Квадратичные формы и их приложения 198 Задачи для самостоятельного решения 203 Тесты 207 6. Введение в математический анализ 210 6.1. Высказывания, аксиомы, теоремы. Стандартные обозначения 210 6.2. Логические операции 210 6.3. Множества и операции над множествами 212 6.4. Числовые множества 215 6.5. Модуль и знак числа. Выпуклое множество 218 6.6. Верхние и нижние грани числовых множеств 219 6.7. Принцип математической индукции 221 Задачи для самостоятельного решения 223 Тесты 224 7. Функции одной переменной 226 7.1. Основные определения 226 7.2. Элементарные функции 229 7.3. Композиция функций 241 7.4. Обратимые отображения 242 7.5. Конечные суммы 245 Задачи для самостоятельного решения 248 Тесты 256 8. Числовые последовательности 259 8.1. Последовательности действительных чисел 259 8.2. Ограниченные последовательности 260 8.3. Предел последовательности 262 8.4. Свой ства сходящихся последовательностей 266 8.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 268 8.6. Сравнение последовательностей 270 8.7. Арифметические операции над пределами последовательностей 271 8.8. Монотонные последовательности 272 8.9. Число e 274
Оглавление 6 8.10. Подпоследовательности 276 8.11. Применение числа e в экономике 276 8.12. Вычисление пределов последовательностей 277 Задачи для самостоятельного решения 281 Тесты 284 9. Предел функции одной переменной 287 9.1. Предел функции в точке. Геометрическая интерпретация 287 9.2. Предел функции в бесконечности 291 9.3. Односторонние пределы 293 9.4. Свой ства пределов функции в точке 294 9.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 297 9.6. Свой ства бесконечно малых и бесконечно больших функций 300 9.7. Арифметические свой ства пределов функции 301 9.8. Замечательные пределы 303 9.9. Теоремы о пределе монотонной функции 304 9.10. Сравнение функций. Теоремы об эквивалентных функциях 308 9.11. Вычисление пределов функций 310 Задачи для самостоятельного решения 318 Тесты 320 10. Непрерывность функции одной переменной 324 10.1. Непрерывность функции в точке 324 10.2. Односторонняя непрерывность, связь с непрерывностью в точке 326 10.3. Классификация точек разрыва 327 10.4. Свой ства непрерывных функций 331 10.5. Арифметические операции над непрерывными функциями 331 10.6. Непрерывность элементарных функций 332 10.7. Непрерывность функции на множестве 333 10.8. Существование и непрерывность обратной функции 337 Задачи для самостоятельного решения 337 Тесты 340 11. Производная функции одной переменной 344 11.1. Производная функции в точке 344 11.2. Дифференцируемость функции одной переменной 349 11.3. Правила вычисления производных 351
Оглавление 7 11.4. Дифференцирование сложной функции 353 11.5. Дифференцирование обратной функции 354 11.6. Производные некоторых элементарных функций 356 11.7. Логарифмическая производная 360 11.8. Эластичность функции и ее свой ства 362 11.9. Производная функции, заданной параметрически 366 11.10. Дифференцирование функций, заданных неявно 367 Задачи для самостоятельного решения 368 Тесты 371 12. Производные и дифференциалы высших порядков 373 12.1. Дифференциал функции одной переменной 373 12.2. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной 378 12.3. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях 382 12.4. Формулы конечных приращений, их приложения 384 12.5. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) 387 12.6. Формула Тейлора для многочленов 391 12.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 393 12.8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 394 12.9. Разложения основных элементарных функций 396 Задачи для самостоятельного решения 401 Тесты 404 13. Исследование и построение графиков функции одной переменной 407 13.1. Условия возрастания и убывания функции 407 13.2. Локальный экстремум функции 408 13.3. Абсолютный экстремум функции 410 13.4. Выпуклость и точки перегиба графика функции 411 13.5. Асимптоты графика функции 415 13.6. Схема исследования функций и построения кривых 418 Задачи для самостоятельного решения 424 Тесты 426
Оглавление 8 14. Применение производной в экономике 430 14.1. Определение суммарных, средних и предельных величин в экономике 430 14.2. Примеры использования функций из области экономики 431 14.3. Эластичность функции и ее применение в экономическом анализе 442 14.4. Исследование функций в экономике. Максимизация прибыли 449 Задачи для самостоятельного решения 453 Тесты 458 15. Функции нескольких переменных 461 15.1. Множества в n-мерном евклидовом пространстве 461 15.2. Определение функции 464 15.3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных 468 15.4. Частные производные 470 15.5. Дифференцируемость функции нескольких переменных 475 15.6. Дифференцирование сложных функций 479 15.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков 482 15.8. Формула Тейлора 485 15.9. Дифференцирование функций, заданных неявно 486 15.10. Производная по направлению и градиент 493 15.11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 499 Задачи для самостоятельного решения 502 Тесты 507 16. Задачи оптимизации 510 16.1. Экстремумы функций нескольких переменных 510 16.2. Некоторые сведения о квадратичных формах 515 16.3. Условный экстремум 524 16.4. Задачи оптимизации в экономике 542 Задачи для самостоятельного решения 555 Тесты 559 17. Неопределенный интеграл 562 17.1. Первообразная и ее связь с неопределенным интегралом 562 17.2. Свой ства неопределенного интеграла 564 17.3. Таблица неопределенных интегралов 565 17.4. Методы вычисления неопределенного интеграла 567 17.5. Интегрирование рациональных функций 577
Оглавление 9 17.6. Интегрирование тригонометрических функций 588 17.7. Интегрирование иррациональных функций 591 Задачи для самостоятельного решения 596 Тесты 599 18. Определенный интеграл 604 18.1. Понятие определенного интеграла 604 18.2. Необходимое условие интегрируемости 607 18.3. Классы интегрируемых функций 608 18.4. Свой ства определенного интеграла 609 18.5. Интеграл как функция верхнего предела 613 18.6. Формула Ньютона — Лейбница 615 18.7. Формула замены переменной в определенном интеграле 620 18.8. Интегрирование по частям в определенном интеграле 623 18.9. Геометрические приложения определенного интеграла 624 18.10. Экономические приложения определенного интеграла 631 Задачи для самостоятельного решения 637 Тесты 642 19. Несобственные интегралы 645 19.1. Несобственные интегралы первого рода 645 19.2. Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций 648 19.3. Исследование сходимости интегралов от знакопеременных функций 651 19.4. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода) 652 Задачи для самостоятельного решения 657 Тесты 658 20. Числовые ряды 660 20.1. Понятие числового ряда и его суммы 660 20.2. Основные свой ства сходящихся рядов 672 20.3. Ряды с неотрицательными членами 676 20.4. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами 681 20.5. Исследование сходимости рядов с помощью асимптотических формул 689 20.6. Знакопеременные ряды 691 20.7. Знакочередующиеся ряды 694
Оглавление 10 Задачи для самостоятельного решения 699 Тесты 704 21. Степенные ряды 707 21.1. Степенной ряд. Теорема Абеля 707 21.2. Свой ства степенных рядов 711 21.3. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям 715 Задачи для самостоятельного решения 718 Тесты 719 Библиографический список 722
Доступ онлайн
2 500 ₽
В корзину