Математический анализ: расширенный курс лекций

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Орский гуманитарно-технологический институт (филиал) 
федерального государственного бюджетного образовательного учреждения 
высшего образования «Оренбургский государственный университет»    
В.В. Пергунов 
Математический анализ 
Расширенный  курс лекций  
2-е издание, стереотипное
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2025 

УДК 517(042.4)
ББК 22.161я73
 П26 
На учны й редакт ор  
Уткина Т.И., д-р пед. наук, проф.,  
проф. кафедры математики, информатики и физики  
Орского гуманитарно-технологического института (филиала) ОГУ 
Реценз енты : 
Голунова А.А., канд. пед. наук, доцент,  
доцент кафедры математики, информатики и физики  
Орского гуманитарно-технологического института (филиала) ОГУ; 
Швалева А.В., канд. пед. наук, доцент,  
зав. кафедрой математики и естествознания  
Новотроицкого филиала НИТУ «МИСИС» 
        
Пергунов В.В. 
 Математический анализ : расширенный курс лекций : курс лекций / 
В.В. Пергунов. — 2-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА, 2025. — 225 с. — 
ISBN 978-5-9765-5743-7. — Текст : электронный. 
Данное издание представляет собой курс лекций по дифференциальному 
и интегральному исчислению функций одной переменной, читаемых на первых 
курсах 
Орского 
гуманитарно-технологического 
института 
(филиала) 
Оренбургского государственного университета, для студентов очной и заочной 
форм обучения всех профилей и направлений подготовки бакалавров, в учебных 
планах которых предусмотрена дисциплина «Математический анализ» или 
«Высшая математика». 
Пособие содержит подробные доказательства основных теорем, достаточно большой набор решенных примеров и может служить основой для организации изучения Математического анализа. 
Учебное пособие будет полезно преподавателям вузов, школьным учителям и студентам. 
УДК 517(042.4) 
ББК 22.161я73
ISBN 978-5-9765-5743-7 
© Пергунов В.В., 2025 
© Орский гуманитарно-технологический 
институт (филиал) ОГУ, 2025 
© Издательство «ФЛИНТА», 2025
П26 

СОДЕРЖАНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………… 
5 
Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ …………………………… 
7 
1.1. Множество действительных чисел и его свойства ……… 
7 
1.2. Понятие функции. Основные классы числовых функций. 
Суперпозиция функций. Обратные функции ………………….. 10 
1.3. Определение 
и 
существование 
точных 
границ 
множества. Понятие предела числовой последовательности. Основные теоремы о пределах числовых последовательностей……  18 
1.4. Предел и непрерывность функции в точке. Свойства 
функций, непрерывных на отрезке ……………………………… 39 
Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ……………………… 
68 
2.1. Понятие производной. Геометрическая и механическая 
интерпретация производной ……………………………………. 
68 
2.2. Односторонние и бесконечные производные …………… 72 
2.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью 
функции …………………………………………………………... 75 
2.4. Дифференциал и дифференцируемость ………………….. 84 
2.5. Основные теоремы дифференциального исчисления …… 94 
2.6. Соприкосновение кривых. Многочлен Тейлора ………… 
97 
2.7. Исследование функций и построение графиков. Условие 
монотонности функции …………………………………………. 
110 
Раздел 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ 
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ……………………………………… 132 
3.1. Первообразная и неопределённый интеграл …………….. 132 
3.2. Определенный интеграл …………………………………... 153 
3.3. Несобственные интегралы ………………………………... 171 
3.4. Геометрические приложения определённого интеграла .. 
178 
3.5. Понятие объёма. Кубируемость тел ……………………… 188 

ВВЕДЕНИЕ 
Данное учебное пособие представляет собой курс лекций 
1 части математического анализа, включающей следующие разделы: 
введение в анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной в 
объеме 1 курса по направлениям подготовки 44.03.05 Педагогическое 
образование, профили: «Математика», «Физика» и 44.04.01 Педагогическое образование, профиль Математическое образование. Курс лекций не привязан к какому – либо учебному плану, подготовлен на основе многолетнего опыта чтения лекций автором по математическому 
анализу. 
Пособие не претендует на особую оригинальность и новизну, но 
и не копирует материал других учебников и пособий по математическому анализу. В данном пособии указано на расширенный курс лекций, имея в виду тот факт, что мы по возможности дали доказательства 
почти всем основным теоремам анализа, что не делается во многих 
аналогичных пособиях для непрофильных специальностей. По нашему 
глубокому убеждению, студенты, будущие учителя математики, 
должны привыкать к методам доказательств математических утверждений, особенно в математическом анализе, поскольку в школьном 
курсе таковых практически нет. Для нас было важным выдержать общий подход к изложению теории и особенно формы записи, как определений, так и доказательств. Поэтому мы широко использовали символику логики предикатов. Это позволило сократить объем доказательств теорем, сконцентрировать внимание на ключевых понятиях, 
используемых при доказательствах. Надеемся, что такой подход к изложению материала позволит лучше уяснить суть теории и запомнить 
основные положения математического анализа. 
Кроме этого в лекциях содержится достаточно большое количество примеров и контрпримеров, что также облегчает усвоение материала. 

Данное пособие можно с успехом использовать на любых специальностях, в учебном плане которых есть Математический анализ, 
Математика, или Высшая математика. Пособие будет полезно для учителей математики, преподавателей вузов и студентов. 
Учебное пособие подготовлено в соответствии с планом научнометодичекой работы кафедры Математики, информатики и физики 
Орского гуманитарно-технологического института (филиала) ОГУ. 
Автор выражает благодарность заведующему кафедрой Г.В. Зыковой, 
доценту А.А. Голуновой, профессору Т.И. Уткиной за ценные замечания и помощь в оформлении пособия.  

1.1. Множество действительных чисел и его свойства 
Определение 1.1. Множеством действительных чисел R называется объединение множества рациональных чисел Q и множества 
иррациональных чисел J. 
В курсе «Алгебры» доказывается, что всякое рациональное число 
можно представить в виде конечной или бесконечной, но периодической десятичной дроби, а иррациональное число представимо в виде 
бесконечной непериодической дроби. Таким образом, всякое действительное число можно изобразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. 
На множестве действительных чисел определены две бинарные 
алгебраические операции: сложение и умножение, относительно которых множество R является полем. 
Рассмотрим те свойства множества действительных чисел, которые не отражены в курсе Алгебры, но необходимы для построения теорий математического анализа. 
1. Свойство линейной упорядоченности
Определение 1.2. Множество M называется линейно упорядоченным, если на нём определено отношение «меньше», обладающее следующими свойствами: 
1) иррефлексивность – никакой элемент множества М не может
быть меньше самого себя: 
∀𝑥∈𝑀(𝑥< 𝑥); 
2) транзитивность:
∀𝑥, 𝑦, 𝑧∈𝑀((𝑥< 𝑦) ∧(𝑦< 𝑧) →(𝑥< 𝑧)); 
3) трихотомия – для любых двух элементов из М выполняется
одно и только одно из соотношений: 
∀𝑥, 𝑦∈𝑀|(𝑥= 𝑦) ∨(𝑥< 𝑦) ∨(𝑦< 𝑥). 
В частности, отсюда следует, что если 𝑥≤𝑦 и 𝑦≤𝑥, то x = y. 
Множество действительных чисел R линейно упорядочено. 
2. Свойство плотности
Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 

Между двумя различными действительными числами находится 
третье действительное число: 
∀𝑥, 𝑦∈𝑅((𝑥< 𝑦) →(∃𝑧∈𝑅(𝑥< 𝑧< 𝑦)). 
Более сильная формулировка свойства плотности: между двумя 
различными действительными числами находится некоторое рациональное число. 
3. Свойство непрерывности
Существует два подхода к определению непрерывности множества действительных чисел: по Кантору и Дедекинду. 
Аксиома Кантора: Всякая последовательность вложенных сегментов [𝑎1, 𝑏1] ⊃[𝑎2, 𝑏2] ⊃. . . ⊃[𝑎𝑛, 𝑏𝑛] ⊃. .. имеет хотя бы одну общую точку, принадлежащую всем сегментам этой последовательности. 
Назовём последовательность вложенных сегментов стягивающейся, если длина их стремится к нулю при 𝑛→∞. Из аксиомы следует теорема 1.1. 
Теорема 1.1 (Г. Кантор). Для всякой стягивающейся последовательности сегментов существует единственное число, принадлежащее всем сегментам. 
Другой подход связан с понятием сечения во множестве действительных чисел.  
Определение 1.3. Сечением множества М называют пару множеств (X, Y), если выполняются следующие три условия: 
1) множества X и Y не пусты;
2) множества X и Y образуют разбиение множества М на классы,
то есть 𝑋∪𝑌= 𝑀, 𝑋∩𝑌= ∅; 
3) если 𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌, то x<y.
Сечение обозначают X|Y, при этом X – нижний класс, а Y – верхний класс сечения. 
Примеры: 
1) 𝑀= 𝑅
2) 𝑀= 𝑅

𝑋= {𝑥: 𝑥< 2}                                      𝑋= {𝑥: 𝑥≤3} 
    𝑌= {𝑦: 𝑦≥2}                                      𝑌= {𝑦: 𝑦> 3} 
(X, Y) – сечение, X – нижний класс, Y – верхний класс сечения. 
Определение 1.4. Число 𝛼 назовем рубежом сечения X|Y, если 
выполняются два условия: 
1) всякое число меньшее 𝛼 попадает в нижний класс, то есть 
𝑥< 𝛼⇒𝑥∈𝑋; 
2) всякое число большее 𝛼 лежит в верхнем классе, то есть 
𝑦> 𝛼⇒𝑦∈𝑌. 
Само число 𝛼 может принадлежать как нижнему, так и верхнему 
классам. Если 𝛼∈𝑋, то во множестве X оно является наибольшим. Во 
множестве Y, если 𝛼∈𝑌, оно наименьшее. 
 
Принцип Дедекинда. Всякое число определяет сечение множества действительных чисел, и всякое сечение множества действительных чисел имеет рубеж, который является либо наибольшим в 
нижнем классе, либо наименьшим в верхнем классе.  
Если основным принимается принцип Кантора, то принцип Дедекинда доказывается как теорема и наоборот. 
Заметим, что множество рациональных чисел обладает всеми 
предыдущими свойствами, кроме свойства непрерывности. Например, 
множества 𝑋= {𝑥∈𝑄|𝑥< √2} и 𝑌= {𝑦∈𝑄|𝑦> √2} образуют сечение, но 𝛼= √2 не рациональное число. 
 
Виды множеств действительных чисел 
Пусть a и b два действительных числа, причем 𝑎< 𝑏. Общеприняты следующие обозначения и названия: 
[𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑎≤𝑥≤𝑏} – сегмент; 
(𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑎< 𝑥< 𝑏} – интервал; 
[𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑎≤𝑥< 𝑏} – полусегмент; 
(𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑎< 𝑥≤𝑏} – полуинтервал; 
[𝑎, +∞) = {𝑥: 𝑥≥𝑎} – бесконечный полусегмент; 

(−∞, 𝑎] = {𝑥: 𝑥≤𝑎} – бесконечный полуинтервал; 
(𝑎, +∞) = {𝑥: 𝑥> 𝑎}
(−∞, 𝑎) = {𝑥: 𝑥< 𝑎}
(−∞, +∞) = 𝑅
} – бесконечные интервалы. 
 
 
 
1.2. Понятие функции. Основные классы числовых функций.  
Суперпозиция функций. Обратные функции 
 
Определение 1.5. Пусть даны два множества А и B. Соответствие 
между множествами А и В, при котором каждому элементу 𝑥∈𝐴 поставлен в соответствие единственный элемент 𝑦∈𝐵, называют отображением или функцией. Если множества А и В – числовые, то функция также называется числовой.  
Обозначают: 𝑓: 𝐴→𝐵 или y=f(x), при этом множество А называют 
областью определения функции f, а множество всех образов f(A) элементов множества А во множестве В, называют областью значений функции. 
Функцию 𝑓: 𝐴→𝐵 называют сюрьективной, если каждый элемент из В имеет прообраз во множестве А.  
Функцию 𝑓: 𝐴→𝐵 называют инъективной, если различным элементам из множества А соответствуют различные элементы из множества В. 
Функция 𝑓: 𝐴→𝐵 называется биективной, если она сюрьективная и инъективная. 
Биективная функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами А и В. 
Определение 1.6. Пусть даны две функции 𝑓: 𝐴→𝐵 и 𝑔: 𝐵→𝐶. 
Функция ℎ: 𝐴→𝐶 называется композицией функций (или сложной 
функцией), если ∀𝑥∈𝐴(ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))). 
Определение 1.7. Функция 𝑔: 𝐵→𝐴 называется обратной для 
функции 𝑓: 𝐴→𝐵, если ∀𝑥∈𝐴∀𝑦∈𝐵(𝑥= 𝑔(𝑦) ⇔𝑦= 𝑓(𝑥)). 
Из определения непосредственно следует: 

Для того чтобы функция 𝑓: 𝐴→𝐵 имела обратную функцию 
𝑔: 𝐵→𝐴, необходимо и достаточно, чтобы функция f была биективной. 
Будем рассматривать функции, определённые на подмножествах 
множества R с областью значений также в R. Такие функции назовем 
числовыми функциями. 
 
Выделяют четыре способа задания функций: 
1. Аналитический 
Функция называется заданной аналитически, если она записана в 
виде формулы, в которой участвуют знаки алгебраических действий и 
символы элементарных функций. 
Если при этом область определения не указана, то под областью 
определения понимают множества значений независимой переменной, 
при которых формула имеет смысл. 
Пример. 
𝑦= √𝑥−4 +
1
𝑙𝑛( 6 −𝑥) 
2. Графический 
Множество точек плоскости (x, y) называют графиком функции 
y=f(x), если при подстановке чисел (x, y) в это равенство, оно становится тождеством. 
Отсюда следует, что кривая на плоскости является графиком некоторой функции, если любая вертикальная прямая пересекает её не 
более чем в одной точке. 
Если функция задана графически, то областью определения служит 
проекция кривой на ось OX, а областью значений – проекция на ось OY. 
Пример. 
 
Рис. 1.1 
A= [a, b], B = [c, d]