Исследование теории групп нарушенной симметрии в природных, биологических и социально-экономических системах

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Владимирский филиал 
Российской академии народного хозяйства 
и государственной службы при Президенте Российской Федерации 
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП НАРУШЕННОЙ 
СИММЕТРИИ В ПРИРОДНЫХ, БИОЛОГИЧЕСКИХ 
И СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 
Коллективная монография 
Исследования выполнены при финансовой поддержке 
гранта РФФИ № 18-07-00170 
Владимир • 2020 

УДК 311.530.1:336.012  
ББК 60.65  
        Исп88  
 
 
Рецензенты:  
Бурков В. Д. – кандидат физико-математических наук, заведующий 
кафедрой 
«Функциональный 
анализ 
и 
его 
приложения» 
ФГБОУ 
ВО 
«Владимирский государственный университет имени А. Г. и Н. Г. Столетовых»; 
Лускатова О. В. – доктор экономических наук, профессор кафедры 
финансов Владимирского филиала РАНХиГС. 
 
 
 
 
 
 
Исп88 
Исследование теории групп нарушенной симметрии в природных, 
биологических и социально-экономических системах: коллективная 
монография / В. Г. Рау, К. А. Горшков, С. В. Поляков, Т. Ф. Рау, А. Н. 
Кисляков, И. А. Тогунов, Н. Е. Тихонюк. – Владимир : Владимирский 
филиал РАНХиГС, 2020. – 261 с. 
 
ISBN 978-5-907140-68-4 
 
 
Подход авторов монографии можно определить как «новое научнометодическое направление в учебном процессе вузов». В теоретической части 
работы рассматривается математическая модель групп нарушенной симметрии, 
классические 
модели 
симметрии 
кластерных 
систем 
в 
нанотехнологии. 
Прикладная часть исследований связана с примерами моделирования кластеров, 
особенно 
в 
живых 
и 
социально-экономических 
системах, 
которые 
рассматриваются на тех же принципах симметрии и нарушенной симметрии, 
которые исторически первыми применялись при исследовании состояний 
природных 
молекулярных 
систем, 
методами 
молекулярной 
физики 
и 
кристаллографии в нанотехнологии.  
Монография предназначена для специалистов в области исследования 
симметрии различных систем, рассчитана на широкий круг бакалавров, 
магистрантов и аспирантов, обучающихся на различных направлениях очной и 
заочной 
форм 
обучения 
физических, 
биохимических 
и 
экономических 
специальностей. 
Печатается по решению ученого совета Владимирского филиала РАНХиГС. 
 
 
УДК 311.530.1:336.012 
ББК 60.65 
 
 
 
 
ISBN 978-5-907140-68-4 
© В. Г. Рау, К. А. Горшков, С. В. Поляков, Т. Ф. 
Рау, А. Н. Кисляков, И. А. Тогунов, Н. Е. 
Тихонюк, 2020 
© Владимирский филиал РАНХиГС, 2020 
 
 

Содержание 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
5 
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГРУПП СИММЕТРИИ 
И НАРУШЕННОЙ СИММЕТРИИ 
7 
1.1. Классическая симметрия 
7 
1.2. Нарушенная симметрия 
11 
1.3. Циклические процессы 
16 
1.4. Принципы сохранения и нарушения симметрии 
23 
1.5. Симметрия и ее нарушение в полугруппе 
 
36 
Глава 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП НАРУШЕННОЙ 
СИММЕТРИИ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 
48 
2.1. Классификация кластерных систем 
48 
2.2. Модели природных нанокластеров 
48 
2.3. Неорганические молекулярные кластеры 
54 
2.3.1. Галит 
54 
2.3.2. Теллурид свинца 
55 
2.3.3. Корунд 
57 
2.4. Методы анализа и моделирование малых природных кластеров 
(по классификации)  
58 
2.4.1. Масс-спектрометрия 
58 
2.4.2. Электронная микроскопия 
60 
2.5. Проблема контактов в наноструктурной системе и кластерные 
элементы кольца. Сборка наносистем 
64 
2.6. Кластеры органических соединений 
72 
2.7. Математическая модель эволюции для микробиологии 
74 
2.8. Некоторые проблемы теории эволюции на клеточном уровне и 
принципы симметрии 
 
81 
Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП НАРУШЕННОЙ 
СИММЕТРИИ 
В 
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ 
СИСТЕМАХ 
88 
3.1. Понятие экономического пространства 
88 
3.2. Некоторые принципы симметрии социальных систем 
111 
3.3. 
Экономические 
циклы 
как 
трансляционная 
симметрия 
социальных систем 
121 
3.4. Симметрия в маркетинговых системах 
128 
3.5. Симметрия социальных отношений в системе многоуровневого 
управления 
143 
3.6. Исследование категории ценности с использованием принципов 
симметрии 
 
149 
Глава 
4. 
ПРИКЛАДНЫЕ 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
МОДЕЛИ 
ИССЛЕДОВАНИЯ 
ИНФОРМАЦИОННОЙ 
АСИММЕТРИИ 
РЫНКОВ 
161 
4.1. Модель ценообразования однородного рынка с учетом 
асимметричности информации 
161 
4.2. Моделирование оптимальной цены предложения в контрактной 
системе государственных и муниципальных закупок 
172 

4.3. Метод виртуального увеличения выборки при прогнозировании 
редких продаж в условиях информационной асимметрии 
181 
4.4. Модель поведения участников розничного рынка топлива в 
условиях информационной асимметрии 
190 
4.5. Оценка эффективности рекламной кампании в социальных сетях 
с использованием методов имитационного моделирования 
202 
4.6. Интеллектуальный анализ потребительского спроса в условиях 
информационной асимметрии 
 
209 
Глава 5. «КЛЕЩЕВИДНАЯ» СИММЕТРИЯ (К-СИММЕТРИЯ) И 
ФЛУКТУИРУЮЩАЯ 
АСИММЕТРИЯ. 
ТАКСОНОМИЯ 
И 
МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ 
 
221 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
 
232 
ПРИЛОЖЕНИЕ 
 
237 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 
252 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Современное состояние научных исследований в общем 
представляет собой процесс взаимного проникновения концепций, 
принципов, моделей и методов одних наук в другие, расширяя 
возможности для понимания явлений, происходящих в мире природы 
и человека. Математический язык, применяемый для построения 
общих моделей, и компьютерное обеспечение делают в наши дни этот 
сложный процесс проникновения не только возможным, но и 
полезным, «ибо нет ничего практичнее, чем хорошая теория». Особая 
роль при этом отводится именно статистике – науке, возникшей с 
необходимостью, при осознании основного принципа «спонтанного (то 
есть случайного) нарушения симметрии», приводящего к началу 
любого процесса, как в природной, так и в социальной системе. Как 
точно выразился А. С. Пушкин, объяснив в одном небольшом 
известном стихотворении из четырех строк все этапы научной, 
творческой деятельности людей («О сколько нам открытий чудных...»), 
в котором последняя, четвертая строка содержит гениальное 
прозрение: «...И случай, Бог изобретатель». Это высказано короче, чем 
понимание современной фундаментальной науки о природе как о 
«квантовой теории неабелевых калибровочных полей со спонтанно 
нарушенной симметрией». 
При исследовании реальных систем, объектов и их структур, в 
том числе подробно представленных в этой монографии и 
изменяющихся в процессе роста и развития, все чаще приходится 
обращаться 
к 
математическим 
моделям, 
относящимся 
к 
алгебраическим структурам.  
Стандартным способом описания утверждений теории категорий 
являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма – это 
ориентированный граф, в вершинах которого находятся точки –
элементарные 
объекты, 
а 
стрелками 
являются 
морфизмы 
(преобразования), определяющие отношения объектов.  
В ходе исследования получены данные математического 
моделирования 
фундаментальных 
числовых 
закономерностей 
эволюции в социальных, физических и биологических системах. 
Проведен анализ устойчивости систем и блоков нарушения симметрии 
в различных природных, биологических моделях, проанализировано 
применение математических моделей групп нарушенной симметрии в 

прикладных экономических задачах, обобщены различные подходы и 
сделана разработка методологии единой концепции сохранения и 
нарушения симметрии в природных, биологических и социальноэкономических системах. 
В работе над монографией принимали участие следующие 
ученые: 
д.ф.-м.н. профессор Рау Валерий Георгиевич, к.т.н. Горшков 
Кирилл Александрович, к.т.н. доцент Рау Тамара Федоровна – глава 1 
«Математические основы групп симметрии и нарушенной симметрии»; 
д.ф.-м.н. профессор Рау Валерий Георгиевич, к.т.н. Горшков 
Кирилл Александрович, к.т.н. доцент Рау Тамара Федоровна, д.м.н. 
профессор Тогунов Игорь Алексеевич – глава 2 «Использование теории 
групп нарушенной симметрии в биологических системах»; 
д.ф.-м.н. профессор Рау Валерий Георгиевич, к.э.н. Тихонюк 
Наталья Евгеньевна, д.м.н. профессор Тогунов Игорь Алексеевич, к.т.н. 
Поляков Сергей Владимирович – глава 3 «Использование теории групп 
нарушенной симметрии в социально-экономических системах»; 
д.ф.-м.н. профессор Рау Валерий Георгиевич, к.т.н. Кисляков 
Алексей Николаевич, к.т.н. Поляков Сергей Владимирович – глава 4 
«Прикладные математические модели исследования информационной 
асимметрии рынков». 
д.м.н., профессор Тогунов Игорь Алексеевич – глава 5 
«"Клещевидная" 
симметрия 
(К-симметрия) 
и 
флуктуирующая 
асимметрия. Таксономия и методология исследования». 
 
 

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГРУПП СИММЕТРИИ 
И НАРУШЕННОЙ СИММЕТРИИ 
 
1.1. Классическая симметрия 
 
В наших исследованиях групп симметрии Grp и нарушенной 
симметрии GrpBS (ГНС (broken symmetry groups) (BSG)) роль диаграмм 
играют структуры ориентированных графов, визуализированные 
множеством «точек» - элементов реальной структуры, а морфизмы 
(преобразования) изображаются направленными стрелками. Метод 
представления систем абстрагированием с помощью теории категорий 
позволяет произвести не только численную процедуру их поиска, но и 
«визуализацию» в наглядном виде диаграмм и ориентированных 
графов. Построение таблиц групп симметрии и нарушенной симметрии 
при этом является необходимым элементом предварительной 
«оцифровки» информации. Добавим необходимость последующей 
визуализации абстракций в выбранном пространстве возможных 
состояний 
исследуемой 
системы, 
которое 
будем 
называть 
«пространством возможностей».  
Выбрав за основу исследований группу симметрии, получим 
более полную систему аксиом, чем это определено в других 
алгебраических структурах. Поэтому анализ и сравнение систем 
начнем с классической симметрии.  
Материал 
монографии 
основывается 
на 
тех 
основных 
представлениях о симметрии и группах симметрии, изложенных ранее 
авторами этой монографии, в частности [1, 2, 3].  
 
 
 
Рис. 1. Правильный треугольник 
 
Во многих классических учебниках по теории групп [4] (с точки 
зрения 
красоты 
и 
дидактической 
прозрачности 
изложения) 
определение группы начинается с геометрических примеров. В 

качестве 
такого 
примера 
может 
быть 
рассмотрена 
группа 
преобразований симметрии правильного треугольника (рисунок 1). 
Стоит напомнить, что симметричным преобразованием фигуры в 
геометрии называют преобразование плоскости, которое переводит 
фигуру саму в себя. Для равностороннего треугольника таким 
преобразованием может служить поворот в плоскости на 120 градусов, 
при этом саму процедуру преобразования можно записать с помощью 
двустрочной матрицы преобразования. 
Так как при первом повороте (рисунок 1) вершина (1) в 
треугольнике переходит в вершину (2), вершина (2) – в вершину (3), а 
(3) – в (1), то в форме двустрочной матрицы Р1 это преобразование 
можно представить следующим образом: 
 











1
3
2
3
2
1
   
    
1
3
2
3
2
1
1P
. 
 
Символом Pi обозначена операция симметрии, которая в 
математике называется подстановкой или перестановкой (чисел). 
Поворот на угол α2 = 240о представляется следующей матрицей: 







2
1
3
3
2
1
2
P
. 
Кроме одиночных преобразований симметрии можно выполнять 
и последовательные преобразования (сперва поворот на один угол, 
затем – на другой), что приводит к совместному действию 
(умножению) двух перестановок: P2P1 = E, где символ E будет пояснён 
ниже. 
В виде матриц преобразования это можно записать так: 
 
E




















3
2
1
3
2
1
1
3
2
3
2
1
2
1
3
3
2
1
. 
 
Получается, что последовательное выполнение симметричных 
преобразований позволяет ввести операцию умножения подстановок, 
соответствующих этим преобразованиям, которая в данном примере 
читается «справа налево»: 1 → 2 (из P1) «и» 2 → 1 (из P2) коротко дает 
общее преобразование 1 → 2 → 1, окончательно имеем: 1 → 1 (в E). 

Аналогично имеем: 2 → 3 (из P1), 3 → 2 (из P2) и совместно: 2 → 3 → 2, 
т.е. окончательно 2 → 2 (в E); 3 → 1, 1 → 3, т.е. 3 → 3 (в E). Можно в 
расчетах использовать и более привычную запись операции умножения 
«слева направо», которой мы будем придерживаться далее во всех 
расчетах. Преобразование Е называют единичной матрицей, или 
тождественным преобразованием, так как все точки фигуры при этом 
остаются на своих местах. По сути дела, такое преобразование 
соответствует повороту треугольника на 360 градусов (на 240ои 
120опоследовательно). Свойства этой матрицы, то есть выбор ее в 
качестве «единицы», легко проверить: EPi = Pi E = Pi. Операции, 
произведение которых приводит к тождественному преобразованию, 
называются «обратными» по отношению друг к другу. 
Применим полученные знания к более сложной фигуре, к 
правильному пятиугольнику с внутренней точкой «0» (рисунок 2). 
Совокупность всех преобразований пятиугольника (по рисунку 2) 
составит 
математическую 
группу. 
Множество 
бинарных 
произведений всех матриц перестановок представляет собой «таблицу 
умножения» преобразований в группе, обозначаемых g[N], и 
называется таблицей Кэли. Для правильного пятиугольника результат 
расчета таблицы Кэли для подгруппы поворотов 5-угольника (рисунок 
2) представлен в таблице 1. 
 
 
Рис. 2. Пятиугольник с центральной точкой 
 
Таблица 1 
Таблица Кэли подгруппы поворотов 5-угольника 
     g[0]=(0 1 2 3 4 5 );   g[0]   g[1]   g[2]   g[3]   g[4]     (0)(1)(2)(3)(4)(5) 
     g[1]=(0 2 3 4 5 1 );   g[1]   g[2]   g[3]   g[4]   g[0]     (0) (1 2 3 4 5) 
     g[2]=(0 3 4 5 1 2 );   g[2]   g[3]   g[4]   g[0]   g[1]     (0) (1 3 5 2 4) 
     g[3]=(0 4 5 1 2 3 );   g[3]   g[4]   g[0]   g[1]   g[2]     (0) (1 4 2 5 3) 
     g[4]=(0 5 1 2 3 4 );   g[4]   g[0]   g[1]   g[2]   g[3]     (0) (1 5 4 3 2) 

Расчет произведен по разработанной нами компьютерной 
программе MATRIX [4]. Краткая запись каждой операции (матрицы 
преобразования) в программе выглядит без верхней строки, то есть так, 
как это представлено на примере, выбранном из преобразований 
треугольника: 


2
1
2
3
[2]
312
3
1
2
g
P









. Таким образом, набор 
чисел (312) в преобразовании треугольника «кодирует» операцию Р2. 
Аналогично для пятиугольника имеем: Р2 = g[2] = (034512). 
В дальнейшем везде мы будем использовать форму записи 
таблицы умножения по образцу таблицы 1: в левой колонке находятся 
все преобразования в группе g[i], центральная часть представляет 
собой «таблицу умножения» операций. Добавленная сверх программы 
правая колонка чисел описывает каждое преобразование в виде 
последовательности чисел, переходящих друг в друга при циклическом 
преобразовании. Это, как мы увидим ниже, иногда помогает 
геометрической «визуализации» самого преобразования и анализу его 
структуры. Таблица Кэли содержит в каждой строке и в каждом 
столбце единичный элемент g[0]. Это означает, что в группе симметрии 
у каждого преобразования обязательно существует «обратный» 
элемент. Важно отметить, что, в общем случае, все возможные 
операции образуют перестановку (подстановку) в каждой строке и в 
каждом столбце таблицы Кэли. В этом случае говорят, что 
преобразования, создающие таблицу Кэли, описывают группу 
симметрии. 
Подводя итоги введения групп симметрии, запишем все 
формальные аксиомы, определяющие математическую группу. 
Определение. 
Множество 
А 
с 
определенной 
на 
нем 
алгебраической операцией (например, умножением) называется 
группой, если выполнены следующие условия:  
1) для любых элементов группы a, b (принадлежащих множеству 
A) обязательно существует (ab) = c, такое, что c Є А (в А существует 
произведение);  
2) для любых трех элементов a, b, c, Є А (принадлежащих 
множеству A), выполняется свойство ассоциативности: a(bc) = (ab)c 
(ассоциативность); 
3) в множестве А существует такой элемент е, что для любого 
элемента а из этого множества выполняется равенство: ae = ea = a 
(существует единичный элемент);