Теория механизмов и машин

ТЕОРИЯ 
МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
ПРАКТИКУМ
О.В. МКРТЫЧЕВ
Рекомендовано Федеральным учебно-методическим объединением 
в системе высшего образования по укрупненным группам 
специальностей и направлений подготовки 
15.00.00 «Машиностроение» в качестве учебного пособия 
для подготовки бакалавров по направлению 
15.03.02 «Технологические машины и оборудование»
Москва
ИНФРА-М
2025

Р е ц е н з е н т ы:
В.Г. Шеманин, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой общенаучных дисциплин (Новороссийский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Кубанский государственный технологический университет», г. Новороссийск);
В.А. Туркин, д-р техн. наук, профессор, начальник кафедры техносферной безопасности на транспорте (ФГБОУ ВО «Государственный морской 
университет имени адм. Ф.Ф. Ушакова», г. Новороссийск)
УДК  531.8(075.8)
ББК  34.41я73
М11
Мкртычев О.В.
Теория механизмов и машин : практикум / О.В. Мкртычев. — Москва : ИНФРА-М, 2025. — 327 с. — DOI 10.12737/textbook_5a310f98ebafa7.40493232.
ISBN 978-5-16-021153-4 (print)
ISBN 978-5-16-113815-1 (online)
Практикум содержит основные понятия и методы решения задач 
теории механизмов и машин, примеры выполнения заданий, а также 
задачи для самостоятельного решения студентами по всем основным 
разделам теории механизмов и машин.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Практикум предназначен для студентов вузов всех профилей направлений подготовки бакалавров по 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» и 23.03.02 «Наземные транспортно-технологические комплексы» всех форм обучения, а также аспирантов и преподавателей данной дисциплины.
М11
© Мкртычев О.В., 2018
© Вузовский учебник, 2018
ISBN 978-5-16-021153-4 (print)
ISBN 978-5-16-102314-3 (online)
УДК  531.8(075.8)
ББК  34.41я73

Список обозначений
АТТ — абсолютно твердое тело
ДВС — двигатель внутреннего сгорания
ДУ — дифференциальное уравнение
ЛДУ — линейное дифференциальное уравнение
н.у. — начальные условия
СК — система координат
СО — система отсчета
СтСв — степень свободы
ТММ — теория механизмов и машин
ЦТ/ЦМ — центр тяжести/центр масс

Глава 1
СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ 
И КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ
§ 1. СТРУКТУРА МЕХАНИЗМОВ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Механизмом называется искусственно созданная система 
тел, предназначенная для преобразования движения одного или 
нескольких тел в требуемые движения других тел. Одно или несколько жестко соединенных твердых тел, входящих в состав механизма, называется звеном. Звено, принимаемое за неподвижное, 
называется стойкой. Звенья механизма, положения которых назначаются непосредственно значением выбранных независимых параметров — обобщенных координат, называются ведущими, а звенья 
механизма, положения и перемещения которых однозначно зависят от положений и перемещений ведущих звеньев, называются 
ведомыми.
2. Кинематической парой называется соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение. Поверхности, линии, точки звена, по которым оно может соприкасаться с другим звеном, образуя кинематическую пару, называются 
элементами кинематической пары.
3. Кинематической цепью называется связанная система звеньев, 
образующих между собою кинематические пары. Кинематические 
цепи подразделяются на простые и сложные, замкнутые и незамкнутые. Простой кинематической цепью называется цепь, у которой каждое звено входит не более чем в две кинематические 
пары. Сложной кинематической цепью называется цепь, у которой 
имеется хотя бы одно звено, входящее более чем в две кинематические пары. Замкнутой кинематической цепью называется цепь, 
каждое звено которой входит по крайней мере в две кинематические пары. Незамкнутой кинематической цепью называется цепь, 
у которой есть звенья, входящие только в одну кинематическую 
пару.
4. Подавляющее большинство механизмов, применяющихся 
в инженерной практике, образованы замкнутыми кинематическими цепями. Поэтому механизм (состоящий только из твердых 
тел) может быть определен также следующим образом. Механизмом называется кинематическая цепь, в которой при заданном 
движении одного или нескольких звеньев (ведущих) относительно 

любого из них (стойки) все остальные звенья (ведомые) совершают однозначно определяемые движения. Число степеней свободы механизма относительно стойки называют степенью подвижности и обычно обозначают буквой w. Большинство механизмов, 
используемых в технике, имеют степень подвижности, равную 
единице, но иногда встречаются механизмы с двумя и более степенями подвижности; такие механизмы называются дифференциальными.
5. В сборнике принята классификация кинематических пар 
по Артоболевскому. Все кинематические пары разделяются на пять 
классов. Номер класса кинематической пары определяется числом 
условий связи, которые наложены на движение одного звена пары 
относительно другого. Отсюда следует, что пара I класса может 
быть названа пятиподвижной, пара II класса — четырехподвижной 
и т.д.
Для решения вопроса, к какому классу относится та или иная 
кинематическая пара, следует поступать так. Одно из звеньев, входящих в кинематическую пару, представить неподвижным. Связать 
с ним систему координат Охуz и, ориентируясь по ней, проследить, 
какие движения другого звена пары невозможны из шести движений, которые оно имело бы возможность совершать, не входя 
в пару. Число этих невозможных движений (как равное числу 
связей в паре) представит собою номер класса пары.
Рис. 1.1. Сферическая кинематическая пара III класса (трехподвижная)
На рис. 1.1 изображена низшая (сферическая) кинематическая 
пара. Элементом кинематической пары на первом звене является 
сферическая поверхность радиуса R, а на звене 2 — сферическая 
поверхность того же радиуса R, охватывающая сферическую поверхность на звене 1. Проведя через центр O сферы прямоугольную 
систему координат Оxyz, связанную со звеном 1, замечаем, что 
звено 2 не может перемещаться поступательно вдоль осей Ох, Оу 
и Оz, но может свободно вращаться вокруг этих же осей. Следова

тельно, эту кинематическую пару надо отнести к III классу (невозможны три из шести движений).
Рассмотрим еще один пример. Пусть (см. рис. 1.1) на движение 
звеньев, входящих в сферическую пару, наложено условие, что 
они совершают плоскопараллельное движение относительно плоскости Оyz. В данном случае, помимо ранее наложенных связей, появились еще две общие связи — невозможность вращения вокруг 
осей Оу и Oz. Эту кинематическую пару надо отнести к V классу.
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ
1. Все механизмы можно разделить на плоские и пространственные. У плоского механизма точки его звеньев описывают 
траектории, лежащие в параллельных плоскостях. У пространственного механизма точки его звеньев описывают неплоские траектории или траектории, лежащие в пересекающихся плоскостях. 
На рис. 1.2 изображен плоский шарнирный четырехзвенный механизм, а на рис. 1.3 — плоский механизм двухступенчатого редуктора. На рис. 1.4 показан пространственный механизм. На рис. 1.5 
изображена пространственная зубчатая передача, образованная коническими колесами.
Рис. 1.2. Плоский шарнирный четырехзвенный механизм: 
а) полуконструктивная схема; б) кинематическая схема
Рис. 1.3. Двухступенчатый редуктор с цилиндрическими зубчатыми колесами

Рис. 1.4. Пространственный механизм зажима: 
а) полуконструктивная схема; б) кинематическая схема
Рис. 1.5. Зубчатая передача с коническими колесами: 
а) полуконструктивная схема; б) кинематическая схема
2. Механизмы различаются еще по семействам, которых существует пять — от нулевого до четвертого. Номер семейства равен 
числу общих условий связи, которые наложены на все звенья механизма. Поэтому, например, плоские механизмы следует отнести 
к третьему семейству.
3. Число степеней подвижности замкнутой кинематической 
цепи с одним неподвижным звеном можно найти, воспользовавшись структурными формулами, которые для механизмов различных 
семейств имеют следующий вид:
 
• для механизмов нулевого семейства (формула Сомова—Малышева):
 
w = 6n – 5р5 – 4р4 – 3p3 – 2р2 – p1; 
(1.1)
 
• для механизмов первого семейства:
 
w = 5n – 4р5 – 3р4 – 2p3 – р2; 
 (1.2)
 
• для механизмов второго семейства:
 
w = 4n – 3р5 – 2р4 – p3; 
(1.3)
 
• для механизмов третьего семейства — плоских и сферических 
(формула Чебышева):
 
w = 3n – 2р5 – р4; 
(1.4)

• для механизмов четвертого семейства (формула Добровольского):
 
w = 2n – р5. 
(1.5)
В этих формулах w — степень подвижности механизма; п — число 
подвижных звеньев; р5, р4, р3, р2, р1 — число кинематических пар V, IV, 
III, II и I классов соответственно.
Прежде чем применять структурные формулы, следует установить, сколько общих условий связи наложено на движение 
звеньев исследуемого механизма. Число этих связей будет соответствовать номеру семейства. После установления номера семейства следует выяснить, нет ли в данном механизме звеньев, 
которые накладывают пассивные связи или вносят лишние степени свободы, не влияющие на кинематику основных звеньев 
механизма.
На рис. 1.6 и 1.7 показаны два механизма, которые надо отнести 
к плоским, так как на движения их звеньев наложены по три общих 
условия связи: звенья не могут перемещаться поступательно вдоль 
оси Ох и вращаться вокруг осей Оу и Оz. Следовательно, оба эти механизма принадлежат к третьему семейству. В механизме на рис. 1.6 
длины звеньев (расстояния между осями шарниров) подобраны 
так, что изменяемая фигура АВСD всегда будет параллелограммом 
(lAB = lCD, lВС = lCD). Вследствие того, что lAF = lED, lEF = lAD, звено 5 
не стесняет движения остальных звеньев. Поэтому оно должно 
быть отнесено к пассивной связи и не учитывается при подсчете 
числа подвижных звеньев п. При отброшенном звене 5 степень 
подвижности механизма по формуле (1.4) равна:
 
w = 3n – 2р5 = 3 · 3 – 2 · 4 = 1.
Это означает, что для придания определенности движения 
звеньям механизма достаточно задать движение одному звену.
Если бы не была отброшена пассивная связь (звено 5 и кинематические пары пятого класса F и E), то при подсчете степени 
подвижности был бы получен неверный результат, так как в этом 
случае степень подвижности w была бы равна
 
w = 3n – 2р5 = 3 · 4 – 2 · 6 = 0,
т.е. вместо механизма должна бы быть жесткая неизменяемая 
система, являющаяся фермой.
На рис. 1.7 представлен плоский кулачковый механизм, у которого на конце толкателя 3 имеется круглый ролик 2, поворачивающийся вокруг своей оси. Если ролик жестко связать с толкателем, 

то от этого закон движения толкателя, очевидно, не изменится. 
Круглый ролик, свободно поворачивающийся вокруг своей оси, 
вносит в механизм лишнюю степень свободы, и при подсчете степени подвижности механизма это вращательное движение приниматься во внимание не должно. Считая, что ролик жестко связан 
с толкателем, подсчитываем степень подвижности механизма 
по формуле (1.4):
 
w = 3n – 2р5 – р4 = 3 · 2 – 2 · 2 — 1 = 1.
Рис. 1.6. Плоский шарнирный 
параллелограмм
Рис. 1.7. Плоский кулачковый 
механизм
Формальный же подсчет привел бы нас к такому результату:
 
w = 3n – 2р5 = 3 · 3 – 2 · 3 = 2.
§ 3. СОСТАВЛЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ 
СХЕМ МЕХАНИЗМОВ
1. Кинематическая схема механизма дает полное представление о структуре механизма и определяет его кинематические 
свойства. Она является графическим изображением механизма 
посредством условных обозначений звеньев и кинематических 
пар с указанием размеров, которые необходимы для кинематического анализа механизма. На кинематических схемах механизмов звенья, как правило, изображаются отрезками прямых 
и нумеруются арабскими цифрами. Кинематические пары в пространственных механизмах обозначаются большими буквами латинского алфавита и схематически изображаются так, как, это 
сделано на рис. 1.8. Схематическое изображение кинематических 
пар плоских механизмов показано на рис. 1.9. Элементы высшей 
пары очерчиваются кривыми, которыми они характеризуются 
в натуре, при этом стойку (неподвижное звено) принято выделять 
штриховкой (рис. 1.10).

Рис. 1.8. Схематическое изображение 
кинематических пар 
в пространственных механизмах: 
а) вращательная V класса (низшая); б) поступательная V класса (низшая); в) винтовая 
V класса (низшая); г) цилиндрическая IV класса (низшая); д) сферическая III класса 
(низшая)
Рис. 1.9. Схематическое 
изображение кинематических пар 
в плоских механизмах: 
а) вращательная (шарнир) V класса 
(низшая); б) поступательная V класса 
(низшая); в) IV класса (высшая)
Рис. 1.10. Схематическое 
изображение неподвижных элементов кинематических пар: 
а) и б) — вращательная кинематическая 
пара; в) поступательная пара; г) высшая 
пара
2. Для построения кинематической схемы механизма рекомендуется следующая последовательность действий.
1. Установить основное кинематическое назначение механизма. 
Например, механизм на рис. 1.7 предназначен для преобразования