Групповые свойства разностных уравнений

Дородницын В.А.







Групповые свойства разностных уравнений









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 519.6
ББК 22.161.6
      Д69

            Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 01-01-14091






   Дородпицып В. А. Групповые свойства разностных уравнений. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 240 с. — ISBN 5-9221-0171-4.

   В книге излагаются основы нового направления в групповом анализе, связанного с приложением групп Ли к копечпо-разпостпым уравнениям, сеткам, разностным функционалам.
   Показывается, что наличие непрерывной симметрии у разностных моделей приводит так же, как и в классическом случае инвариантности дифференциальных уравнений, к понижению порядка и интегрируемости обыкновенных разностных уравнений, к наличию инвариантных (точных) решений у уравнений в частных разностных производных, к существованию разностных законов сохранения у ипвариаптпых вариационных задач.
   Рассмотрены многочисленные примеры построения разностных моделей, в которых полностью сохранена непрерывная симметрия исходных дифференциальных уравнений.
   Для специалистов в области математической физики и вычислительной математики, интересующихся вопросами качественного анализа дискретных уравнений, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.
   Табл. 4. Ил. 26. Библиогр. 102 пазв.




















ISBN 5-9221-0171-4

                                     © ФИЗМАТ ЛИТ, 2001
                                     © В.А. Дородпицып, 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие................................................. 6

Глава I. Разностная алгебра и алгебра бесконечно малых преобразований конечно-разностных переменных............ 11
   § 1. Предварительные рассуждения........................ 12
   § 2. Формальные степенные ряды и формальные группы ..... 19
   §3.  Группа Тейлора, введение разностных производных. Разностное правило Лейбница.................................... 24
   § 4. Инвариантные разностные сетки ..................... 34
      4.1. Инвариантные равномерные сетки, критерий инвариантности ............................................... 34
      4.2. Сохранение ортогональности сетки................ 38
      4.3. Инвариантные неравномерные сетки, критерий инвариантности ............................................... 42
      4.4. Инвариантные сетки, зависящие от решения........ 45
      4.5. “Выпрямление” инвариантной неравномерной разностной сетки................................................ 47
      4.6. Инвариантные ортогональные неравномерные сетки на плоскости............................................ 49
      4.7. Сетки, сохраняющие плоскость временного слоя.... 49
   § 5. Преобразования, сохраняющие смысл конечно-разностных производных. Формулы продолжения........................... 51
   § 6. Группа Ньютона и формулы Лагранжа.................. 59
   § 7. Коммутационные свойства и факторизация операторов формальной группы на равномерных разностных сетках......... 65
   § 8. Разностное интегрирование. Продолжение сеточного пространства на нелокальные переменные.......................... 73
   § 9. Замена переменных в сеточном пространстве.......... 77

Глава II. Группы преобразований, допускаемые конечно-разностными уравнениями. Инвариантные разностные схемы 81
   § 1. Критерий инвариантности конечно-разностных уравнений на разностной сетке........................................ 81
   § 2. Групповая класификация обыкновенных разностных уравнений

Оглавление

      второго порядка........................................ 93
      2.1. Разностные модели, инвариантные относительно одномерных и двумерных групп................................. 96
      2.2. Разностные уравнения, инвариантные относительно трехмерных групп преобразований.......................... 100
      2.3. Разностные уравнения, инвариантные относительно четырехмерных групп...................................... 109
      2.4. Разностные уравнения, инвариантные относительно пятимерных групп......................................... 112
      2.5. Шестимерная группа и инвариантная разностная модель.. 113
      2.6. Восьмимерная группа Ли преобразований............ 113
   § 3. Сохранение группы при разностном моделировании. Метод конечно-разностных инвариантов............................. 114
   § 4. Конечно-разностные модели, сохраняющие симметрию исходных непрерывных моделей.................................. 119
      4.1. Инвариантная разностная модель уравнения ихх = и~³ ... 119 4.2. Инвариантная разностная модель уравнения sin-Гордона .. 122
      4.3. Инвариантная разностная модель    уравнения   ut =
           =       + и'³.................................... 125
      4.4. Инвариантная разностная модель    уравнения   ut =
           = (u⁻⁴'/³iiₐ:)ₐ:. Уравнение нелинейной теплопроводности ... 129
      4.5. Инвариантная разностная модель уравнения ut = гг.жж-+-+<5ulnu.............................................. 131
      4.6. Инвариантная разностная модель уравнения теплопереноса с релаксацией теплового потока (“ гиперболическая теплопроводность ”) ...................................... 138
      4.7. Инвариантная разностная модель уравнения Бюргерса .... 140
      4.8. Инвариантная разностная модель уравнения линейной теплопроводности..................................... 149
      4.9. Инвариантная разностная модель уравнения Корте-вега-де Вриза........................................ 155
      4.10. Инвариантная разностная модель нелинейного уравнения Шрёдингера ....................................... 163
   § 5. Дискретное представление дифференциальных уравнений (точные разностные схемы).................................... 165
Глава III. Инвариантные вариационные задачи и консервативность разностных уравнений............................ 177

   § 1. Операторы Эйлера в сеточном пространстве.............. 178
   § 2. Критерий инвариантности разностных функционалов....... 182
   § 3. Условия инвариантности разностных уравнений Эйлера ... 186
   § 4. Квазиэкстремали сеточного функционала и их свойства .. 189
   § 5. Квазиинвариантность сеточного функционала и инвариантность разностных уравнений Эйлера......................... 199
   § 6. Законы сохранения для конечно-разностных уравнений.... 202

Оглавление                            5

   § 7. Консервативность квазиэкстремалей инвариантного сеточного функционала (первый разностный аналог теоремы Нётер)....... 204
   §8. Второй разностный аналог теоремы Нётер................. 211
   § 9. Лагранжев формализм и интегрируемость инвариантных разностных уравнений второго порядка......................... 214
   § 10. Пример построения консервативной разностной модели: уравнение Шрёдингера.......................................... 223
Список литературы............................................. 230

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Эта работа посвящена изучению непрерывной симметрии конечноразностных уравнений, разностных сеток и разностных функционалов. Интерес к непрерывным симметриям дискретных уравнений возникает по крайней мере по двум причинам. Во-первых, дискретные уравнения возникают в качестве первичных математических моделей в физике — всевозможные “цепочки”, “решетки”, одномерные и двумерные отображения; к дискретным моделям относятся, безусловно, и клеточные автоматы, и нейронные сети. Их интегрируемость, наличие точных решений, законов сохранения, безусловно, связаны с наличием у них непрерывной симметрии. В связи с этим возникает вопрос о нахождении и использовании группы преобразований, допускаемой данным дискретным уравнением.
   Во-вторых, моделирование заданной системы дифференциальных уравнений с помощью разностных уравнений и сеток также может быть основано на симметрии. Известно, что одна и та же система дифференциальных уравнений может быть аппроксимирована с помощью неограниченного количества разностных схем. Поэтому при конечно-разностном моделировании всегда стоит вопрос об отборе схем, предпочтительных с какой-либо стороны. В качестве критериев отбора часто выступают фундаментальные физические принципы, присутствующие в исходной модели — такие, как выполнение законов сохранения, вариационные принципы и т.д. В связи с этим большое значение приобретают качественные соображения при построении численных алгоритмов, позволяющие вносить “физическое содержание” изучаемого объекта в численный метод исследования его математической модели. Такой взгляд привел к созданию методов построения консервативных и полностью консервативных разностных схем (см. [40,42,44]), к интегро-интерполяционному подходу, к вариационным методам построения схем и другим методам (см. [8,9,14,30,39,40,42,47]).
   Инвариантность дифференциальных уравнений относительно непрерывной группы преобразований является, безусловно, фундаментальным свойством этих моделей и отражает однородность и изотропность пространства-времени, справедливость принципа Галилея и дру-

Предисловие

7

гих свойств симметрии физических моделей, интуитивно (или на основании эксперимента) закладываемых их создателями. Поэтому отражение свойства симметрии в конечно-разностной модели, адекватно передающее симметрию исходной дифференциальной модели, представляется важной задачей теории разностных схем и может служить тем критерием отбора, о котором говорилось выше.
   Впервые теория непрерывных групп преобразований была сформулирована С. Ли при развитии им общих методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие группового анализа дифференциальных уравнений и систематическое изучение структуры множества их решений — фактически второе рождение группового анализа — связано с работами Л.В. Овсянникова и его научной школы (см. [33-35]). После работ Л.В. Овсянникова, Г. Биркгофа [56], их учеников и последователей [27,38,52,57,58,101] приложение идей С. Ли к описанию симметрии дифференциальных уравнений оформилось в самостоятельное научное направление. В настоящее время групповой анализ представляет собой общепризнанный метод описания непрерывных симметрий дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики.
   Привлекательность теоретико-группового подхода к созданию и исследованию различных математических моделей (в том числе и разностных схем) заключается в том, что групповой анализ обладает мощными инфинитезимальными критериями инвариантности многообразий. Это проявляется в том, что задача нахождения непрерывной группы преобразований сводится к решению линейной системы уравнений, вне зависимости от линейности или нелинейности исходной модели. В случае, когда моделируется физический процесс при известной симметрии, задача сводится к отысканию набора дифференциальных (или разностных — в нашем случае) инвариантов, которая также линейна.
   Знание группы преобразований, допускаемой данной математической моделью, дает значительную информацию о множестве ее решений. При этом структура допускаемой группы коррелирована с алгебраической структурой множества всех решений данной системы. Чем шире допускаемая группа, тем больше возможностей для ее применения. Поэтому представляется важным сохранить всю симметрию исходной непрерывной модели в ее конечно-разностном аналоге.
   В настоящей работе внимание уделено в основном проблеме построения разностных уравнений и сеток, при котором разностная модель сохраняет симметрию исходной непрерывной модели. Процедура введения конечно-разностных переменных носит довольно формальный характер. Однако интуитивно можно опираться на геометри-

Предисловие

ческое представление, что “разностное” пространство погружено в “непрерывное”, т. е. непрерывные преобразования затрагивают все эвклидово пространство соответствующей размерности, однако мы при этом интересуемся лишь счетным набором его точек. Это приводит к тому, что в математическом аппарате используются два типа переменных— непрерывные и дискретные. Первые используются для описания касательных полей непрерывных групп преобразований, вторые служат для формулировки разностных форм и уравнений. В результате появляется довольно необычный объект — инфинитезимальный оператор группы, действие которого представляет собой непрерывное дифференцирование по дискретным переменным.
   Конечно-разностные операторы, в отличие от дифференциальных, задаются на конечном наборе точек (на разностном шаблоне) из счетного числа всех точек разностной сетки, на которых интересуются решением задачи. Такая нелокальность операторов (с физической точки зрения — присутствие в задаче характерных размерных масштабов) приводит к наличию специфических свойств разностных операторов, отсутствующих в локальной дифференциальной модели. Это проявляется, в частности, в наличие “правого” и “левого” дифференцирования и соответствующих сдвигов, в существовании равномерных и неравномерных сеток, в специфике разностного правила Лейбница. Эта специфика приводит к возникновению своеобразного исчисления бесконечно-малых преобразований конечно-разностных переменных, которому посвящена гл. I.
   В гл. II аппарат групп точечных преобразований применяется к исследованию инвариантных свойств разностных уравнений. Проведена групповая классификация обыкновенных разностных уравнений второго порядка и разностных сеток. В результате получен исчерпывающий список инвариантных разностных моделей, который оказался существенно шире соответствующего списка инвариантных дифференциальных уравнений второго порядка, полученного С. Ли. В частности, получены инвариантные разностные уравнения, не имеющие континуального предела.
   Рассмотрены многочисленные примеры построения конечно-разностных моделей (т.е. разностных уравнений и сеток), полностью сохраняющих непрерывную симметрию исходных дифференциальных моделей. Заметим, что большинство построенных инвариантных разностных схем является необычными схемами, далекими от традиционных. В этой же части строятся примеры точных схем. Множество решений точных схем, совпадающее в узлах сетки с соответствующими решениями дифференциального уравнения, допускает, очевидно, группу симметрий дифференциального уравнения. Поэтому точная схема

Предисловие

9

(и сетка) должна быть инвариантной и ее можно строить из разностных инвариантов.
   Известно, что в большинстве случаев законы сохранения являются основой для построения математических моделей. Связь законов сохранения с симметрией соответствующей вариационной задачи получила вполне законченное конструктивное оформление в виде теоремы Нётер [32]. Эта теорема устанавливает связь между инвариантностью вариационного функционала и консервативностью соответствующих дифференциальных уравнений Эйлера, т. е. выполнением законов сохранения на их решениях.
   В гл. III рассмотрены инвариантные вариационные задачи для разностных функционалов и строится разностный аналог конструкции Э. Нётер. Разностные вариационные задачи имеют свою специфику и, вообще говоря, существенно отличаются от непрерывного варианта. Тем не менее и в разностном случае предлагаются вполне конструктивные методы, позволяющие строить инвариантные схемы и сетки, обладающие разностными аналогами законов сохранения. Показывается, что инвариантность сеточного (конечно-разностного) функционала не ведет автоматически к инвариантности соответствующих уравнений Эйлера. Получено новое разностное уравнение (не совпадающее, вообще говоря, с разностным уравнением Эйлера), на решениях которого достигается стационарность функционала при преобразованиях группы. Это уравнение, названное квазиэкстремалъным, зависит от координат оператора группы и в случае инвариантности функционала обладает соответствующим законом сохранения. Для пересечения квазиэкстремалей инвариантного функционала удается сформулировать теорему, вполне аналогичную теореме Э. Нётер. Кроме того, для инвариантных разностных уравнений возможна и другая конструкция нётеровского типа. Для этого предлагается отказаться от строгой инвариантности сеточного функционала и заменить ее на некоторые новые условия квазиинвариантности. Получены условия квазиинвариантности сеточного функционала, приводящее к инвариантности уравнений Эйлера. Доказывается, что выполнение этих условий на экстремалях является необходимым и достаточным условием консервативности разностных уравнений Эйлера. Заметим, что обе конструкции в континуальном пределе переходят в классическую теорему Нётер.
   Надо отметить, что в этой работе все вопросы рассматриваются локально, как и в классическом групповом анализе: вопросы инвариантности разностных уравнений и разностных сеток изучаются в окрестности некоторой произвольной точки. Отличие от случая дифференциальных уравнений заключается в том, что “точкой” в разностном случае является разностный шаблон, имеющий вполне определен-

Предисловие

ную геометрическую структуру. Наличие геометрической структуры у разностного шаблона приводит к ислючителъной роли преобразований независимых переменных. Отличительной особенностью нашего подхода к групповым свойствам разностных уравнений является включение преобразований независимых переменных в класс допустимых преобразований; это позволяет в конечном итоге строить разностные модели, полностью сохраняющие симметрию исходных дифференциальных уравнений.
   Заметим также, что здесь мы не будем обсуждать вопросов вычислительной реализации полученных инвариантных разностных моделей, поэтому работа не содержит конкретных численных расчетов.
   При изложении материала предполагается, что основные сведения из классического группового анализа известны [33-35], так же, как и сведения из теории разностных схем [40]. Использовались обозначения, характерные как для группового анализа, так и принятые в литературе по численным методам.
   Автор глубоко благодарен Л.В. Овсянникову и А.А. Самарскому, многолетнее общение с которыми сформировало его взгляды и во многом определило содержание излагаемых здесь результатов. Автор искренне признателен С.П. Курдюмову за всемерную поддержку в работе.
   Автор благодарен М.И. Бакировой, П. Винтерницу, Р.В. Козлову, соавторам работ, нашедших отражение в книге.
   В основе настоящей книги лежат работы, выполненные при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, финансировавшего также настоящее издание (издательский проект №01-01-14091).