Рабочая тетрадь по дисциплине: «Теория вероятностей и математическая статистика». Часть 1. Теория вероятностей

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение 
высшего образования 
«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»  
(Финансовый университет) 
 Уфимский филиал Финуниверситета 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М.Ю. ФЕДОТОВА 
С.А. ФАРХИЕВА 
Г.Р. ГУЗАИРОВА 
 
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ДИСЦИПЛИНЕ: 
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» 
 
ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
ИНФРА-М 
2025 
 

УДК 519.2(075.8) 
ББК 22.17я73 
Ф34 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
Растегаева Ф.С., доктор экономических наук, доцент, заведующий 
кафедрой бухгалтерского учета, аудита, статистики Уфимского филиала 
Финансового университета; 
Бикмухаметов И.Х., кандидат физико-математических наук, доцент, 
доцент кафедры высшей математики Академии гражданской защиты МЧС 
России 
 
ISBN 978-5-16-113738-3 (online) 
 
Федотова М.Ю. 
Рабочая тетрадь по дисциплине: «Теория вероятностей и математическая 
статистика» : Часть 1. Теория вероятностей : учебное пособие / 
М.Ю. Федотова, С.А. Фархиева, Г.Р. Гузаирова. — Москва : ИНФРА-М, 
2025. — 111 с. 
 
Предлагаемые в учебном пособии по теории вероятностей и 
математической статистике задания помогут студентам сформировать 
навыки вероятностного мышления, обработки результатов наблюдения и 
умение правильно, в терминах теории вероятностей, формулировать и 
осмысливать полученные результаты. 
Предназначено для организации семинарских занятий студентов, 
обучающихся 
по 
направлению 
38.03.05 
«Бизнес-информатика». 
Преподавателю поможет лучше организовать семинарские занятия, сделать 
их более интенсивными и интерактивными. 
 
УДК 519.2(075.8) 
ББК 22.17я73 
 
 
 
 
 
 
© Федотова М.Ю., Фархиева С.А., 
Гузаирова Г.Р., 2025 
© Уфимский филиал Финансового 
университета при Правительстве 
ISBN 978-5-16-113738-3 (online)                              Российской Федерации, 2025 
 
 
ФЗ  
№ 436-ФЗ 
Издание не подлежит 
маркировке в соответствии 
с п. 1 ч. 2 ст. 1 
Ф34 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ  
 
 
 
 
 
Предисловие 
4 
1. 
ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ 
5 
1.1. Определение вероятности 
5 
1.2. Основные теоремы теории вероятностей 
14 
2. 
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 
25 
2.1. Дискретные случайные величины 
25 
2.2. Абсолютно непрерывные случайные величины и их 
важнейшие числовые характеристики 
51 
2.3. Абсолютно непрерывные случайные величины, часто 
встречающиеся в практике 
60 
2.4. Многомерные случайные величины 
74 
3.  
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
85 
3.1. Схема независимых испытаний 
85 
3.2. Закон больших чисел 
99 
 
Библиографический список 
108 
 
Приложения 
109 
 
Приложение 1. Таблица значений функции 
 𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋𝑒−𝑥2
2  
109 
 
Приложение 2. Таблица значений функции  
 Φ(𝑥) =
2
√2𝜋∫𝑒
−𝑡2
2
⁄ 𝑑𝑡
𝑥
0
 
110 
 
Приложение 3. Таблица значений функции 
 𝑃𝑚(𝜆) =
𝜆𝑚𝑒−𝜆
𝑚!  
111 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Данная 
рабочая 
тетрадь 
по 
теории 
вероятностей 
и 
математической статистике направлена на формирование у 
студентов навыков «вероятностного мышления», обработки 
результатов наблюдения и умений правильно, в терминах теории 
вероятностей, 
формулировать 
и 
осмысливать 
полученные 
результаты. Предлагаемые задания соответствуют стандарту 
математического образования и дают возможность преподавателю 
организовать семинарские занятия и самостоятельную работу 
студентов. 
Предложенные в тетради задания различны по форме и 
содержанию. 
Первая группа заданий проверяет знания формулировок 
основных понятий и формул, необходимых для решения задач по 
каждой теме. В этих заданиях необходимо вставить пропущенные 
термины или формулы в определения и утверждения. 
Вторая группа заданий предусматривает анализ решения 
задач, заполнение пропусков в частично решенных задачах. Все 
задания из данной группы решены достаточно подробно и 
предполагают 
только 
самостоятельные 
арифметические 
вычисления.  
И, 
наконец, 
третья 
группа 
заданий 
предусматривает 
самостоятельное решение задач. Задачи для самостоятельной 
работы подобраны таким образом, чтобы, комбинируя решения 
различных заданий из второй группы, обучающиеся могли 
самостоятельно решить все предлагаемые примеры. 
 

1. ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ 
1.1.  Определение вероятности 
Задание 1. Вставьте пропущенные формулы: 
Правило сложения. Если элемент 𝐴1 может быть выбран 𝑛1 
способами, элемент 𝐴2 может быть выбран 𝑛2 способами и т.д., 
элемент 𝐴𝑘 может быть выбран 𝑛𝑘 способами, причём выбор одного 
объекта исключает одновременный выбор другого объекта, то 
выбор элемента 𝐴1, либо 𝐴2, …, либо 𝐴𝑘, может быть осуществлен 
____________________________ способами. 
Правило произведения. Если элемент А1 может быть выбран 
n1 способами, после каждого такого выбора элемент А2 может быть 
выбран n2 способами и т.д., после каждого (k – 1) выбора элемент 
Аk может быть выбран nk способами, то выбор всех элементов: А1, 
А2, …, Аk, в указанном порядке может быть осуществлен 
__________________________________ способами. 
Перестановками из n элементов называются комбинации 
этих элементов, отличающихся только порядком расположения 
этих элементов. Число перестановок 𝑃𝑛 из n-элементов равно: 
𝑃𝑛=________________________ 
Если в перестановках n элементов с повторениями 1-й 
элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент повторяется n2 раз, и т.д., 
то число перестановок равно  
𝑃𝑛(𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘) =
𝑛!
                                   , 
где 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘= 𝑛. 
Размещениями из n различных элементов по m элементов 
(𝑚≤𝑛) называют комбинации, состоящие из данных 𝑛 элементов 
по 𝑚 элементов, которые отличаются либо составом элементов, 
либо порядком их расположения (либо и тем и другим). Число 
различных размещений из n элементов по m элементов вычисляется 
по формуле: 
А𝑛𝑚= 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2) … (𝑛−𝑚+ 1) (m сомножителей) или  
А𝑛𝑚=
𝑛!
                    . 

Сочетаниями из n различных элементов по m называют 
комбинации, состоящими из данных n элементов по m элементов, 
которые отличаются только составом элементов (порядок не 
важен). Число различных сочетаний из n элементов по m элементов 
вычисляется по формуле: 
𝐶𝑛𝑚= (𝑛
𝑚) =                          
Определение (классическое определение вероятности). 
Вероятность события 𝐴 (𝑃(𝐴)) равна отношению числа случаев, 
благоприятствующих ему (𝑛𝐴), к общему числу случаев (𝑛), т.е. 
𝑃(𝐴) =       
        . 
Задание 2. В следующих задачах заполните недостающую 
информацию. 
Задача 1.1.1. Брошены два кубика. Найти вероятность того, что 
сумма выпавших очков будет равна 5. 
Решение. 
Пусть событие А – сумма выпавших очков на двух кубиках 
равна 5. Для решения задачи воспользуемся классическим 
определением вероятности.  
Найдем общее число исходов эксперимента. Для этого 
представим исходы как упорядоченные пары чисел вида (𝑥, 𝑦), где 
𝑥 – число очков, выпавших на первой кости (от 1 до 6), 𝑦 – число 
очков, выпавших на второй кости (от 1 до 6). По правилу 
произведения всего таких пар чисел будет 𝑛= ____________.  
Рассмотрим исходы, в которых значение суммы выпавших 
очков будет равно 5: (__, __), (__, __), (__, __), (__, __). Значит число 
исходов, благоприятствующих событию 𝐴, равно 𝑛𝐴= ___. 
Тогда по формуле классической вероятности 
𝑃(𝐴) =       
        =                             
Ответ. 𝑃(𝐴) = _______. 

Задача 1.1.2.  На 7 одинаковых карточках написаны буквы: на трех 
карточках «Т», на двух – «С», на остальных двух – «А» и «И» 
соответственно. Эти карточки выкладывают наудачу в ряд. Какова 
вероятность того, что при этом получится слово «СТАТИСТ»? 
Решение.  
Пусть событие А – получение слова "СТАТИСТ". Найдем 
число перестановок из семи букв с повторениями. 
По формуле 
𝑃𝑛(𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘) =
𝑛!
𝑛1! ∙𝑛2! ∙… ∙𝑛𝑘!, 
где 
𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘= 𝑛, 
получаем 
общее 
число 
равновозможных исходов опыта 
𝑃7(__, __, __, __) =                      =                                
              
=               . 
Число исходов, благоприятствующих событию 𝐴, 𝑛𝐴=__. 
Тогда по формуле классической вероятности 
 
𝑃(𝐴) =       
        = _________. 
Ответ. 𝑃(𝐴) = _______. 
Задача 1.1.3.  Пусть имеется колода из 52 карт. Из колоды 
случайным образом вытаскивают 6 карт. Посчитать вероятность 
того, что среди этих 6 карт окажется 2 дамы. 
Решение.  
 
Пусть событие А – среди 6 карт будет 2 дамы. Обозначим через 
𝑛 общее число исходов. Оно равно числу способов, которыми 

можно вытащить 6 карт из колоды, содержащей 52 карты. Так как 
при этом порядок вытаскиваемых карт не важен, то 𝑛 равно числу 
сочетаний из 52 карт по 6, то есть равно  
𝑛= 𝐶52
6 =
                  
                       =
                  
                                                =                          . 
Посчитаем теперь число исходов 𝑛𝐴, благоприятствующих 
событию 𝐴. Обозначим через 𝑛1– число способов, которыми можно 
вытащить 2 дамы из 4-х возможных. Это число равно числу 
сочетаний из 4 карт по 2, то есть равно  
𝑛1 = 𝐶4
2 =                   
                   =
                  
                       =                         
Пусть 𝑛2 – число способов, которыми можно вытащить 6 −
2 = 4 оставшиеся карты из оставшихся 52 −4=48 не дам. Это 
число равно числу сочетаний из 48 карт по 4, то есть равно  
𝑛2 = 𝐶48
4 =
                  
                       =                              
                       
=                        
По 
правилу 
произведения, 
число 
исходов 
𝑛𝐴, 
благоприятствующих событию 𝐴: 
𝑛𝐴= 𝑛1 ∙𝑛2 = 𝐶4
2 ∙𝐶48
4 =
                                                                         .  
Подставляя полученные выражения в формулу классической 
вероятности, получим 
𝑃(𝐴) =
𝑛𝐴
𝑛=
𝐶42∙𝐶48
4
𝐶52
6
=
                  
                                                    =                                       
Ответ. 𝑃(𝐴) = ______________ 
Задание 3. Решите следующие задачи. 
Задача 1.1.4. Какова вероятность набрать правильный пароль при 
входе в личный кабинет, если известно, что на первом и втором 
месте может стоять любая нечетная цифра (цифры не могут 
повторяться), а на третьем и четвертом местах – одна из 6 гласных 
букв, причем они могут совпадать? 
Решение.  

Дано: 
𝑛1 = 
𝑛2 = 
𝑛3 = 
𝑛4 = 
Решение 
𝐴 – набран правильный пароль. 
 
 
 
 
 
𝑛= ____________________________________              
𝑛𝐴=__________ 
 
𝑃(𝐴) = 
 
𝑃(𝐴) − ? 
Ответ. 𝑃(𝐴) = ______________ 
Задача 1.1.5. В студенческой группе 12 девушек и 15 молодых 
людей. Для участия в психологическом эксперименте отбирают 
четверых студентов группы. Найдите вероятность того, что будут 
отобраны одна девушка и три молодых человека. 
Решение.  
Дано: 
N= 
n= 
M= 
m= 
Решение 
 
𝐴 - будут отобраны одна девушка и 
три молодых человека. 
 
𝑛=              
 
 
 
𝑛𝐴= 
 
 
 
 
𝑃(𝐴) = 
 
𝑃(𝐴) − ? 
Ответ. 𝑃(𝐴) = ______________ 
 
 

Задача 1.1.6. В урне находятся 8 белых, 6 черных. Наудачу без 
возвращения извлекают 3 шара. Найти вероятность следующих 
событий:  
а) 𝐴 - все извлеченные шары черного цвета;  
б) 𝐵 - среди извлеченных шаров один белый;  
в) C - среди извлеченных шаров хотя бы два белых. 
Решение.  
Дано: 
N= 
n= 
M= 
а) m= 
б) m= 
в) m= 
Решение 
 
 
𝑛=              
 
 
а) 𝑛𝐴= 
 
 
𝑃(𝐴) = 
 
а)𝑃(𝐴)−? 
б)𝑃(𝐵)−? 
в)𝑃(𝐶)−? 
 
б) 𝑛𝐵= 
 
 
𝑃(𝐵) = 
 
 
в)  
 
 
 
Ответ. 𝑃(𝐴) = ______________. 
             𝑃(𝐵) = ______________. 
             𝑃(С) = ______________.