Алгебры формальных матриц и их автоморфизмы

Национальный исследовательский 
Томский государственный университет 
Национальный исследовательский университет МЭИ 
Московский государственный университет  
им. М.В. Ломоносова 
П.А. Крылов 
А.А. Туганбаев 
АЛГЕБРЫ  
ФОРМАЛЬНЫХ МАТРИЦ  
И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ 
Монография 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2025 

УДК 512.55 
ББК 22.144 
  К85 
Исследование выполнено за счет грантов  
Российского научного фонда  
№ 23-21-00375 (П.А. Крылов) и № 22-11-00052 (А.А. Туганбаев) 
Крылов П.А. 
К85  
 Алгебры формальных матриц и их автоморфизмы : мо- 
нография / П.А. Крылов, А.А. Туганбаев. — Москва : 
ФЛИНТА, 2025. — 252 с. — ISBN 978-5-9765-5745-1. — 
Текст : электронный. 
Данная книга является монографией по важному 
направлению математики: изучению колец формальных 
матриц и их модулей и автоморфизмов. В ней отражены все 
главные результаты в данном направлении математики. 
УДК 512.55 
ББК 22.144 
ISBN 978-5-9765-5745-1        © Крылов П.А., Туганбаев А.А., 2025 
    © Издательство «ФЛИНТА», 2025 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
Предисловие ................................................................................ 
7 
Глава 1. Кольца формальных матриц .................................. 
10 
1. Построение колец формальных матриц порядка 2 ............. 
10 
2. Примеры колец формальных матриц порядка 2 .................. 
16 
3. Кольца формальных матриц порядка п ≥ 2 ......................... 
18 
4. Некоторые идеалы колец формальных матриц ................... 
23 
5. Кольцевые свойства ............................................................... 
27 
6. Аддитивные задачи ................................................................ 
33 
Глава 2. Модули над кольцами формальных матриц ....... 
41 
7. Первоначальные свойства модулей
над кольцами формальных матриц ........................................... 
41 
8. Малые и существенные подмодули ...................................... 
55 
9. Цоколь и радикал .................................................................... 
59 
10. Инъективные модули и инъективные оболочки ................ 
63 
11. Максимальное кольцо частных ........................................... 
70 
12. Плоские модули .................................................................... 
78 
13. Проективные и наследственные модули и кольца ............ 
84 
14. Эквивалентности между категориями R-mod,
S-mod и K-mod ............................................................................ 
92 
15. Наследственные кольца эндоморфизмов
абелевых групп ........................................................................... 
103 
Глава 3. Кольца формальных матриц  
над данным кольцом ................................................................ 
108 
16. Кольца формальных матриц над кольцом R ...................... 
108 
17. Некоторые свойства колец формальных матриц
над R ............................................................................................. 
117 
18. Характеризация матриц множителей ................................. 
120 

19. Классификация колец формальных матриц ....................... 
126 
20. Проблема изоморфизма ....................................................... 
134 
21. Определители формальных матриц .................................... 
139 
22. Некоторые теоремы о формальных матрицах ................... 
 
147 
Глава 4. Группы Гротендика и Уайтхеда  
колец формальных матриц ..................................................... 
 
154 
23. Эквивалентность двух категорий  
проективных модулей ................................................................ 
 
155 
24. Группа K0(A, B) ..................................................................... 
159 
25. Группа K0 кольца формальных матриц .............................. 
164 
26. Группа K1 кольца формальных матриц .............................. 
169 
27. Группы K0 и K1 колец матриц порядка n ≥ 2 ..................... 
 
173 
Глава 5. Автоморфизмы расщепляющихся  
расширений ................................................................................ 
 
178 
28. Об изоморфизме бимодулей ................................................ 
179 
29. Автоморфизмы алгебр вида А = L ⊕ М ............................. 
179 
30. Внутренние и другие близкие к ним автоморфизмы ........ 
183 
31. Случай внутренних дифференцирований .......................... 
185 
32. Гомоморфизмы алгебр вида А = L ⊕ М ............................. 
 
188 
Глава 6. Автоморфизмы алгебр формальных матриц  
с нулевыми идеалами следа .................................................... 
 
190 
33. Об автоморфизмах матричных колец ................................. 
190 
34. Автоморфизмы алгебр формальных матриц ...................... 
191 
35. Автоморфизмы алгебр формальных матриц.  
Продолжение ............................................................................... 
 
196 
36. Кольца формальных треугольных матриц ......................... 
202 
37. Подгруппа Ψ и внутренние автоморфизмы ....................... 
 
205 
Глава 7. Автоморфизмы колец формальных матриц  
над данным кольцом ................................................................ 
 
209 
38. Кольца формальных матриц над данным кольцом 
210 
39. Случай М2 = 0 ........................................................................ 
213 

40. Подгруппа Ψ и внутренние автоморфизмы, II ................... 
216 
41. Группы Ω и Ω1 
219 
 
Глава 8. Автоморфизмы колец матриц  
Т(п, R) и М(п, R) ......................................................................... 
 
224 
42. Автоморфизмы кольца треугольных матриц ..................... 
224 
43. Группа Aut К, где К = М(п, R) ............................................. 
227 
44. Заключение ............................................................................ 
230 
 
 
Список обозначений ................................................................... 
 
233 
Список литературы ..................................................................... 
 
235 
Предметный указатель ............................................................... 
250 
 

Предисловие
Большое значение матриц для математики и ее приложений общеизвестно. Прежде всего это относится к числовым матрицам. Активно изучаются и используются также матрицы со значениями в кольцах (см.,
например, [39] и [151]), полукольцах, булевых алгебрах (см., например,
[103]), полугруппах и решетках. Рассматриваемые в этой книге матрицы называются формальными матрицами или обобщенными матрицами. Что это за матрицы? Предварительно поясним, что элементы
этих матриц принадлежат нескольким (в общем случае разным) кольцам
и бимодулям.
В своей известной работе [155] Морита ввел то, что сейчас называют
контекстом Мориты или ситуацией предэквивалентности. Контекст Мориты (R, S, M, N, ϕ, ψ) состоит из колец R и S, бимодулей M и
N, а также связанных между собой определенным образом бимодульных
гомоморфизмов ϕ и ψ. Первоначально, контексты Мориты предназначались для описания эквивалентностей между категориями модулей. Они
также очень удобны для переноса свойств с одного кольца R на другое
кольцо S; см., например, [10], [99] и [100]. Контексты Мориты были предметом исследований большого числа публикаций. По данному контексту
Мориты (R, S, M, N, ϕ, ψ) можно естественным образом построить кольцо матриц
 R
M
N
S
 
с обычными матричными операциями. Это кольцо
называется кольцом контекста Мориты, или кольцом формальных матриц (порядка 2), или кольцом обобщенных матриц. Эта
вторая точка зрения на контекст Мориты как на матричное кольцо и
преобладает в книге. Не составляет большого труда определить кольцо
формальных матриц любого порядка n. Итак, мы уделяем основное внимание кольцам формальных матриц, их автоморфизмам, и модулям над
такими кольцами.
Кольца формальных матриц постоянно появляются в теории колец. Существуют аналоги контекстов Мориты для полуколец, коалгебр, хопфовых алгебр и категорий. Они имеют большую убедительность и интуитивный иллюстрационный эффект, служат источником разнообразных
примеров для общей теории колец. Информация о строении и свойствах
колец формальных матриц интересна сама по себе и важна для понимания строения произвольных колец и алгебр. Среди колец формальных
7

матриц выделяются кольца треугольных матриц или более общие объекты  кольца блочных треугольных матриц. Они нередко возникают
при исследовании некоторых конечномерных алгебр и операторных алгебр. Помимо прочего, кольца формальных треугольных матриц служат
источником примеров колец с асимметричными свойствами.
Книга содержит далеко не все существующие результаты о кольцах формальных матриц. Небольшие фрагменты о различных формальных матрицах имеются в ряде монографий. Однако авторы уверены, что содержание книги достаточно для того, чтобы читатель смог составить представление о существующих направлениях исследований в этой области.
В главах 14 используется материал книги авторов [118]. Материал глав
58 в монографической литературе ранее не был представлен.
В книге восемь глав. Первая глава посвящена кольцам формальных матриц порядка 2 и, иногда, произвольного порядка n. В главе 2 рассматриваются модули над кольцом формальных матриц порядка 2. Подробно исследуются инъективные, плоские, проективные и наследственные
модули. В главе 3 вводится и изучается один частный вид колец формальных матриц  кольца формальных матриц над данным кольцом.
Здесь много внимания уделяется свойствам отдельных матриц. С одной
стороны, кольца формальных матриц порядка n над кольцом R наиболее близки к обычному кольцу M(n, R) всех (n Ч n)-матриц над R.
В то же время они приобретают особенности, отсутствующие у кольца
M(n, R). Например, два кольца формальных матриц одного порядка над
данным кольцом могут быть не изоморфными; см. теорему 20.3. Кроме
того, определитель формальной матрицы A над коммутативным кольцом не всегда совпадает с определителем транспонированной матрицы к
A; см. свойство 7) из раздела 21. Затем, если F  поле, то по классической
теореме Н9етер-Сколема каждый автоморфизм F-алгебры M(n, F) является внутренним. Но существуют кольца формальных матриц порядка
n над F, у которых группа внешних автоморфизмов содержит симметрическую группу Sm для некоторого m, где 2 ≤m ≤n; см. следствие
39.3.
В главе 4 группы Гротендика и Уайтхеда кольца формальных матриц
 R
M
N
S
 
выражаются через соответствующие группы колец R и S.
Основной объект изучения в главе 5 это автоморфизмы произвольной
алгебры над некоторым коммутативным кольцом, записанной как расщепляющееся расширение. Подходы и результаты этой главы служат
основой для глав 6 и 7. Алгебры формальных матриц, рассматриваемые
8

в этих главах, допускают представление в виде упомянутого расщепляющегося расширения.
Глава 6 посвящена автоморфизмам алгебр формальных матриц с нулевыми идеалами следа. Теорема 34.3 в определенном смысле сводит исследование группы автоморфизмов такой алгебры к исследованию некоторых более просто устроенных и лучше поддающихся изучению групп.
Результаты этой главы применяются и детализируются в главе 7 для
автоморфизмов колец формальных матриц над данным кольцом (подобные кольца являются предметом рассмотрения в главе 3).
В последней главе 8 мы имеем дело с автоморфизмами обычных колец треугольных матриц и колец квадратных матриц. В центре нашего внимания окажутся автоморфизмы представимые в виде произведения внутреннего автоморфизма и кольцевого (индуцированного) автоморфизма.
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей,
модули считаются унитарными левыми, если не оговорено противное.
Гомоморфизмы пишем слева от аргументов. В главах 58 все рассматриваемые кольца являются алгебрами над некоторым коммутативным
унитальным кольцом T. Правда, само кольцо T явно почти не присутствует. Иногда мы пишем ¾алгебра¿, иногда ¾кольцо¿.
В книге используются стандартные понятия и обозначения теории колец
и модулей; см., например, [131], [132], [171], [184], [186], [190]. Приведем
наиболее часто встречающиеся из них. Если R  кольцо, то J(R)  радикал Джекобсона, P(R)  первичный радикал, C(R)  центр, U(R) 
группа обратимых элементов кольца R, M(n, R)  кольцо всех (n Ч n)матриц над R, M(nЧm, R)  группа всех прямоугольных матриц размера
(n Ч m) со значениями в R, R-mod  категория всех левых R-модулей.
Если A  R-модуль, то End RA или End R(A)  его кольцо эндоморфизмов. Затем, M(n, R, {sijk}) или M(n, R, Σ)  кольцо всех формальных
матриц порядка n над кольцом R с сиcтемой множителей {sijk} = Σ, а
M(n, R, s)  кольцо всех формальных матриц порядка n над кольцом R
с множителем s.
Символы Aut A и In(Aut A) обозначают группу автоморфизмов и нормальную подгруппу внутренних автоморфизмов алгебры A. Далее, Out A
 это группа внешних автоморфизмов алгебры A. Полупрямое произведение групп A и B обозначается через A ⋊B.
9

Глава 1. Кольца формальных матриц
Определяются кольца формальных матриц порядка 2 и произвольного
порядка n, рассматриваются их основные свойства, приводятся примеры
таких колец, указываются связи колец формальных матриц с кольцами эндоморфизмов модулей и системами ортогональных идемпотентов
колец. Вычисляются радикал Джекобсона и первичный радикал кольца формальных матриц. Выясняется, когда кольцо формальных матриц
артиново, н%етерово, имеет стабильный ранг 1, регулярно или обратиморегулярно.
Последний раздел 6 посвящен чистым и k-хорошим матричным кольцам.
Если R и S  кольца, A и B  R-S-бимодули, то гомоморфизмом бимодуля A в бимодуль B называется отображение f : A →B, для которого
справедливы равенства:
1) f(a + c) = f(a) + f(c)
и
2) f(ras) = rf(a)s для любых a, c ∈A, r ∈R, s ∈S.
1
Построение колец формальных матриц
второго порядка
Пусть даны два кольца R и S, R-S-бимодуль M и S-R-бимодуль N. Обозначим через K множество всех матриц вида
r
m
n
s
 
,
где r ∈R, s ∈S, m ∈M, n ∈N.
Относительно матричного сложения K является абелевой группой.
Чтобы превратить K в кольцо, нужно уметь вычислять "произведение" mn ∈R и "произведение" nm ∈S. Корректно это можно сделать
следующим образом.
Предположим, что даны бимодульные гомоморфизмы ϕ: M ⊗S N →R
и ψ: N ⊗R M →S. Полагаем ϕ(m ⊗n) = mn и ψ(n ⊗m) = nm для всех
m ∈M и n ∈N. Теперь матрицы из K можно умножать как в обычном
10