Кольца с существенным центром

А.А. Туганбаев 
КОЛЬЦА  
С СУЩЕСТВЕННЫМ  
ЦЕНТРОМ 
Монография 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2025 

УДК 512.55 
ББК 22.144 
 Т81 
 Туганбаев А.А. 
Т81 
  Кольца с существенным центром : монография / А.А. Туган- 
баев. — Москва : ФЛИНТА, 2025. — 172 с. — ISBN 
978-5-9765-5746-8. — Текст : электронный.
В монографии изучаются центрально существенные кольца A с 
центром C, то есть такие кольца A, что либо A коммутативно, либо для 
любого нецентрального элемента a из A существуют такие ненулевые 
центральные элементы x и y, что ax = y. Для колец A с ненулевой единицей центральная существенность A равносильна тому, что модуль 
AC является существенным расширением модуля CC. Эта книга может 
служить основой специальных курсов для студентов и аспирантов и 
также полезна профессиональным математикам и преподавателям математики. В книге изучаются как центрально существенные ассоциативные (унитальные и неунитальные) кольца, так и центрально существенные полукольца и неассоциативные кольца, а также алгебраические конструкции, приводящие к таким кольцам. 
УДК 512.55 
ББК 22.144 
ISBN 978-5-9765-5746-8 
 © Туганбаев А.А., 2025 
 © Издательство «ФЛИНТА», 2025 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
Введение ...........................................................................................
5 
1. Полупервичные, локальные, совершенные
и полуартиновы кольца ............................................................... 
11 
1.1. Общие свойства ........................................................................ 
11 
1.2. Полупервичные и несингулярные кольца .............................. 
19 
1.3. Локальные и полусовершенные кольца .................................. 22 
1.4. Совершенные и полуартиновы кольца ................................... 
23 
1.5. Подпрямо неразложимые кольца ............................................ 
27 
2. Градуированные кольца и внешние алгебры ...................... 
32 
2.1. Градуированные кольца ........................................................... 
32 
2.2. Внешние алгебры над полями ................................................. 
34 
2.3. Внешние алгебры над кольцами ............................................. 
36 
3. Конструкции колец ................................................................... 
41 
3.1. Кольца многочленов, рядов и частных ................................... 
41 
3.2. Групповые кольца ..................................................................... 43 
3.3. Кольца частных, групповые и полугрупповые кольца ......... 
55 
3.3.1. Кольца частных и групповые кольца .............................. 55 
3.3.2. Кольца частных и полугрупповые кольца ..................... 
60 
3.4. Конструкция одного ЦС кольца .............................................. 
66 
3.5. ЦС кольцо R с некоммутативным кольцом R/J(R) ................ 
70 
3.6. Локальные подалгебры треугольных алгебр ......................... 
74 
3.7. Кольца эндоморфизмов абелевых групп ................................ 
83 
3.8. Лиево-нильпотентные (вполне)  
центрально существенные кольца .................................................. 91 
3.9. Групповые кольца вполне ЦС колец и кольца частных ....... 
103 
4. Дистрибутивные и цепные кольца ......................................... 107 
4.1. Цепные артиновы кольца ......................................................... 
107 
4.2. Цепные нётеровы кольца ......................................................... 
113 
4.3. Кольца с плоскими идеалами .................................................. 
121 
4.4. Дистрибутивные нётеровы кольца .......................................... 124 

5. ЦС полукольца ........................................................................... 
132 
5.1. Общие сведения ........................................................................ 
132 
5.2. Примеры, конструкции и замечания ...................................... 
134 
6. Неассоциативные кольца ......................................................... 141 
6.1. Виды центральной существенности ....................................... 
141 
6.2. Приведенные и полупервичные кольца .................................. 145 
6.3. Процесс Кэли-Диксона ............................................................. 149 
6.4. Процесс Кэли-Диксона и центральная существенность ....... 
153 
6.5. Алгебры кватернионов и октонионов ..................................... 
156 
Литература ...................................................................................... 
159 
Некоторые обозначения ............................................................. 
168 
Предметный указатель ............................................................. 
169 

Введение
Памяти Виктора Тимофеевича Маркова
Во введении и главах 15 слово кольцо означает ассоциативное
кольцо. По умолчанию предполагается, что кольцо обладает ненулевой единицей; случай не обязательно унитальных колец оговаривается особо. В главе 6 слово кольцо означает не обязательно
ассоциативное кольцо.
Не обязательно унитальное кольцо A называется центрально существенным или ЦС кольцом, если либо A коммутативно, либо
для любого нецентрального элемента a ∈A существуют такие ненулевые центральные элементы x и y, что ax = y.
Унитальное кольцо A с центром Z(A) центрально существенно в точности тогда, когда Z(A)-модуль A  существенное расширение Z(A)модуля Z(A).
Глядя на определение центрально существенного кольцаA может показаться, что такое кольцо, возможно, обязано быть коммутативным.
Действительно, A обладает многими свойствами коммутативных колец. Например:
ˆ все идемпотенты кольца A центральны (см. 1.1.4 ниже);
ˆ если кольцо A полупервично, то кольцо A коммутативно (см.
теорему 1.2.2 ниже);
ˆ если A  центрально существенное локальное кольцо, то кольцо
A/J(A)  поле и поэтому коммутативно; см. 1.3.2.
5

Введение
6
ˆ если A  полуартиново справа или слева, центрально существенное кольцо, то фактор-кольцо A/J(A) коммутативно; см. теорему 1.4.5.
Однако, центрально существенное кольцо A может быть весьма далеким от коммутативного кольца. Например:
ˆ фактор-кольцо A/N(A) кольца A по первичному радикалу может не быть центрально существенным и, в частности, полупервичное кольцо A/N(A) может не быть коммутативным (см.
теорему 3.5.4);
ˆ фактор-кольца кольца A по идеалам, порожденным центральными идемпотентами, не обязательно центрально существенны
(см. пример 2.2.5);
ˆ фактор-кольца кольца A не обязательно центрально существенны (см. два предыдущих пункта);
ˆ существуют конечные некоммутативные центрально существенные групповые алгебры; (см. пример 1 ниже);
ˆ существуют конечные некоммутативные центрально существенные внешние алгебры (см. пример 2 ниже);
ˆ существуют абелевы группы G без кручения конечного ранга c
некоммутативными центрально существенными кольцами эндоморфизмов (см. теорему 3.7.12(c)).
Пример 1. Пусть F  поле порядка 2 и G = Q8  группа кватернионов порядка 8, т.е. G  группа с двумя образующими a, b и
определяющими соотношениями a4 = 1, a2 = b2 и aba−1 = b−1; см.
[40, Section 4.4]. Тогда групповая алгебра FG  некоммутативное конечное локальное центрально существенное кольцо, состоящее из256
элементов (это следует из предложения 3.2.4 ниже).
Приведем некоторые необходимые понятия. Для кольца A обозначим через Z(A) (или C(A)), J(A), N(A) и K(A) центр, радикал

Введение
7
Джекобсона, первичный радикал и радикал К¼те (т.е. сумму всех
ниль-идеалов, которая является наибольшим ниль-идеалом) соответственно. Мы также положим [a, b] = ab−ba для любых двух элементов a, b кольца A. Для группы или полугруппы X через Z(X) (или
C(X)) обозначается ее центр.
Пример 2. Приведем еще один пример некоммутативного конечного
центрально существенного кольца. ПустьF  поле из трех элементов,
V  векторное F-пространство с базисом e1, e2, e3, и пусть Λ(V ) 
внешняя алгебра1 для V . Так как e1 ∧e1 = e2 ∧e2 = e3 ∧e3 = 0 и
любое произведение образующих равно ±произведению образующих
с возрастающими индексами, Λ(V )  конечная 8-мерная F-алгебра с
базисом
{1, e1, e2, e3, e1 ∧e2, e1 ∧e3, e2 ∧e3, e1 ∧e2 ∧e3},
|Λ(V )| = 38, ek ∧ei ∧ej = −ei ∧ek ∧ej = ei ∧ej ∧ek.
Поэтому, если x = α0 · 1 + α1
1e1 + α2
1e2 + α3
1e3+
+α1
2e1 ∧e2 + α2
2e1 ∧e3 + α3
2e2 ∧e3 + α3e1 ∧e2 ∧e3, то
[e1, x] =
2α2
1e1 ∧e2 + 2α3
1e1 ∧e3,
[e2, x] = −2α1
1e1 ∧e2 + 2α3
1e2 ∧e3,
[e3, x] = −2α1
1e1 ∧e3 −2α2
1e2 ∧e3.
Поэтому x лежит в центре Z(Λ(V )) алгебры Λ(V ) в точности тогда, когда α1
1 = α2
1 = α3
1 = 0, откуда центр алгебры Λ(V ) имеет
размерность 5. При этом, если α1
1 ̸= 0, то
x ∧(e2 ∧e3) = α0e2 ∧e3 + α1
1e1 ∧e2 ∧e3 ∈Z(Λ(V )) \ {0}.
Кроме того, e2 ∧e3 ∈Z(Λ(V )). Аналогичные рассуждаем, если α2
1 ̸=
0 или α3
1 ̸= 0. Поэтому Λ(V )  конечное центрально существенное
некоммутативное кольцо.
1См. 2.2.1.

Введение
8
Пример 3. Этот пример, утверждение (∗) и его доказательство
принадлежат рецензенту статьи [66], любезно предоставившему примеры некоммутативных центрально существенных колец, возникающих из конструкции, описанной в [46].
(∗) Если B  такой идеал кольца A, что B ⊆Z(A) и A/B  поле, то
A  центрально существенное кольцо.
 Допустим, что A некоммутативно и a  нецентральный элемент в
A. Если aB ̸= 0, то ясно, что Z(A) ∩aZ(A) ̸= 0. Предположим, что
aB = 0. Так как a /∈B и A/B  поле, то элемент a обратим по модулю
B, т.е. sa = 1 −x для некоторых s ∈A и x ∈B. Для любого y ∈B
имеем 0 = say = y −xy, откуда xB = B = xA, x  центральный
идемпотент, и A имеет пирсовское разложение A = Ax⊕A(1−x) где
оба слагаемых Ax = B и A(1 −x) ∼= A/B коммутативны. Поэтому
A коммутативно. Это противоречит выбору A. Значит, aB ̸= 0 и (∗)
верно.
Остается рассмотреть простейший случай конструкции, приведенной
в [46, Proposition 7] (мы сохраняем обозначения этой статьи). Пусть
F = Q(x, y)  поле рациональных функций. Рассмотрим две частные
производные d1 = ∂
∂x и d2 = ∂
∂y. Тогда кольцо A = T(F, F) матриц
⎧
⎨
⎩
⎛
⎝
f
d1(f)
g
0
f
d2(f)
0
0
f
⎞
⎠
						
f, g ∈F
⎫
⎬
⎭
и его идеал
B = ˆF =
⎧
⎨
⎩
⎛
⎝
0 0 g
0 0 0
0 0 0
⎞
⎠
						
g ∈F
⎫
⎬
⎭
удовлетворяют условиям утверждения (∗).  
Приведем некоторые определения. Для модуля M цоколем Soc M
называется сумма всех простых подмодулей в M; если M не содержит простых подмодулей, то SocM = 0 по определению. Модуль
M называется конечномерным (в смысле Голди), если M не со

Введение
9
держит подмодуля, который является бесконечной прямой суммой
ненулевых подмодулей. Модуль M называется нетеровым (соотв.,
артиновым), если M не содержит бесконечную строго возрастающую (соотв., строго убывающую) цепь подмодулей. Прямые слагаемые свободных модулей называются проективными модулями. Модуль M называется наследственным, если все подмодули модуля
M проективны. Модуль M называется дистрибутивным (соотв.,
цепным), если решетка подмодулей модуля M дистрибутивна (соотв., является цепью). Напомним, что модуль X называется существенным расширением подмодуля Y модуля X, если Y ∩Z ̸= 0
для любого ненулевого подмодуля Z в X. В этом случае Y называется существенным подмодулем модуля X. Подмодуль Y модуля
X называется замкнутым (в X), если Y = Y ′ для любого подмодуля Y ′ модуля X, являющегося существенным расширением модуля
Y .
Кольцо A называется областью, если A не имеет ненулевых делителей нуля. Коммутативная область A называется дедекиндовой областью, если A  коммутативная наследственная н¼терова область. Если A  кольцо, то собственный идеал B кольца A называется вполне первичным если фактoр-кольцо A/B  область. Кольцо A называется инвариантным справа, если все правые идеалы
кольца A являются идеалами. Аналогично определяются инвариантные слева кольца. Кольцо R называется полупервичным (соотв., первичным), если R не имеет нильпотентных ненулевых идеалов (соотв., произведение любых двух ненулевых идеалов кольца R
не равно нулю). Кольцо называется сильно ограниченным, если
каждый правый или левый идеал содержит ненулевой двусторонний
идеал. Кольцо R называется арифметическим, если решетка его
двусторонних идеалов дистрибутивна, т.е.X∩(Y +Z) = X∩Y +X∩Z
для любых трех идеалов X, Y, Z кольца R. Ясно, что коммутативное кольцо дистрибутивно справа (соотв., слева) в точности тогда,
когда кольцо арифметично. Элемент r кольца R называется левым
неделителем нуля или регулярным справа элементом, если из
соотношения rx = 0 следует соотношение x = 0 для любого x ∈R.

Введение
10
Заметим, что односторонние делители нуля являются двусторонними делителями нуля в центрально существенном кольце; см. 1.1.2(a).
Кольцо R имеет правое (соотв., левое) классическое кольцо
частных Qcl(Rr) (соотв., Qcl(Rl)) в точности тогда, когда для любых
таких двух элементов a, b ∈R, что b  неделитель нуля, существуют
такие элементы c, d ∈R, что d  неделитель нуля и bc = ad (соотв.,
cb = da). Если кольца Qcl(Rr) и Qcl(Rl) существуют, то они изоморфны друг другу над R. В этом случае говорят, что существует двустороннее кольцо частных Qcl(R). Для кольца R и подмножества S в
R обозначим через ℓR(S) левый аннулятор {r ∈R | rS = 0} множества S. Правый аннулятор rR(S) определяется аналогично. Для
правого (соотв., левого) R-модуля M его вполне инвариантный подмодуль, образованный всеми элементами, аннуляторы которых являются существенными правыми (соотв., левыми) идеалами в R, называется сингулярным подмодулем для M и обозначается через
SingM. При M = RR (соотв., M = RR) идеал SingM называется
правым (соотв., левым) сингулярным идеалом кольца R.
Необходимая информация по теории колец содержится в [87], [9], [53],
[96], [42], [52], по теории абелевых групп в [34] и [51].
Автор благодарен А.Н. Абызову, О.В. Любимцеву и Д.Ю. Новочадову за большую помощь в редактировании рукописи.