Математический анализ. Числовые и функциональные ряды

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 Ростовский государственный экономический университет (РИНХ) 
Факультет компьютерных технологий и информационной безопасности 
Кафедра фундаментальной и прикладной математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Г.А. БАТИЩЕВА, М.И. ЖУРАВЛЕВА 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 
 
 
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ) 
2023

УДК 517.4(07) 
ББК 22.161 
Б 28 
 
Батищева, Г.А. 
Б 28  Математический анализ. Числовые и функциональные ряды : учебно-методическое пособие по изучению раздела курса высшей математики [Электронный ресурс] / Г.А. Батищева, М.И. Журавлева. – Ростов-на-Дону : Издательско-полиграфический комплекс Ростовского государственного экономического университета (РИНХ), 2023. – Электрон. сетевое изд. – 73 с. – 
Режим доступа : http://library.rsue.ru. 
 
ISBN 978-5-7972-3132-5 
 
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов второго 
курса, обучающихся по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» всех форм обучения в соответствии с требованиями ФГОС ВО 
для помощи в усвоении раздела курса высшей математики «Математический 
анализ. Числовые и функциональные ряды» и приобретении практических 
навыков в решении задач по рассмотренным темам. В учебно-методическом 
пособии рассмотрены основные понятия теории рядов. Теоретические положения иллюстрируются примерами, приведены задачи и упражнения для самостоятельной работы. 
 
УДК 517.4(07) 
ББК 22.161 
 
Рецензенты: 
М.Ю. Денисов, д.э.н., к.ф.-м.н., профессор кафедры  
экономики региона, отраслей и предприятий РГЭУ (РИНХ);  
А.В. Братищев, д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики 
ДГТУ 
 
Утверждено в качестве учебно-методического пособия 
учебно-методическим советом РГЭУ (РИНХ) 
 
 
ISBN 978-5-7972-3132-5 
 
© Ростовский государственный 
экономический  
университет (РИНХ), 2023 
© Батищева Г.А., Журавлева М.И., 
2023 

Содержание 
 
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ........................................................................................................... 4 
1.1. Основные понятия ....................................................................................................... 4 
1.2. Необходимый признак сходимости ряда ................................................................ 11 
1.3. Достаточные признаки сходимости положительных рядов .................................. 16 
1.3.1. Первый признак сравнения ................................................................................ 17 
1.3.2. Второй признак сравнения ................................................................................. 19 
1.3.3. Признак Даламбера ............................................................................................. 24 
1.3.4. Признак Коши ..................................................................................................... 28 
1.3.5. Интегральный признак ....................................................................................... 32 
1.4. Знакопеременные ряды ............................................................................................. 34 
1.4.1. Основные понятия .............................................................................................. 34 
1.4.2. Признак Лейбница .............................................................................................. 35 
1.4.3. Абсолютная и условная сходимость ................................................................. 39 
2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ........................................................................................ 47 
2.1. Основные понятия ..................................................................................................... 47 
2.2. Определение степенного ряда. Интервал и радиус сходимости  
степенного ряда ................................................................................................................ 48 
2.3. Разложение функций в степенные ряды ................................................................. 54 
2.4. Применение степенных рядов к приближенному вычислению  
значений функций ............................................................................................................ 58 
2.5. Применение степенных рядов к приближенному вычислению  
определенных интегралов ................................................................................................ 61 
2.6. Применение степенных рядов  к решению дифференциальных уравнений ....... 63 
2.6.1. Способ неопределенных коэффициентов ......................................................... 63 
2.6.2. Способ последовательных дифференцирований ............................................. 65 
ОТВЕТЫ ................................................................................................................................ 67 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ........................................................... 72 
 
 
 

1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 
 
1.1. Основные понятия 
 
Определение 1. Пусть 𝑢1,  𝑢2, … , 𝑢𝑛… −  некоторая числовая последовательность. Выражение 
𝑢1 + 𝑢2 + … + 𝑢𝑛+ ⋯ 
называется числовым рядом. Числа 𝑢1,  𝑢2, … , 𝑢𝑛… называются членами ряда, а 
число un, указывающее правило, по которому строятся все члены ряда, называется его общим членом.  
Используя знак суммирования, ряд можно записать в виде: ∑
𝑢𝑛
∞
𝑛=1
. 
 
Пример 1. Задан ряд ∑
𝑛𝑛
2𝑛+1
∞
𝑛=1
 
Написать общий член ряда и первые четыре члена ряда. 
Решение. Общий член ряда имеет вид: 
1
2 

n
n
u
n
n
. 
При n=1 имеем u1=1/3; при n=2 u2=4/5; при n=3   u3=27/7;  при n=4  u4=256/9. 
Таким образом, ряд можно записать в виде: 
...
9
256
7
27
5
4
3
1




. 
 
Пример 2. Найти общий член ряда: 
...
10
0001
,0
7
001
,0
4
01
,0
1,0




. 
Решение. 
Числители 
дробей 
образуют 
геометрическую 
прогрессию:  
1
10 ,
1
100 ,
1
1000 ,
1
1000 , … ; 
n-ый член прогрессии найдём по формуле:  
𝑏𝑛= 𝑏1𝑞𝑛−1. 
Имеем: 𝑏1 =1/10, 𝑞=1/10, следовательно, 𝑏𝑛= (0,1)𝑛.  
Знаменатели дробей образуют арифметическую прогрессию: 1, 4, 7, 10, …;  
n-ый член прогрессии найдём по формуле: 
𝑎𝑛= 𝑎1 + 𝑑(𝑛−1). 

Имеем: 𝑎1 = 1, 𝑑= 3, следовательно, 𝑎𝑛= 3𝑛−2.  
Значит, общий член ряда имеет вид:  
2
3
)1,0
(

n
u
n
n
. 
 
Пример 3. Найти общий член ряда   
...
8
7
6
5
4
3
2
1




 
Решение. 
Числитель дробей: 2𝑛−1, знаменатель дробей: 2𝑛. 
Общий член ряда имеет вид:     𝑢𝑛=
2𝑛−1
2𝑛. 
 
Пример 4. Найти общий член ряда   
...
81
8
27
6
9
4
3
2




 
Решение.  
Числитель дробей: 2𝑛, знаменатель дробей: 3𝑛. 
Общий член ряда имеет вид:  𝑢𝑛=
2𝑛
3𝑛. 
 
Пример 5. Найти общий член ряда   
...
7
4
5
2
2
3
2
2




 
Решение. 
Числитель дробей: (√2)
𝑛, знаменатель дробей: √2𝑛−1. 
Общий член ряда имеет вид:  𝑢𝑛=
(√2)
𝑛
√2𝑛−1. 
 
Определение 2. Суммы конечного числа членов ряда ∑
𝑢𝑛
∞
𝑛=1
 
𝑆1 = 𝑢1,
𝑆2 = 𝑢1 + 𝑢2, … ,
𝑆𝑛= 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯+ 𝑢𝑛 
называются частичными суммами этого ряда. 
Частичные суммы образуют некоторую последовательность 𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝑛, … 
Таким образом, каждому ряду ∑
𝑢𝑛
∞
𝑛=1
 соответствует последовательность {Sn} 
его частичных сумм. 
Определение 3. Ряд ∑
𝑢𝑛
∞
𝑛=1
называется сходящимся, если предел последовательности {Sn} его частичных сумм существует и равен конечному числу. Этот 
предел называется суммой ряда: 
𝑆= lim
𝑛→∞𝑆𝑛, 
при этом пишут: 𝑆= ∑
𝑢𝑛
∞
𝑛=1
. 

Определение 4. Ряд ∑
𝑢𝑛
∞
𝑛=1
 называется расходящимся, если предел последовательности его частичных сумм не существует или равен бесконечности. 
Рассмотрим примеры на определение сходимости (расходимости) ряда по 
определениям 3, 4. 
Пример 1. Рассмотрим ряд: 
1 −1 + 1 −1 + ⋯= ∑
(−1)𝑛−1
∞
𝑛=1
. 
Так как для этого ряда частичная сумма принимает значения: 
𝑆𝑛= { 0,   если  𝑛−четное,
1, если  𝑛− нечетное, 
то последовательность {𝑆𝑛} не имеет предела при 𝑛→∞. Следовательно, ряд 
∑
(−1)𝑛−1
∞
𝑛=1
 расходится. 
 
Пример 2. Рассмотрим ряд 
        𝑎+ 𝑎𝑞+ 𝑎𝑞2 + ⋯+ 𝑎𝑞𝑛−1 + ⋯                                  (*) 
Это геометрическая прогрессия с первым членом 𝑎, 𝑎≠0 и знаменателем 
𝑞,   где  𝑞∈𝑅.  
Сумма первых n членов геометрической прогрессии при условии, что   
|𝑞| ≠1, определяется по формуле: 
𝑆𝑛= 𝑎−𝑎𝑞𝑛
1 −𝑞       ⟹     𝑆𝑛=
𝑎
1 −𝑞 −𝑎𝑞𝑛
1 −𝑞 . 
Рассмотрим случаи: 
1) 
если 𝑞= 1,  то ряд (*) принимает вид: 
𝑎+ 𝑎+ 𝑎+. . +𝑎+ ⋯, 
𝑆𝑛= 𝑛𝑎,    lim
𝑛→∞𝑆𝑛= lim
𝑛→∞𝑛𝑎= ∞,   
то есть ряд расходится; 
2) 
если 𝑞= −1,  то ряд (*) принимает вид: 
𝑎−𝑎+ 𝑎−𝑎+ ⋯ 
 
 
 

В этом случае 
𝑆𝑛= { 0,   если  𝑛−четное,
  𝑎, если  𝑛− нечетное. 
Следовательно, lim
𝑛→∞𝑆𝑛   не существует ⟹  ряд расходится; 
3) 
если |𝑞| < 1,  то 𝑞𝑛→0 при 𝑛→∞   и, следовательно,  
lim
𝑛→∞𝑆𝑛= lim
𝑛→∞(
𝑎
1 −𝑞−𝑎𝑞𝑛
1 −𝑞) =
𝑎
1 −𝑞. 
значит, при |𝑞| < 1   ряд сходится и его сумма равна: 𝑆=
𝑎
1−𝑞; 
4) 
если 𝑞> 1,  то  𝑞𝑛→∞ при 𝑛→∞   и, следовательно,  
lim
𝑛→∞𝑆𝑛= ∞⟹ ряд расходится; 
5) 
если 𝑞< −1,  то lim
𝑛→∞𝑞𝑛 не существует и, следовательно, не существует и lim
𝑛→∞𝑆𝑛, то есть ряд расходится; 
Таким образом, подводя итоги, заключаем, что ряд  
𝑎+ 𝑎𝑞+ 𝑎𝑞2 + ⋯+ 𝑎𝑞𝑛−1 + ⋯ 
сходится при |𝑞| < 1  и сумма его равна 
𝑎
1−𝑞, и ряд расходится при |𝑞| ≥1.  
 
Пример 3. Рассмотрим ряд Стирлинга: 
∑
1
𝑛(𝑛+1)
∞
 𝑛=1
. 
Выпишем первые 𝑛 членов ряда: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑢1 =
1
1 ∙2 = 1 −1
2
𝑢2 =
1
2 ∙3 = 1
2 −1
3
𝑢3 =
1
3 ∙4 = 1
3 −1
4
… … … … … … … … … … … 
𝑢𝑛−1 =
1
(𝑛−1) ∙𝑛=
1
𝑛−1 −1
𝑛
𝑢𝑛=
1
𝑛∙(𝑛+ 1) = 1
𝑛−
1
𝑛+ 1
 
 

Почленно сложим левые и правые части данных равенств, получим: 
𝑢1 + 𝑢2 + … + 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛= 𝑆𝑛= 1 −
1
𝑛+ 1 
Найдем предел  последовательности {Sn} частичных сумм этого ряда: 
lim
𝑛→∞𝑆𝑛= lim
𝑛→∞(1 −
1
𝑛+ 1) = 1 −0 = 1. 
Следовательно, ряд Стирлинга сходится и сумма его равна 1. 
 
Примеры числовых рядов,  
часто используемых при исследовании сходимости заданного ряда 
 
1. 
 – гармонический ряд; расходится. 
2. 
 – обобщенный гармонический ряд; сходится при р>1, расходится 
при p
1. 
3. 
 – ряд геометрической прогрессии; сходится при 
  
и расходится при 
. 
Определение 5. Ряд  
𝑢𝑘+1 + 𝑢𝑘+2 + ⋯+ 𝑢𝑘+𝑚+ ⋯, 
членами которого является все члены ряда 

1
n
n
u , начиная с (k+1)-го, взятые в 
том же порядке, что и в исходном ряде, называется остатком k-го порядка ряда 


1
n
n
u  и обозначается 𝑟𝑘, то есть 
𝑟𝑘=
∑𝑢𝑛
∞
𝑛=𝑘+1
= ∑𝑢𝑘+𝑚
∞
𝑚=1
. 


1
1
n n


1
1
n
p
n







1
1
,0
,
n
n
R
q
a
aq
1

q
1

q