Алгебра и геометрия

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
(РИНХ)» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ 
 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ) 
2022 

УДК 512+514(075) 
ББК 22.1 
А 45 
 
Авторы: 
Чувенков А.Ф., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры фундаментальной  
и прикладной математики (ФиПМ) РГЭУ (РИНХ);   
Рутта Н.А., кандидат экономических наук, доцент кафедры ФиПМ РГЭУ (РИНХ);  
Стрюков М.Б., доктор физико-математических наук, профессор кафедры ФиПМ; 
Абдулрахман Х.Н., кандидат физико-математических наук,  
старший преподаватель кафедры ФиПМ РГЭУ (РИНХ). 
 
А 45     Алгебра и геометрия : учебное пособие / А.Ф. Чувенков и др. – 
Ростов-на-Дону : Издательско-полиграфический комплекс Рост. 
гос. экон. ун-та (РИНХ), 2022. – 164 с. 
ISBN 978-5-7972-3023-6 
 
 
 
Учебное пособие содержит теоретический и практический материал курса «Алгебра и геометрия». Материал сгруппирован в параграфы по темам, в 
начале каждого параграфа содержится подробное изложение теоретического 
материала и решение некоторых типовых задач. В конце параграфов представлены задачи различного уровня сложности, начиная от простейших и заканчивая повышенным уровнем сложности. 
 
Предназначено для проведения занятий по курсу «Алгебра и геометрия» 
и организации домашней самостоятельной работы студентов очной и очнозаочной формы обучения направления подготовки «Прикладная математика и 
информатика». 
УДК 512+514(075) 
ББК 22.1 
 
Рецензенты: 
д.ф.-м.н., профессор кафедры информатики и вычислительного эксперимента ИММ КН им. И.И.Воровича ЮФУ Муратова Г.В.; 
к.ф.-м.н., доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики 
РГЭУ (РИНХ) Богачев Т.В. 
 
Утверждено в качестве учебного пособия  
учебно-методическим советом РГЭУ (РИНХ). 
 
 
ISBN 978-5-7972-3023-6 
© Чувенков А.Ф., Рутта Н.А., 
Стрюков М.Б., Абдулрахман Х.Н., 2022 
© Ростовский государственный  
экономический университет (РИНХ), 2022 

Оглавление 
 
Предисловие ............................................................................................................... 6 
§ 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии ..................... 7 
1.1. Линейные операции над геометрическими векторами .................................... 7 
1.2. Описание вектора в декартовой системе координат ...................................... 11 
1.3. Условие коллинеарности векторов в координатах ......................................... 12 
1.4. Длина вектора и направляющие косинусы ...................................................... 13 
1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме ...................... 14 
1.6. Скалярное произведение векторов ................................................................... 15 
1.7. Задание 1 ............................................................................................................. 17 
§ 2. Классические n-мерные векторные (линейные) пространства .............. 18 
2.1. Арифметическое n-мерное векторное (линейное) пространство An ............. 18 
2.2. Евклидово n-мерное метрическое пространство Rn ........................................ 19 
2.3. Задание 2 ............................................................................................................. 21 
§ 3. Матрицы и действия над ними ..................................................................... 22 
3.1. Матрицы. Основные определения и операции ................................................ 22 
3.2. Задание 3 ............................................................................................................. 24 
§ 4. Определители .................................................................................................... 25 
4.1. Определение и основные свойства определителей ........................................ 25 
4.2. Определенные системы. Формулы Крамера. 
Матричный способ решения СЛАУ ........................................................................ 28 
4.3. Задание 4 ............................................................................................................. 31 
§ 5. Элементы векторной алгебры. Разложение вектора  
по базису системы векторов .................................................................................. 33 
5.1. Векторное произведение векторов ................................................................... 33 
5.2. Смешанное произведение векторов ................................................................. 34 
5.3. Линейная зависимость векторов и еѐ связь 
с линейной комбинацией векторов .......................................................................... 35 
5.4. Общие условия линейной зависимости (независимости) векторов .............. 35 
5.5. Понятие базиса системы векторов .................................................................... 37 
5.6. Разложение вектора по базису системы векторов .......................................... 38 
5.7. Аффинная система координат .......................................................................... 39 
5.8. Полярная система координат. Основные понятия и обозначения ................ 40 
5.9. Задание 5 ............................................................................................................. 42 
§ 6. Прямая и плоскость ......................................................................................... 43 
6.1. Прямая на плоскости .......................................................................................... 43 
6.2. Плоскость, общее уравнение плоскости .......................................................... 48 
6.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки ...................................... 51 
6.4. Канонические уравнения прямой в пространстве .......................................... 52 
6.5. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки ...... 53 
6.6. Прямая как линия пересечения плоскостей ..................................................... 53 
6.7. Параметрические уравнения прямой в пространстве ..................................... 54 
6.8. Задание 6 ............................................................................................................. 54 

§ 7. Комплексные числа ......................................................................................... 56 
7.1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел и действия с ними ....... 56 
7.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел ..................................... 57 
7.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.  
Умножение и деление комплексных чисел ............................................................ 58 
7.4. Возведение в степень и извлечение корня ....................................................... 62 
7.5. Решение алгебраических уравнений в комплексной области ....................... 63 
7.6. Задание 7 ............................................................................................................. 65 
§ 8. Абстрактные векторные (линейные) пространства ................................. 67 
8.1. Определение абстрактного линейного пространства ..................................... 67 
8.2. Линейные комбинации векторов. Подпространства ...................................... 68 
8.3. Размерность, базис абстрактного векторного пространства. 
Координаты вектора в базисе ................................................................................... 69 
8.4. Изоморфизм векторных пространств ............................................................... 74 
8.5. Задание 8 ............................................................................................................. 75 
§ 9. Линейные отображения (операторы) ........................................................... 76 
9.1. Основные понятия и определения. Линейное пространство L(X, Y) ............ 76 
9.2. Изоморфизм пространств: 
A
L~ (Xn, Ym) ↔ LAmn. Матрица преобразования 
координат. Обратная матрица .................................................................................. 80 
9.3. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы ......................................................... 85 
9.4. Преобразование координат в пространстве Rn. 
Невырожденные и подобные матрицы ................................................................... 87 
9.5. Задание 9 ............................................................................................................. 91 
§ 10. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ...................... 93 
10.1. Общая характеристика СЛАУ. Метод Гаусса решения систем. 
Критерий совместности системы. Ранг системы ................................................... 93 
10.2. Определенные системы ................................................................................... 97 
10.3. Неопределенные системы. Структура общего решения 
неоднородной СЛАУ................................................................................................. 98 
10.4. Сопряженное отображение   . Альтернатива Фредгольма для СЛАУ .. 102 
10.5. Несовместные (переопределенные) СЛАУ. Приближенное решение. 
Метод наименьших квадратов (МНК). Уравнение регрессии ............................ 103 
10.6. Гиперплоскости в пространстве Rn .............................................................. 105 
10.7. Приложение к оценке решений задач оптимизации  
с приближенными данными ................................................................................... 107 
10.8. Задание 10 ....................................................................................................... 115 
§ 11. Инвариантные подпространства. Собственные векторы 
и собственные значения линейного преобразования ..................................... 117 
11.1. Инвариантные подпространства ................................................................... 117 
11.2. Собственные векторы и собственные значения  
линейного преобразования ..................................................................................... 118 
11.3. Задание 11 ....................................................................................................... 121 
§ 12. Понятие гильбертовых пространств ........................................................ 122 
12.1. Основные определения и свойства гильбертова пространства ................. 122 

12.2. Линейные операторы в гильбертовом пространстве .................................. 126 
12.3. Ортонормированный базис. Ортогонализация системы  
независимых векторов ............................................................................................ 129 
12.4. Ортогональные преобразования в евклидовом пространстве Rn. 
Ортогональные матрицы ........................................................................................ 131 
12.5. Задание 12 ....................................................................................................... 133 
§ 13. Понятие кривых линий второго порядка на плоскости ...................... 135 
13.1. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса .................................................. 135 
13.2. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы ....................................... 138 
13.3. Парабола. Каноническое уравнение параболы ........................................... 140 
13.4. Задание 13.1 .................................................................................................... 142 
13.5. Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота 
и переноса декартовой прямоугольной системы координат .............................. 143 
13.6. Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения  
поверхности второго порядка к каноническому виду ......................................... 143 
13.7. Решение примеров на определение вида поверхности 
второго порядка ....................................................................................................... 150 
13.8. Задание 13.2 .................................................................................................... 151 
§ 14. Самосопряженный (симметричный) оператор. 
Приведение квадратичных форм к сумме квадратов ................................... 152 
14.1. Определение и основные свойства самосопряженного оператора ........... 152 
14.2. Приведение квадратичной формы от n переменных  
к каноническому виду ............................................................................................. 154 
14.3. Задание 14 ....................................................................................................... 155 
§ 15. Приложения к аналитической геометрии ............................................... 157 
15.1. Приведение квадратичной формы от двух переменных 
к каноническому виду ............................................................................................. 157 
15.2. Классификация квадратичных форм ............................................................ 157 
15.3. Классификация кривых второго порядка на плоскости, 
задаваемых общим уравнением ............................................................................. 158 
15.4. Задание 15 ....................................................................................................... 159 
§ 16. Алгебраические структуры ........................................................................ 160 
16.1. Алгебраические структуры: группы ............................................................. 160 
16.2. Алгебраические структуры: кольца ............................................................. 161 
16.3. Алгебраические структуры: поля ................................................................. 161 
Литература .............................................................................................................. 163 
 
 
 
 
 
 
 
 

Предисловие 
 
 
Настоящее пособие соответствует программе дисциплины «Алгебра и 
геометрия» для бакалавров очной и очно-заочной формы обучения по направлению «Прикладная математика и информатика». Пособие содержит кратко изложенную теорию по курсу, а также задачи различных уровней сложности по 
соответствующим разделам. Изложение дается конспективно, в логически связанной форме, приводятся доказательства, причем достаточно кратко, только 
тех теорем, которые разъясняют суть дела, демонстрируя логику или метод доказательства. Все остальные утверждения разъясняются на подробно разобранных примерах. 
Теоретический материал проиллюстрирован примерами применения изучаемых математических понятий при решении практических задач и экономических расчетах. Материал изложен с учетом его дальнейшего применения в 
дисциплинах «Исследование операций», «Методы оптимизации» и «Математические модели экономики». Пособие также предназначено для студентов, занимающихся самообразованием, разновидностью которого, по сути, является заочное образование. В пособие включен ряд заданий (с ответами), выполняя которые читатель может проверить степень усвоения им соответствующего материала. 
 
Нумерация определений, формул, задач самостоятельна в каждом параграфе. Символика и терминология соответствуют учебным пособиям, рекомендуемым программой курса дисциплины «Алгебра и геометрия». 
 
 

§ 1. Элементы векторной алгебры 
и аналитической геометрии 
 
1.1. Линейные операции над геометрическими векторами 
 
Физическими примерами векторных величин могут служить перемещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение 
этой точки, а также действующая на неѐ сила. 
Геометрический вектор представляется в одномерном, двумерном и 
трѐхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец. Если A – начало вектора, а B – его конец, то вектор обозначается символом    
⃗⃗⃗⃗⃗⃗  или одной строчной буквой    
⃗⃗⃗⃗ . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1). 
 
Рисунок 1  
Длиной (или модулем) геометрического вектора    
⃗⃗⃗⃗⃗  называется длина 
порождающего его отрезка AB . 
Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при 
совпадении направлений) путѐм параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины. 
В физике часто рассматриваются закреплѐнные векторы, заданные точкой 
приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет 
значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление, в любую 
точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы. 
Умножение вектора на число. Произведением вектора   ⃗⃗⃗  на число 
называется вектор, получающийся из вектора  ⃗⃗⃗   растяжением (при 
1


) или 
сжатием (при 
1


) в  раз, причѐм направление вектора  ⃗⃗⃗  сохраняется, если 
0


, и меняется на противоположное, если
0


 (рис. 2). 

Рисунок 2 
Из определения следует, что векторы     и  ⃗      всегда расположены на 
одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными 
(можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить коллинеарны). Справедливо и обратное утверждение: 
если векторы    
⃗⃗⃗  и  ⃗⃗  коллинеарны, то они связаны отношениеми  
                       ⃗                                                               (1) 
Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух 
векторов. 
Сложение и вычитание векторов. При сложении векторов нужно знать, 
что суммой векторов    и  ⃗⃗   называется вектор        ⃗ , начало которого совпадает с началом вектора   , а конец – с концом вектора  ⃗⃗ , при условии, что 
начало вектора  ⃗  приложено к концу вектора    (рис. 3). 
 
 
Рисунок 3 
Это определение может быть распространено на любое конечное число 
векторов. Пусть в пространстве даны n свободных векторов   
⃗⃗⃗⃗  ,    , …,    . При 
сложении нескольких векторов за их сумму принимают замыкающий вектор, 
начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего вектора. То есть если к концу вектора   ⃗⃗⃗    приложить начало 
ра   
⃗⃗⃗⃗  , а к концу вектора  ⃗⃗⃗   – начало вектора  ⃗⃗⃗   и т.д. и, наконец, к концу вектора  ⃗⃗⃗     – начало вектора    , то суммой этих векторов служит замыкающий 
вектор   
⃗⃗⃗         + … +   , начало которого совпадает с началом первого вектора    , а конец – с концом последнего вектора     (рис. 4). 

Рисунок 4 
Слагаемые  ⃗⃗⃗  ,    , …,     называются составляющими вектора   
⃗⃗⃗ , а сформулированное правило – правилом многоугольника. Этот многоугольник может 
и не быть плоским. 
При умножении вектора  ⃗⃗⃗  на число -1 получается противоположный вектор    . Векторы    и     имеют одинаковые длины и противоположные направления. Их сумма  ⃗⃗⃗ + (      ⃗  даѐт нулевой вектор, длина которого равна нулю. 
Направление нулевого вектора не определено. 
В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора   
⃗⃗⃗⃗  вектор  ⃗⃗  означает прибавить к вектору     противоположный вектор   ⃗ , то есть     ⃗        ⃗  .  
Пример 1.Упростить выражение:  (      ⃗ )   ( ⃗     )     . 
Решение.  (      ⃗ )   ( ⃗     )            ⃗    ⃗                ⃗ . 
Векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены. 
Пример 2. Векторы    
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗     
⃗⃗⃗⃗ и   
⃗⃗⃗⃗⃗⃗   ⃗  служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через   
⃗⃗⃗⃗  и  ⃗  векторы    
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,   
⃗⃗⃗⃗⃗ ,   
⃗⃗⃗⃗⃗  и   
⃗⃗⃗⃗⃗ , являющиеся сторонами этого параллелограмма. 
 
 
Рисунок 4 а 
Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую 
диагональ пополам. Длины используемых в условии задачи векторов находим 
либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо 
как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего 
диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком 
минус. Результат 
  
⃗⃗⃗⃗⃗  
 ⃗   ⃗ 
 ,   
⃗⃗⃗⃗⃗  
 ⃗   ⃗ 
 ,   
⃗⃗⃗⃗⃗  
 ⃗   ⃗ 
 ,   
⃗⃗⃗⃗⃗   
 ⃗   ⃗ 
 . 

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на ось равна произведению 
длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью: 
      |  |       
Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание    перпендикуляра    , опущенного из этой точки на прямую (плоскость). 
 
 
Рисунок 5 
Пусть   
⃗⃗⃗⃗⃗⃗  – произвольный вектор (рис. 5), а    и    – проекции его начала 
(точки A) и конца (точки B) на ось l. Для построения проекции точки A на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определяет требуемую проекцию. Составляющей вектора    
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗      на оси l называется такой вектор      
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗    
⃗⃗⃗ , лежащий на этой 
оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец – с проекцией конца вектора    
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Проекцией вектора    
⃗⃗⃗⃗⃗⃗  на ось l называется число 
       
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗   |    
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |   |  
⃗⃗⃗ |, 
равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если 
направление составляющего вектора совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны. 
Основные свойства проекций вектора на ось: 
1) проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой; 
2) при умножении вектора на число его проекция умножается на это же 
число; 
3) проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на 
эту же ось слагаемых векторов; 
4) проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого 
вектора на косинус угла между вектором и осью:         |  |    . 
Пример 3. Рассчитать проекцию суммы векторов    (    ⃗       ) на 
ось l, если |  |   , | ⃗ |   , |  |   , |  |   , а углы -         ,         
  
 , 
         ,  (    )  
 
 .