Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Ростовский государственный экономический университет (РИНХ) 
Факультет компьютерных технологий и информационной безопасности 
Кафедра фундаментальной и прикладной математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Г. А. БАТИЩЕВА, М. И. ЖУРАВЛЕВА, Г. В. ЛУКЬЯНОВА  
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
ПО ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА КУРСА 
 ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ(РИНХ) 
2021

УДК 517.4(07) 
ББК 22.161 
      Б 28 
 
Батищева, Г. А. 
Б 28  Математический анализ. Дифференциальное исчисление : учебное пособие по изучению раздела курса высшей математики [Электронный ресурс] / 
Г. А. Батищева, М. И. Журавлева, Г. В. Лукьянова. – Ростов-на-Дону : Издательско-полиграфический комплекс Ростовского государственного экономического университета (РИНХ), 2021. – Электрон. сетевое изд. – 85 с. – 
Режим доступа : http://library.rsue.ru. 
 
 
ISBN 978-5-7972-2864-6 
 
Учебное пособие предназначено для студентов первого курса, обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика» всех форм обучения в соответствии с требованиями ФГОС ВО для помощи в усвоении раздела курса высшей 
математики «Математический анализ. Дифференциальное исчисление» и приобретении практических навыков в решении задач по рассмотренным темам. В 
учебном пособии рассмотрены основные понятия теории дифференциального 
исчисления. Теоретические положения иллюстрируются примерами, приведены 
задачи и упражнения для самостоятельной работы. 
УДК 517.4(07) 
ББК 22.161 
 
Рецензенты: 
С. В. Рогожин,  к.ф.-м.н., доцент кафедры фундаментальной  
и прикладной математики РГЭУ (РИНХ); 
А. В. Братищев,  д.ф.-м.н., профессор  кафедры прикладной математики 
ДГТУ 
 
 
Утверждены в качестве учебного пособия  
учебно-методическим советом РГЭУ (РИНХ) 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7972-2864-6 
 
© Ростовский государственный  
экономический университет 
(РИНХ), 2021 
© Батищева Г. А., Журавлева М. И.,  
Лукьянова Г. В., 2021 

Оглавление 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4 
1.  ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ .......................................................... 5 
1.1. Производная функции ...................................................................................... 5 
К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы ........................................................................ 11 
У п р а ж н е н и я .................................................................................................. 11 
1.2. Некоторые задачи, приводящие к понятию производной .......................... 12 
К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы ........................................................................ 17 
1.3. Основные правила нахождения производных ............................................. 17 
У п р а ж н е н и е................................................................................................... 19 
1.4. Производные основных элементарных функций ........................................ 20 
У п р а ж н е н и е................................................................................................... 27 
1.5. Сводка основных формул производных. Примеры .................................... 27 
1.6. Дифференциал функции ................................................................................ 31 
К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы ........................................................................ 35 
У п р а ж н е н и я .................................................................................................. 35 
1.7. Производные и дифференциалы высших порядков ................................... 36 
К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы ........................................................................ 40 
У п р а ж н е н и я .................................................................................................. 40 
1.8. Основные теоремы дифференциального исчисления................................. 41 
К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы ........................................................................ 50 
У п р а ж н е н и я .................................................................................................. 51 
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ ................. 52 
2.1. Исследование функций на монотонность и экстремумы ........................... 52 
К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы ........................................................................ 61 
У п р а ж н е н и я .................................................................................................. 62 
2.2. Исследование функций на выпуклость, вогнутость и точки перегиба ..... 62 
К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы ........................................................................ 71 
У п р а ж н е н и я .................................................................................................. 71 
2.3. Исследование функций на асимптотику ...................................................... 71 
К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы ........................................................................ 77 
У п р а ж н е н и я .................................................................................................. 77 
2.4. Общая схема исследования функций и построения графиков .................. 77 
К о н т р о л ь н ы е   в о п р о с ы ........................................................................ 83 
У п р а ж н е н и я .................................................................................................. 83 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ................................................. 84 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Цель учебного пособия «Математический анализ. Дифференциальное исчисление» − организация самостоятельной работы студентов по овладению теоретическим и практическим материалом учебной дисциплины «Математический 
анализ и линейная алгебра». 
 
Задачи пособия: 
 
– раскрытие содержание раздела «Дифференциальное исчисление» учебной дисциплины «Математический анализ и линейная алгебра»; 
 
– обеспечение студентов необходимой информацией по данному разделу; 
 
– контроль за текущими знаниями студентов и их оценивание по темам 
«Производные и дифференциалы, основные теооремы дифференциального исчисления, исследование функций с помощью производных, формула Тейлора» 
курса «Математический анализ и линейная алгебра». 
 
Основные функции, выполняемые учебным пособием: 
 
– информационно-познавательная; 
 
– справочная; 
 
– самообразовательная; 
 
– самоконтроля и закрепления знаний. 
 
Каждая тема состоит из теоретической части, решения практических заданий, контрольных вопросов и упражнений, которые студенты должны самостоятельно выполнить. 
 
 

1.  ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 
 
1.1. Производная функции 
 
 1.1. Пусть функция 
 определена на множестве  X,  и 
 –  его предельная точка, причем 
 Пусть 
 и точка 
 
Составим приращение этой функции в точке 
: 
.                         (1.1) 
Производной функции 
 в точке 
 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента  
 когда последнее стремится к 
нулю (при условии, что этот предел существует и конечен): 
 
Функция 
 имеющая в точке 
 производную, называется дифференцируемой 
в этой точке, а сам процесс нахождения производной – дифференцированием. 
Имеет смысл рассматривать и бесконечное значение указанного в определении 1.1 предела. В таких случаях говорят, что функция 
 имеет в точке 
бесконечнуюпроизводную, однако 
 уже не считается дифференцируемой в 
точке 
. Далее, если не оговорено противное, будем считать, что функция 
имеет в точке 
 производную, если она имеет в этой точке конечную производную. 
Для обозначения производной используются различные символы:  
 или  
   (обозначения Лагранжа); 
или  
 (обозначения Лейбница); 
 или 
       (обозначения Коши). 
Подчеркнем, что каждое из этих обозначений следует воспринимать как единое целое. В дальнейшем мы будем преимущественно пользоваться более простыми обозначениями Лагранжа. 
е
и
н
е
л
е
д
е
р
п
О
)
(x
f
y 
0x
.
0
X
x 
,0

x
.
0
X
x
x



0x
)
(
)
(
)
,
(
0
0
0
x
f
x
x
f
x
x
y
y








)
(x
f
y 
0x
,x






x
y
 
x
0
lim






x
x
x
y
 
x
)
,
(
lim
0
0
.)
(
)
(
lim
0
0
0
x
x
f
x
x
f 
x






),
(x
f
0x
)
(x
f
0x
)
(x
f
0x
)
(x
f
0x
0
/
x
y
)
(
0
/ x
f
0
x
dx
dy
dx
x
df
 
)
(
0
0
x
Dy
)
(
0x
f
D

Как следует из определения 1.1, производная функции в фиксированной 
точке есть число. Если производная существует во всех точках некоторого множества X (не обязательно совпадающего с ее областью определения), то в разных 
точках производная будет равна, вообще говоря, разным числам. Следовательно, 
производная функции на множестве X сама будет функцией, определенной на 
этом множестве.  
Если функция дифференцируема в каждой точке множества X,  то говорят, 
что она дифференцируема на множестве X. Отметим, что если производная вычисляется в произвольной точке некоторого множества, то символ “вертикальная 
черта” опускается, а вместо 
 пишут простоx. 
 
Пример 1.1. Найти производную функции  
 в точке 
 а 
также в произвольной точке ее естественной области определения. Находим: 
 
то есть  
 Аналогично в произвольной точке: 
 
то есть   
  или   
                               (1.2) 
 
Пример 1.2. Найти производную функции  
 в любой точке 
 Находим: 
 
следовательно, производная  постоянной  равна  нулю:
 
 
0x
x
x
f
y
/
1
)
(


,3
0 
x

)
3
(
/f







x
f
x
f 
x
)3
(
)
3
(
lim
0







x
x
 
x
3
1
3
1
lim
0
,
9
1
)
3
(3
1
lim
0







x
 
x
.9
/
1
)
/
1(
3



x

)
(
/ x
f







x
x
f
x
x
f
x
)
(
)
(
lim
0







x
x
x
x
x
1
1
lim
0
,
1
)
(
1
lim
2
0
x
x
x
x 
x







2
/
1
1
x
x








.
1
2
2
/
1








x
x
x
.
)
(
const
c
x
f
y



.
R

x

)
(
/ x
f







x
x
f
x
x
f
x
)
(
)
(
lim
0





x
c
c
x
0
lim
,0
0
lim
0



 
x
.0
/ 
c

Пример 1.3. Найти производную функции  
 в любой точке 
 
Находим: 
 
следовательно, производная  аргумента  равна  единице:
 
 
Пример 1.4. Найти производную функции 
 (
 –  натуральное) 
в любойточке ее естественной области определения. Пусть сначала 
. Пользуясь формулой   
 
находим, при условии, что 𝑎= √𝑥+ ∆𝑥
𝑛
 , 𝑏= √𝑥
𝑛
: 
 
 
 
В последнем равенстве при переходе к пределу мы использовали непрерывность 
иррациональной функции. При 
 вычисления выполняем отдельно:  
 
Следовательно, 
 не существует. Таким образом,  
 или  
                            (1.3) 
при всех x, при которых это равенство имеет смысл. 
 
Замечание 1.1. Так как производная функции в точке, как и непрерывность 
функции в точке, определяется через предел, то аналогично понятиям одностоx
x
f
y


)
(
.
R

x

)
(
/ x
f







x
x
f
x
x
f
x
)
(
)
(
lim
0







x
x
x
x
x
)
(
lim
0
,1
1
lim
0 


 
x
.1
/ 
x
n x
x
f
y


)
(
2

n
0

x
),
...
)(
(
1
2
2
3
2
1













n
n
n
n
n
n
n
b
ab
b
a
b
a
a
b
a
b
a

)
(
/ x
f







x
x
f
x
x
f
x
)
(
)
(
lim
0







x
x
x
x
n
n
x
0
lim


















)
...
)
(
)
(
(
)
(
lim
1
2
1
0
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x














n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
0
...
)
(
)
(
1
lim
.
1
1
n
nx
n

0

x

)
0
(
/f







x
x
n
n
x
0
0
lim
0





x
x
n
x
0
lim
.
)
(
1
lim
1
0







n
n
x
x
)
0
(
/
f


n
n
n
x
n
x
1
/
1


1
1
/
1
1








n
n
x
n
x

ронних пределов и точкам односторонней непрерывности  вводятся понятия односторонних производных. При этом все, сказанное ранее об односторонних пределах и односторонней непрерывности, относится и к односторонним производным. Соответствующие факты студентам следует сформулировать самостоятельно (см. упражнения 1.4 и 1.5). 
Следующие две теоремы являются прямыми следствиями определения 1.1. 
Теорема 1.1 (формула приращения дифференцируемой в точке 
 функции). Если функция 
 имеет в точке 
 производную 
 то ее приращение в этой точке можно представить в виде: 
                                    (1.4) 
где 
 есть бесконечно малая функция  при  
 
Действительно, из равенства  
 следует, что 
 где 
 есть бесконечно малая функция  при  
. Умножив это равенство на  
 мы  и  получим формулу (1.4). 
Формула (1.4) называется формулой приращения дифференцируемой в 
точке 
 функции. 
Замечание 1.2. Так как в определении 1.1 предполагалось, что 
 то 
это же ограничение должно действовать и в формуле (1.4). Однако, если положить 
 то формула (1.4) будет верна  и  при  нулевом  значении  
 
Теорема 1.2 (о связи непрерывности с дифференцируемостью).Если функция 
 дифференцируема в точке 
, то она непрерывна в этой точке. 
Доказательство сразу вытекает из определения непрерывности функции на 
языке приращений и формулы (1.4), из которой следует, что при 
 и 
 
Из теоремы 1.2 следует, что если функция 
 дифференцируема на некотором множестве X, то она непрерывна на этом множестве. 
0x
)
(x
f
0x
),
(
0
/ x
f
,
)
(
)
(
0
/
x
x
x
x
f
y







)
( x


.0

x





x
y
 
x
0
lim
)
(
0
/ x
f



x
y
),
(
)
(
0
/
x
x
f


)
( x


0

x
,x

0x
,0

x
,0
)
0
(


.x

)
(x
f
0x
0

x
.0

y
)
(x
f

Отметим, что из непрерывности функции в некоторой точке не следует ее 
дифференцируемость в этой точке (см. пример 1.4, точка 
). 
 
Теорема 1.3 (о производной сложной функции).Если функция 
 
дифференцируема  в точке 
 а  функция 
 дифференцируема в точке 
 то сложная функция 
 дифференцируема  в точке 
 и 
справедливо равенство 
             (1.5) 
Доказательство. Так как функция  
 дифференцируема в точке 
, то по 
(1.4)   
                                     (1.6) 
где 
 есть б.м. при 
 Аналогично, так как функция  
 дифференцируема  в точке 
 то по (1.4)  
                                  (1.7) 
где 
 есть бесконечно малая функция  при 
. Будем считать, что приращение 
 в  (1.7) вызвано приращением 
 то есть задается формулой (1.6). 
Тогда 
 будет приращением сложной функции 
, вызванным приращением 
. Подставив 
 из (1.6) в первое слагаемое (1.7), получим: 
 
отсюда 
. 
Здесь 
, 
 – постоянные, и при 
 также
 (теорема 1.2), 
 а  
 По соответствующим теоремам о бесконечно малых функциях получаем, что функция 
 
0

x
)
(x
g
u 
,
0x
)
(u
f
y 
),
(
0
0
x
g
u 

y
))
(
(
x
g
f
,
0x
).
(
))
(
(
)
(
)
(
))]
(
(
[
0
/
0
/
0
/
0
/
/
0
x
g
x
g
f
x
g
u
f
x
g
f
u
x




)
(x
g
u 
0x
,
)
(
)
(
0
/
x
x
x
x
g
u







)
( x


.0

x
)
(u
f
y 
),
(
0
0
x
g
u 
,
)
(
)
(
0
/
u
u
u
u
f
y







)
( u


0

u
u

,x

y

))
(
(
x
g
f
y 
x

u

,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
/
0
/
0
/
u
u
x
x
u
f
x
x
g
u
f
y














x
y
x
u
u
x
u
f
x
g
u
f






)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
/
0
/
0
/


)
(
0
/ u
f
)
(
0
/ x
g
0

x
,0
)
(

x

0

u
,0
)
(

u




x
u
).
(
0
/ x
g
x
u
u
x
u
f





)
(
)
(
)
(
0
/

