Математический анализ. Функции и пределы

 
 
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 Ростовский государственный экономический университет (РИНХ) 
Факультет компьютерных технологий и информационной безопасности 
Кафедра фундаментальной и прикладной математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Г. А. БАТИЩЕВА, М. И. ЖУРАВЛЕВА, Г. В. ЛУКЬЯНОВА, О. М. ПУШКАРЬ  
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.  
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
ПО ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА 
КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ) 
2020

 
 
УДК 517(075) 
ББК 22.161 
Б 28 
 
Батищева, Г. А. 
Б28  Математический анализ. Функции и пределы : учебное пособие по 
изучению раздела курса высшей математики [Электронный ресурс]. / 
Г. А. Батищева, 
М. И. Журавлева, 
Г. В. Лукьянова, 
О. М. Пушкарь. – 
Ростов-на-Дону : Издательско-полиграфический комплекс Ростовского 
государственного экономического университета (РИНХ), 2020. – Электрон. 
сетевое изд. – 77 с. – Режим доступа : http://library.rsue.ru. 
 
 
ISBN 978-5-7972-2724-3 
 
В учебном пособии рассмотрены основные понятия теории множеств и 
отображений, теории пределов и теории непрерывных функций. Теоретические 
положения иллюстрируются примерами, приведены задачи и упражнения для 
самостоятельной работы. 
Учебное 
пособие 
предназначено 
для 
студентов 
первого 
курса, 
обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика» всех форм обучения в 
соответствии с требованиями ФГОС ВО для помощи в усвоении раздела курса 
высшей математики «Математический анализ. Функции и пределы» и 
приобретении практических навыков в решении задач по рассмотренным темам.  
УДК 517(075) 
ББК 22.161 
 
Рецензенты: 
С. В. Рогожин, к.ф.-м.н., доцент кафедры фундаментальной и прикладной 
математики РГЭУ (РИНХ); 
А. В. Братищев, д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики ДГТУ 
 
Утверждено в качестве учебного пособия  
учебно-методическим советом РГЭУ (РИНХ) 
 
 
ISBN 978-5-7972-2724-3 
© Ростовский 
государственный  
экономический университет (РИНХ), 2020 
© Батищева Г. А., Журавлева М. И,  
Лукьянова Г. В., Пушкарь О. М., 2020 

 
 
 
Оглавление 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ ................................................................... 5 
1.1. Обозначения ....................................................................................................... 5 
1.2. Основные понятия ............................................................................................. 5 
1.3. Операции над множествами ............................................................................. 8 
1.4. Точные верхняя и нижняя грани множества ................................................ 16 
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ .................................................................... 21 
2.1. Отображения и функции ................................................................................. 21 
2.2. Способы задания функций ............................................................................. 24 
2.3. Образ и прообраз элемента, множества ........................................................ 27 
2.4. Композиция отображений .............................................................................. 29 
2.5. Обратимые и обратные отображения ............................................................ 31 
2.6. Инъективные, сюръективные отображения ................................................. 33 
2.7. Графики взаимнообратных функций ............................................................ 35 
2.8. Действия над числовыми функциями ........................................................... 41 
3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ........................................................................................... 45 
3.1. Понятия множества и функции ..................................................................... 45 
3.2. Предел последовательности ........................................................................... 51 
3.3. Предел функции .............................................................................................. 53 
3.4. Основные леммы и теоремы теории пределов ............................................. 54 
3.5. Техника вычисления  пределов функций ..................................................... 56 
4. ТЕОРИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ............................................................. 64 
4.1. Понятие непрерывной функции .................................................................... 64 
4.2. Теоремы о непрерывных функциях .............................................................. 65 
4.3. Примеры непрерывных функций .................................................................. 66 
4.4. Характер точек разрывов непрерывной функции ........................................ 69 
4.5. Примеры разрывов непрерывной функции .................................................. 70 
ОТВЕТЫ ..................................................................................................................... 75 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ................................................ 76 
 

 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Цель учебного пособия «Математический анализ. Функции и пределы» − 
организация самостоятельной работы студентов по овладению теоретическим и 
практическим материалом учебной дисциплины «Математический анализ и 
линейная алгебра». 
 
Задачи пособия: 
 
– раскрытие содержание раздела «Множества, отображения и функции, 
теория пределов и теория непрерывных функций» учебной дисциплины 
«Математический анализ и линейная алгебра»; 
 
– обеспечение студентов необходимой информацией по данному разделу; 
 
– контроль за текущими знаниями студентов и их оценивание по темам 
«Множества, отображения и функции, теория пределов и теория непрерывных 
функций» курса «Математический анализ и линейная алгебра». 
 
Основные функции, выполняемые учебным пособием: 
 
– информационно-познавательная; 
 
– справочная; 
 
– самообразовательная; 
 
– самоконтроля и закрепления знаний. 
 
Каждая тема состоит из теоретической части, решения практических 
заданий и упражнений, которые студенты должны самостоятельно выполнить. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 
 
1.1. Обозначения 
 
∧ − логический знак “и” 
∨ − логический знак “или” 
∃− существует 
∀ – для любого 
∆ − определение 
А ⟹В
В ⟸А} − из утверждения A  следует утверждениеB  
А ⟺В − утверждение A  равносильно утверждению B  
≜− равенство по определению 
N − множество натуральныхчисел 
Z − множество целых чисел 
R − множество действительных чисел 
𝑅+ − множество положительных действительных чисел 
𝑅+  − множество неотрицательных действительных чисел 
𝑅−  − множество отрицательных действительных чисел 
𝑅− − множество неположительных действительных чисел 
 
1.2. Основные понятия 
 
Понятие «множество» − одно из основных понятий математики, оно 
является в математике первичным и строго не определяется через другие более 
простые понятия. ему нельзя дать какое-либо определение, которое не 
сводилось 
бы 
просто 
к 
замене 
синонимами: 
множество 
элементов, 
совокупность элементов и т. п. Основоположник теории множеств немецкий 
математик Георг Кантор говорил, что множество – это многое, мыслимое как 
единое. Можно сказать, что совокупность элементов, объединенных некоторым 
признаком, свойством, составляет понятие множества. 
Множества состоят из элементов. Будем обозначать 
множества 
прописными буквами A, B, С, …, а их элементы – малыми 𝑎, 𝑏, … . Если 
множество Х состоит из элементов a, b, c, то пишут:  
𝑋= {𝑎, 𝑏, 𝑐}. 

 
 
 
Утверждение «элемент a принадлежит множеству A» записывается 
так:𝑎∈𝐴 (или A ∋𝑎). Запись 𝑏∉A (или b∈ A) означает, что элемент b не 
принадлежит множеству А. Множества удобно изображать с помощью 
диаграмм Венна (рис. 1). 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1 − Иллюстрация диаграммой Венна: 𝑎∈𝐴 и 𝑏∉A 
 
Наиболее простыми примерами множеств являются числовые множества: 
𝑁= {1, 2, 3, … , 𝑛, … } − множество всех натуральных чисел; 
𝑍= {… , −2, −1, 0, 1, 2, … } − множество всех целых чисел; 
 
𝑄= {𝑚/𝑛|𝑚, 𝑛∈𝑍, 𝑛≠0} − множество всех рациональных чисел; 
 
𝑅− множество всех действительных чисел. 
Определение. Множество называется конечным, если оно состоит из 
конечного числа элементов. В противном случае оно называется бесконечным. 
Определение. Множества называются равными, если они состоят из 
одних и тех же элементов. Если множества А и В равны, то пишут 𝐴= 𝐵, в 
противном случае пишут А ≠В. 
Пример равных множеств: множество равносторонних треугольников и 
множество равноугольных треугольников. 
Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, 
называется пустым и обозначается символом ∅. 
Пример 
пустого 
множества 
− 
множество 
точек 
пересечения 
параллельных прямых. 
 
Способы задания множеств 
 
Чаще всего множества задают одним из двух способов: 
1. Перечисление − указывают перечень элементов множества. 
Пример 1. Множество, состоящее из элементов 1, 2, 5: 
А = {1, 2, 5}. 

 
 
 
Пример 2. Множество всех натуральных чисел: 
𝑁= {1, 2, 3, … }. 
Указанный способ задания обычно приемлем для конечных множеств, 
хотя с его помощью можно иногда задать и некоторые бесконечные множества 
(например, множество натуральных чисел).  
Пример 3. Какие из приведенных ниже заданий множеств А={1, 2, 3, 5},  и 
В= {2, 4, 5, 5, 6} являются корректными? 
Решение.  
Задание множества А перечислением своих элементов является 
корректным, а при задании множества В не следует указывать один и тот же 
элемент несколько раз. Корректное задание данного множества: В = {2, 4, 5, 6}. 
2. Описание − указывают правило (свойство) для определения того, 
принадлежит или нет данный элемент рассматриваемому множеству: 
𝑋= {𝑥|свойство} или 
Х = {𝑥| утверждение, верное для любого х ∈Х и ложное для любого х ∉Х}. 
Пример 1. Множество четных натуральных чисел можно записать так: 
А = {2𝑛| 𝑛∈𝑁}. 
Пример 2. Множество действительных чисел, принадлежащих отрезку 
[𝑎, 𝑏] можно записать так: 
 𝑋= {𝑥∈𝑅|𝑎≤𝑥≤𝑏}. 
Пример 3. Множество действительных корней уравнения 𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0 
можно указать описанием: 𝑋= {𝑥∈𝑅|𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0} или перечислением: 
𝑋= {2, 3}. 
Определение. Если каждый элемент множества A является элементом 
множества B, то говорят, что множество A является подмножеством 
множества B и пишут 𝐴⊂𝐵 или B ⊃𝐴 (см. рис. 2). Первая из этих записей 
читается так: «множество A содержится во множестве B». Вторая запись 
читается так: «множество B содержит множество A». 
 
 
 
 
 
Рисунок 2 − Иллюстрация диаграммой Венна: 𝐴⊂𝐵 

 
 
 
Из определения подмножества следует: 
1) 𝐴⊂𝐴, т. е. каждое множество является своим подмножеством; 
2) ∅∈𝐴, т. е. пустое множество является подмножеством любого 
множества; 
3) если 𝐴⊂𝐵 и 𝐵⊂𝐶, то 𝐴⊂𝐶; 
4) 𝐴= 𝐵 тогда и только тогда, когда 𝐴⊂𝐵 и 𝐵⊂𝐴. 
Примеры включений: 𝑁⊂𝑅+, 𝑁⊂𝑍⊂𝑄⊂𝑅. 
Пример. Из определения подмножества следует, что следующие 
множества: ∅, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑏, 𝑐}, {𝑎}, {𝑏}, {𝑐} являются 
подмножествами множества {𝑎, 𝑏, 𝑐}. 
Приведем примеры подмножеств множества 𝑅, которые объединяют 
общим названием промежутки: 
– отрезок с концами a и b: 
[𝑎, 𝑏] = {𝑥∈𝑅|𝑎≤𝑥≤𝑏}; 
– интервал с концами a и b: 
(𝑎, 𝑏) = {𝑥∈𝑅|𝑎< 𝑥< 𝑏}; 
– полуинтервалы: 
[𝑎, 𝑏) = {𝑥∈𝑅|𝑎≤𝑥< 𝑏}; 
(𝑎, 𝑏] = {𝑥∈𝑅|𝑎< 𝑥≤𝑏}. 
Интервалы и полуинтервалы могут быть бесконечными: 
[𝑎, +∞) = {𝑥∈𝑅|𝑥≥𝑎}; 
(𝑎, +∞) = {𝑥∈𝑅|𝑥> 𝑎}; 
(−∞, 𝑏] = {𝑥∈𝑅|𝑥≤𝑏}; 
(−∞, 𝑏) = {𝑥∈𝑅|𝑥< 𝑏}; 
(−∞, +∞) = {𝑥∈𝑅|−∞< 𝑥< +∞}. 
Промежуток 
[𝑎, 𝑏] 
называют 
замкнутым, 
промежутки 
(𝑎, 𝑏),
(𝑎, +∞), (−∞, 𝑏), (−∞, +∞) −открытыми, остальные −полуоткрытыми. 
 
1.3. Операции над множествами 
 
Определение. Объединением множеств A и B называется множество, 
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному 
из множеств A или B, и обозначаемое символом 𝐴∪𝐵. 
Используя логическую символику, объединение двух множеств можно 
записать так: 
𝐴∪𝐵= {𝑥|𝑥∈𝐴∨𝑥∈𝐵}.