Комплексный анализ. Теория вычетов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 Ростовский государственный экономический университет (РИНХ) 
Факультет компьютерных технологий и информационной безопасности 
Кафедра фундаментальной и прикладной математики 
 
 
 
 
 
Г. А. БАТИЩЕВА, М. И. ЖУРАВЛЕВА, Г. В. ЛУКЬЯНОВА, П. В. НИКОЛЕНКО  
 
 
 
 
КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ  
ПО ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА 
КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ) 
2020

УДК 517(075) 
ББК 22.1 
Б 28 
 
 
Батищева, Г. А. 
Б28 Комплексный анализ. Теория вычетов : учебное пособие по изучению раздела курса высшей математики [Электронный ресурс]. / Г. А. Батищева, 
М. И. Журавлева, Г. В. Лукьянова, П. В. Николенко. – Ростов-на-Дону : 
Издательско-полиграфический комплекс Ростовского государственного 
экономического университета (РИНХ), 2020. – Электрон. сетевое изд. –  
65 с. – Режим доступа : http://library.rsue.ru. 
 
ISBN 978-5-7972-2726-7 
 
В учебном пособии рассмотрены основные понятия теории степенных рядов, 
рядов Тейлора и Лорана и теории вычетов. Теоретические положения иллюстрируются примерами, приведены задачи и упражнения для самостоятельной работы. 
Учебное пособие предназначено для студентов четвёртого курса, обучающихся по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» в соответствии с требованиями ФГОС ВО для помощи в усвоении раздела курса высшей математики «Комплексный анализ. Теория вычетов» и приобретении практических навыков в решении задач по рассмотренным темам.  
УДК 517(075) 
ББК 22.1 
 
 
Рецензенты: 
С. В. Рогожин, к.ф.-м.н., доцент кафедры фундаментальной  
и прикладной математики РГЭУ (РИНХ); 
А. В. Братищев, д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики ДГТУ 
 
 
Утверждено в качестве учебного пособия  
учебно-методическим советом РГЭУ (РИНХ) 
 
 
ISBN 978-5-7972-2726-7 
© Ростовский 
государственный  
экономический университет (РИНХ), 2020 
© Батищева Г. А., Журавлева М. И,  
Лукьянова Г. В., Николенко П. В., 2020 

 
 
 
Оглавление 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4 
ГЛАВА 1. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА ................................................................ 5 
1.1. Степенные ряды ................................................................................................ 5 
1.2. Ряд Тейлора ...................................................................................................... 13 
1.3. Ряд Лорана ....................................................................................................... 19 
1.4. Изолированные особые точки однозначного характера ............................. 24 
ГЛАВА 2. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ  
В ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ .................................................................... 34 
2.1. Вычеты в ИОТОХ ........................................................................................... 34 
2.2. Вычисление контурных интегралов с помощью теории вычетов ............. 40 
2.3. Вычисление определенных интегралов  
от тригонометрических функций ......................................................................... 46 
2.4. Вычисление несобственных интегралов с помощью теории вычетов ...... 53 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ................................................ 64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Дисциплина «Комплексный анализ» является одной из базовых дисциплин 
математического и естественно-научного цикла дисциплин ФГОС ВПО по 
направлению «Прикладная математика и информатика». Дисциплина является 
общим и теоретическим основанием для многих математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности, входящих в 
ООП бакалавра экономики. 
 
Цель учебного пособия «Комплексный анализ. Теория вычетов» − оснастить студентов математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях; сформировать у студентов представление о комплексном анализе, как об 
одной из важнейших областей современной науки, развить навыки практического применения аппарата комплексного анализа и реализовать изучаемые алгоритмы с помощью современных информационных технологий; организовать 
самостоятельную работу студентов по овладению теоретическим и практическим материалом учебной дисциплины «Комплексный анализ». 
 
Задачи пособия: 
 
– раскрытие содержание раздела «Степенные ряды, ряды Лорана, ряды 
Тейлора, теория вычетов, применение теории вычетов в интегральном исчислении» учебной дисциплины «Комплексный анализ»; 
 
– обеспечение студентов необходимой информацией по данному разделу; 
 
– контроль за текущими знаниями студентов и их оценивание по темам 
«Степенные ряды, ряды Лорана, ряды Тейлора, теория вычетов, применение теории вычетов в интегральном исчислении» курса «Комплексный анализ». 
 
Основные функции, выполняемые учебным пособием: 
 
– информационно-познавательная; 
 
– справочная; 
 
– самообразовательная; 
 
– самоконтроля и закрепления знаний. 
 
Каждая тема состоит из теоретической части, решения практических заданий и упражнений, которые студенты должны самостоятельно выполнить. 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
ГЛАВА 1. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 
 
1.1. Степенные ряды 
 
Степенным рядом называется ряд вида 
 
𝑐0 + 𝑐1(𝑧−𝑧0) + 𝑐2(𝑧−𝑧0)2 + ⋯= ∑𝑐𝑛(𝑧−𝑧0)𝑛
∞
𝑛=0
 
 
где cn(n = 0, 1, 2, ...) и z0 – заданные комплексные числа. 
Все степенные ряды можно разбить на три группы:  
1) сходящиеся только в точке z = z0; 
2) сходящиеся во всей комплексной плоскости;  
3) не попавшие в первые две группы (т. е. те, для которых существуют 
точки z1 и z2, отличные от z0,такие, что при z = z1 ряд сходится, а при 
z = z2 – расходится). 
Ясно, что множество точек сходимости рядов из первой группы состоит из 
одной точки z0, из второй – совпадает с С. В силу первой теоремы Абеля, для 
рядов из третьей группы существует такое число R> 0, что при |z −z0|<R ряд 
сходится абсолютно (и равномерно внутри этого круга), а при |z −z0|>R – расходится. При этом число R называют радиусом, а круг {z: |z −z0| < 𝑅} – кругом 
сходимости степенного ряда. Вопрос о сходимости ряда на границе круга сходимости, т. е. при |z −z0| = R, требует дополнительного исследования и является 
весьма трудным. Естественно считать, что для рядов из первой группы R= 0, а из 
второй −R = +∞. 
Радиус 
сходимости 
степенного 
ряда 
определяется 
по 
формуле 
Коши – Адамара 
1
R = lim sup √|cn|
n
 
 
Следует помнить, что 
R= 0 <=>lim sup √|cn|
n
= +∞; 
 
R=+∞<=> lim sup √|cn|
n
= 0 
 
или, что тоже самое,  

 
 
 
lim √|cn|
n
= 0. 
 
Отметим, что радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по формуле 
 
𝑅= lim
𝑛→∞| 𝑐𝑛
𝑐𝑛+1
| 
 
при условии, что указанный предел существует (конечный или равный +∞). 
Определим радиусы сходимости некоторых конкретных степенных рядов. 
I. Найти радиусы сходимости рядов. 
Пример 1. 
 
∑
(𝑧+ 2)𝑛
𝑛𝑛
∞
𝑛=1
 
 
По формуле Коши – Адамара 
 
1
R = lim
n→∞sup √|cn|
n
= lim 1
n = 0, 
 
следовательно, R = +∞, и ряд сходится абсолютно во всей плоскости. 
Пример 2. 
∑𝑛𝑛! ∗𝑧𝑛2
∞
𝑛=0
 
Здесь, 
𝑐𝑘= {0,
𝑘≠𝑛2
𝑛𝑛, 𝑘= 𝑛2
 и 
 
1
R = lim
k→∞sup √ck
k
= lim
𝑛→∞𝑛n!
𝑛2 = lim
𝑛→∞𝑛
(𝑛−1)!
𝑛
= +∞ 
 
Тогда R = 0, а ряд сходится только в точке z = 0. 
 
Пример 3. 
∑(𝑧−𝑖)2𝑛
𝑛(3𝑛+ 4𝑛)
∞
𝑛=1
 

 
 
 
В данном случае, 
 
𝑐𝑘= {
0,       𝑘≠2𝑛
1
𝑛(3𝑛+ 4𝑛) , 𝑘= 2𝑛 
 
поэтому  
 
1
R = lim
k→∞sup √|ck|
k
=
1
lim
n→∞√𝑛(3𝑛+ 4𝑛)
2𝑛
= 1
2. 
 
Итак, R=2. При |𝑧−𝑖| < 2 ряд сходится абсолютно, а при |𝑧−𝑖| > 2 – расходится. 
 
Пример 4. 
 
∑
(2𝑛)!
(𝑛!)2 𝑧𝑛
∞
𝑛=0
 
 
Вычислим 
 
lim
𝑛→∞| 𝑐𝑛
𝑐𝑛+1
|. 
 
Имеем: 
 
lim
𝑛→∞| 𝑐𝑛
𝑐𝑛+1
| = lim
𝑛→∞
(2𝑛)! ((𝑛+ 1)!)2
(𝑛!)2(2𝑛+ 2)! = lim
𝑛→∞
(𝑛+ 1)2
(2𝑛+ 1)(2𝑛+ 2) = 1
4 
 
Таким образом, R =
1
4 и при |𝑧| <
1
4 ряд сходится абсолютно, а при |𝑧| >
1
4 – расходится. 
 
∑(𝑧+ 𝑖)𝑛
1 + 𝑖𝑛
∞
𝑛=0
 
 
По формуле Коши – Адамара 
 
1
R = lim
𝑛→∞√
1
|1 + 𝑖𝑛|
𝑛
=
1
lim
𝑛→∞(1 + 𝑛2)1/2𝑛=
1
lim
𝑛→∞√𝑛
𝑛
∗(1 +
1
𝑛2)1/2𝑛= 1