Математика. Часть 1. Линейная алгебра

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
 
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
(РИНХ) 
 
 
 
 
 
 
Чувенков А. Ф., Сахарова Л. В., 
Стрюков М. Б. 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
 
ЧАСТЬ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ) 
2019 

УДК 512 (075)  
ББК 22.1 
  Ч 82 
 
Чувенков, А. Ф. 
 Математика. Часть 1. Линейная алгебра : учеб. пособие / 
Ч 82 А. Ф. Чувенков, Л. В. Сахарова, М. Б. Стрюков. – Ростов н/Д : 
Издательско-полиграфический комплекс Рост. гос. экон. ун-та 
(РИНХ), 2019. – 62 с. 
 
ISBN 978-5-7972-2592-8 
978-5-7972-2593-5 
 
 
Учебное пособие содержит теоретический материал курса линейной 
алгебры. Материал сгруппирован в параграфы по темам. В начале каждого 
параграфа содержится подробное изложение теоретического материала и 
решение некоторых типовых задач. В конце параграфов представлены задачи различного уровня сложности, начиная от простейших до повышенного уровня сложности.  
 
Предназначено для проведения занятий по линейной алгебре и организации домашней самостоятельной работы студентов очной и заочной 
формы обучения направлений подготовки «Менеджмент», «Экономика». 
УДК 512 (075)  
ББК 22.1 
 
Рецензенты: 
д. ф.-м. н., профессор кафедры информатики  
и вычислительного эксперимента» ИММ КН им. И. И. Воровича ЮФУ  
Муратова Г. В., 
к. ф.-м. н., доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики 
РГЭУ (РИНХ) Богачев Т. В. 
 
Авторы: 
к. ф.-м. н., доцент Чувенков Анатолий Федорович, 
д. ф.-м. н., доцент Сахарова Людмила Викторовна,  
д. ф.-м. н., доцент Стрюков Михаил Борисович 
 
Утверждено в качестве учебного пособия редакционно-издательским 
советом РГЭУ (РИНХ). 
 
ISBN 978-5-7972-2592-8 
 
 Ростовский государственный  
 
 978-5-7972-2593-5 
экономический университет  
 
(РИНХ), 2019 
 
 Чувенков А. Ф., Сахарова Л. В.,  
 
 
Стрюков М. Б., 2019 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................ 5 
 
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ................................................ 6 
 
§ 1. Классические n-мерные векторные  
(линейные) пространства ................................................................. 6 
1. Арифметическое n-мерное векторное  
(линейное) пространство An ............................................................. 6 
2. Евклидово n-мерное метрическое  
пространство Rn ................................................................................. 7 
 
§ 2. Матрицы и действия над ними................................................ 9 
1. Матрицы. Основные определения и операции ....................... 9 
 
§ 3. Определители. Основные свойства ...................................... 12 
 
§ 4. Абстрактные векторные  
(линейные) пространства ............................................................... 16 
1. Определение и примеры абстрактных  
линейных пространств ................................................................... 16 
2. Линейные комбинации векторов.  
Подпространства ............................................................................. 19 
3. Размерность, базис абстрактного  
векторного пространства. Координаты вектора ...................... 20 
4. Изоморфизм векторных пространств ..................................... 26 
 
 

§ 5. Линейные отображения (операторы) ................................... 28 
1. Основные понятия и определения.  
Линейное пространство L(X, Y) .................................................... 28 
2. Изоморфизм поространств 
A
L ~  (Xn, Ym) и LAm×n.  
Матрица преобразования координат.  
Обратная матрица ........................................................................... 33 
3. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы .............................. 39 
 
§ 6. Системы линейных алгебраических  
уравнений (СЛАУ)........................................................................... 42 
1. Общая характеристика.  
Метод Гаусса решения СЛАУ.  
Критерий совместности системы.  
Ранг системы .................................................................................... 42 
2. Определенные системы. Правило Крамера.  
Матричный способ решения СЛАУ ............................................ 48 
3. Неопределенные системы.  
Структура общего решения неоднородной СЛАУ ................... 53 
4. Несовместные (переопределенные) СЛАУ.  
Приближенное решение.  
Метод наименьших квадратов (МНК).  
Уравнение регрессии ...................................................................... 58 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................ 61 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
 
Настоящее пособие соответствует программе дисциплины 
«Математика» для бакалавров дневного и заочного отделений 
подготовки по направлениям «Менеджмент», «Экономика». Пособие содержит кратко изложенную теорию по дисциплине «Линейная алгебра», а также задачи различных уровней сложности 
по соответствующим разделам. Изложение дается конспективно, 
в логически связанной форме, приводятся доказательства только 
тех теорем, которые разъясняют суть дела, демонстрируя логику 
или метод доказательства и достаточно кратки. Все остальные 
утверждения разъясняются на подробно разобранных примерах. 
Теоретический материал проиллюстрирован примерами 
применения изучаемых математических понятий в экономических расчетах. Материал изложен с учетом его дальнейшего применения в дисциплинах «Линейное программирование», «Методы оптимизации» и «Математические модели экономики». Пособие предназначено студентам, занимающимся самообразованием, 
разновидностью которого, по сути, является заочное образование. 
В пособие включен ряд заданий (с ответами), выполняя которые 
читатель может проверить степень усвоения им соответствующего материала. 
 
Нумерация задач самостоятельна в каждом параграфе. Символика и терминология соответствуют учебным пособиям, рекомендуемым программой курса дисциплины «Математика». 
 
 

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 
 
 
§ 1. Классические n-мерные векторные  
(линейные) пространства 
 
1. Арифметическое n-мерное векторное (линейное) пространство An 
Пусть дано произвольное натуральное число n. Будем называть любой набор из n действительных чисел, данных в определенном порядке, n-мерным вектором x  = (x1, x2, …, xn). Сами 
числа х1, х2, … хn будем называть координатами вектора х.  
Определение 1. Совокупность Аn всех n-мерных векторов 
называется n-мерным векторным пространством (арифметическим или числовым). 
Эта математическая модель может описывать количественно различные вещи. При n = 1, 2, 3 – координаты точек прямой, 
плоскости или реального пространства. Если возраст, рост, вес 
ребенка – 7 лет, 1,1 м, 35 кг соответственно, то эти характеристики могут быть представлены как вектор (точка) (7; 1,1; 35) в 3мерном пространстве. Более распространены конструкции однородных данных. Предположим возраст четверых детей – 7, 5, 6 и 
5 лет. Эти данные могут быть представлены как точка (вектор) x  
с координатами x = (7, 5, 6, 5) в четырехмерном пространстве. 
Определив в этом пространстве операции сложения двух векторов и умножения вектора на число, получим линейное пространство Аn. 
Суммой двух векторов x  и y = (у1, у2, …, уn) будем называть вектор: 
x + y = (х1+у1, х2+у2, …, х n+yn). 
(1) 

Произведением вектора x на число R будем называть 
вектор 
x =(х1, х2, …, хn). 
(2) 
Нулевым вектором называется вектор 0 = (0, 0, … 0). Это 
единственный вектор, удовлетворяющий для любого вектора x  
условию x + 0= x . 
Вектором, противоположным вектору x = (х1, х2, … хn), 
назовем вектор 
x
=(х1, 
2x

, … -хn); это единственный вектор 
удовлетворяющий условию x +(
x
)=0. 
Векторы x , y назовем равными, если равны их соответствующие координаты: х1=у1, х2=у2, …, хn=yn. Определенные таким образом линейные операции над векторами обладают всеми 
алгебраическими свойствами, присущими числам, (коммутативность и ассоциативность сложения, свойства дистрибутивности 
умножения на число и т. д.). В частности, верны формулы: 1x = x , 
0x =0, (1) x =x . Это позволяет определять линейные комбинации векторов x , y вида x +y, где ,  – произвольные вещественные числа. 
Пример 1. Если x =(-2, 3, 1, 0), y=(1, 0, 4, -3), то 2 x –3 y=  
2 (-2, 3, 1, 0,) – 3 (1, 0, 4, -3) = (-4, 6, 2, 0) – (3, 0, 12, -9) =  
(-7, 6, -10, 9). 
 
2. Евклидово n-мерное метрическое пространство Rn 
Введем в векторном пространстве Аn скалярное произведение векторов x =(х1, х2, … хn), y=(у1, у2, … уn) формулой: 
x y= х1у1+х2·у2+…+xn·yn . 
(3) 
Из определения вытекают следующие свойства «скалярного 
умножения» для любых векторов x , y, z An и любого числа R: 
1. x y= yx ,