Математические методы финансового анализа

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
ФГБОУ ВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)» 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л.В. Сахарова, 
С.В. Рогожин 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 
ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА 
 
 
Учебное пособие 
 
По направлению подготовки 
«Прикладная математика и информатика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
2018 
 

УДК519.2 
ББК22.1 
С22 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Дифференциальные и интегральные уравнения» ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» Н.В. Боев, 
канд. экон. наук, доц. кафедры «Фундаментальная и прикладная математика» 
ФГБОУ ВПО РГЭУ (РИНХ) Т.В. Алексейчик 
 
 
 
Сахарова Л.В., Рогожин С.В. 
С22    Математические методы финансового анализа: учеб. пос. [Электронный 
ресурс]. – Ростов н/Д.: Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ 
(РИНХ), 2018. – 104 с. – Режим доступа: http://library.rsue.ru. 
ISBN 978-5-7972-2535-5 
 
Учебное пособие содержит теоретический материал, а также 50 задач по 
математичесим методам финансового анализа  в услових определенности, то 
есть в предпложении, что данные для анализа заранее известны и фиксированы. 
Материал сгруппирован в двенадцать параграфов, содержащих основополагающие понятия и формулы, а также подробный разбор сферы и результатов 
применения различных методов наращения (дисконтирования) денежных сумм. 
Подробно рассмотрены понятие финансовой операции и методы определения 
ее доходности. Освещены основные понятия теории потоков платежей, что создает основу для анализа производственных и финансовых инвестиций в условиях определенности. 
Предназначено для проведения занятий по дисциплине «Математические 
методы финансового анализа», а также организации домашней самостоятельной работы студентов очной и очно-заочной формы обучения направления подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика». 
УДК519.2 
ББК22.1 
 
 
ISBN 978-5-7972-2535-5                      Сахарова Л.В., Рогожин С.В., 2018 
 РГЭУ (РИНХ), 2018 

Оглавление 
Введение ....................................................................................................................... 6 
§ 1. Методы наращения и дисконтирования денежных сумм ................................ 7 
1.1. 
Основные определения и формулы ........................................................... 7 
1.2. 
Методы наращения по ставке i................................................................... 9 
1.3. 
Методы дисконтирования ......................................................................... 13 
1.4. 
Наращение по учетной ставке .................................................................. 16 
1.5. 
Свойства наращенной суммы долга ........................................................ 19 
1.6. 
Свойства современной величины суммы погашаемого долга .............. 21 
1.7. 
Эквивалентность процентных ставок ...................................................... 21 
1.8. 
Номинальные и эффективные процентные  ставки ............................... 23 
1.9. 
Переменные процентные ставки .............................................................. 29 
§ 2. Доходность финансовой операции ................................................................... 31 
§ 3. Эквивалентные серии платежей ....................................................................... 34 
§ 4. Потоки платежей. Основные характеристики потока платежей ................... 38 
§ 5. Финансовая рента. .............................................................................................. 43 
5.1. Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты ............. 43 
5.2. Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты ............. 51 
5.3. Определение параметров ренты ................................................................... 52 
§ 6. Оценка эффективности инвестиционных проектов ....................................... 53 
6.1. Инвестиции и их виды ................................................................................... 53 
6.2. Показатели эффективности инвестиционных проектов ............................ 53 
6.3. Свойства и экономическое содержание NPV(i) .......................................... 56 
6.4. Свойства и экономическое содержание внутренней нормы доходности. 59 
6.5. Свойства и экономическое содержание срока окупаемости ..................... 63 
6.6. Свойства и экономическое содержание индекса доходности ................... 66 

6.7. Сравнение двух инвестиционных проектов ................................................ 68 
§ 7. Зависимость показателей эффективности от параметров инвестиционного 
проекта ........................................................................................................................ 69 
§ 8. Внутренняя доходность облигации .................................................................. 77 
8.1. Временная структура процентных ставок ................................................... 77 
8.2. Свойства внутренней доходности облигации ............................................. 78 
§ 9. Купонная облигация.  Зависимость цены облигации от внутренней 
доходности, купонной ставки,  срока до погашения ............................................. 82 
§ 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при 
изменении ее внутренней доходности .................................................................... 85 
§ 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации ............................................. 88 
§ 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. 
Иммунизирующее свойство дюрации облигации .................................................. 93 
Задачи ......................................................................................................................... 97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 
Настоящее пособие соответствует программе дисциплины «Математи- 
ческие методы финансового анализа» для бакалавров очной и очно-заочной 
формы обучения направления подготовки 01.03.02 Прикладная математика и 
информатика. Оно содержит обзор теории, а также задачи различных уровней 
сложности по двенадцати темам дисциплины «Математические методы финансового анализа» (финансовый анализ в условиях определенности): «Методы 
наращения и дисконтирования денежных сумм», «Доходность финансовой 
операции», «Эквивалентные серии платежей», «Потоки платежей. Основные 
характеристики потока платежей», «Финансовая рента», «Оценка эффективности инвестиционных проектов», «Зависимость показателей эффективности от 
параметров инвестиционного проекта», «Внутренняя доходность облигации», 
«Купонная облигация», «Факторы, влияющие на величину изменения цены 
облигации при изменении ее внутренней доходности», «Дюрация и показатель 
выпуклости облигации», «Временная зависимость стоимости инвестиции в 
облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации». 
Финансовый анализ в условиях определенности предполагает, что данные 
для анализа заранее известны и фиксированы. Получение будущих доходов 
точно в указанные сроки и в полном объеме считается гарантированным, т.е. 
отсутствует риск неплатежа. Материал сгруппирован в двенадцать параграфов, 
содержащих основополагающие понятия и формулы, а также подробный разбор 
сферы и результатов применения различных методов наращения (дисконтирования) денежных сумм. Подробно рассмотрены понятие финансовой операции 
и методы определения ее доходности. Освещены основные понятия теории потоков платежей, что создает основу для анализа производственных и финансовых инвестиций в условиях определенности. 
Количество задач, содержащихся в пособии, позволяет варьировать материал, используемый преподавателем для проведения занятий, домашних заданий и подготовки к выполнению индивидуального домашнего задания. 
Символика и терминология соответствуют учебным пособиям, рекомендуемым программой курса дисциплины «Математические методы финансового 
анализа». 
 
 

§ 1. Методы наращения и дисконтирования денежных сумм 
 
1.1. Основные определения и формулы 
Большая часть финансовых сделок связана с предоставлением денег в 
долг. При этом как правило заемщик платит кредитору проценты за пользование ссудой. Величина процентной ставки определяется балансом спроса и 
предложения, степенью риска и величиной инфляции. Кроме того, процентная 
ставка учитывает фактор времени, так как деньги, относящиеся к разным моментам времени, неравноценны. Согласно принципу неравноценности денег во 
времени, современные деньги ценнее будущих. В данном параграфе рассматриваются методы наращения и дисконтирования денежных сумм при однократном предоставлении денег в долг.  
Будем использовать следующие обозначения: t  =  0 – момент предоставления денег в долг  (настоящий момент времени); T  или n – срок долга; Pt  – 
сумма, предоставленная в долг в момент времени t ; P0  – сумма, предоставленная в долг в момент времени t  =  0; St  – сумма погашаемого долга в момент  t ; i 
- процентная ставка (наращения); d – учетная ставка. 
Предоставление денег в долг как правило связано с одной из двух операций – наращения или дисконтирования денежной суммы. 
Операция наращения применяется тогда, когда заданы сумма первоначального долга P0, процентная ставка и срок долга T. Требуется найти сумму 
погашаемого долга ST. 
Определение. Процесс увеличения суммы долга в связи с присоединением к нему начисленных процентов называется наращением суммы первоначального долга. 
Найденную наращением сумму погашаемого долга называют наращенной 
суммой долга. 
Операция дисконтирования применяется тогда, когда заданы сумма погашаемого долга ST, которую следует уплатить через время T, а также процентная ставка. Требуется найти сумму первоначального долга P0. В этом случае 
говорят, что сумма ST дисконтируется или учитывается. 
Определение. Процесс уменьшения суммы погашаемого долга в связи с 
начислением и удержанием процентов называется дисконтированием или учетом погашаемого долга, а сами начисленные и удержанные проценты называются дисконтом. 
Найденную дисконтированием сумму первоначального долга P0 называют современной или приведенной к моменту t = 0 величиной погашаемого долга ST. Таким образом, современная величина суммы ST , подлежащей выплате 
через время T, это сумма денег P0 , которая, будучи вложенной в момент t = 0, 
через время T даст сумму ST. 
 

Определение. Проценты, или процентные деньги, – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг на время T. 
Если доход определяется операцией наращения, то проценты вычисляют 
по формуле  
I(T) = ST – P0. 
 
 
 
 
(1.1) 
Если доход определяется операцией дисконтирования, то проценты называют дисконтом и вычисляют по формуле 
D(T) = ST – P0. 
 
 
 
 
(1.2) 
В финансовой математике различают два вида ставок начисления процентов: процентная ставка и учетная ставка. Пусть t* – фиксированный отрезок 
времени (например: 1 месяц, 6 месяцев, 1 год), P0 – сумма, предоставленная в 
долг в момент t = 0 на время  t* ,  St  – сумма погашаемого долга в момент  t*  . 
Определение. Процентная ставка  i  за период  t* - это отношение дохода 
за время  t*  к сумме вложенных средств: 
i = S
P
P
t
0
0
  
 
 
 
(1.3) 
Определение. Учетная ставка d за период  t* - это отношение дохода за 
время  t* к сумме погашаемого долга: 
d = S
P
S
t
t
0   
 
 
 
(1.4) 
Обе ставки выражаются в процентах или десятичных дробях.  
Определение. Отрезок времени t*, к которому приурочена процентная 
ставка, называется периодом начисления процентов.  
В операции  наращения период начисления процентов называют также 
периодом наращения. В операции дисконтирования период начисления процентов называют также периодом дисконтирования. 
В зависимости от выбранного отрезка t* процентную ставку называют 
ежемесячной, полугодовой, годовой и т.д. При этом подразумевается однократное начисление процентов по этой ставке за период. Чаще всего применяется 
годовая процентная ставка. 
Определение. Число n = T
t  называется числом периодов начисления 
процентов в сроке долга T . 
Если срок долга измеряется в числе периодов начисления процентов n, то 
отрезок t*, т.е. один период начисления процентов, принимается за единицу измерения времени, а ставки  i  и  d  называют процентными ставками за единицу 
времени. При этом сумма погашаемого долга обозначается через Sn. В этих 
обозначениях   
i = S
P
P
1
0
0
 
 
 
 
 
(1.5) 
d = S
P
S
1
0
1
.   
 
 
 
(1.6) 

Формулы (1.5), (1.6) (как и (1.3), (1.4)) означают существование двух 
принципов расчета процентов. Рассмотрим инвестирование суммы P0 в момент 
t = 0 на один период. Как следует из (1.5), в момент  t = 1, т.е. в конце периода, 
инвестору будет возвращена сумма S1 = P0 + iP0. При этом сумма  iP0, выплачиваемая в момент  t = 1, это проценты  I(1) = S1 – P0 = iP0 за время [0, 1] на заем величиной P0 в момент t = 0. Таким образом, проценты по ставке i начисляются на сумму первоначального долга P0 в момент  t = 1. 
Согласно (1.6), в обмен на возврат суммы S1 в момент t = 1 инвестор даст 
взаймы сумму P0 = S1 – dS1. В этом случае проценты по ставке d начисляются 
в начальный момент времени t = 0 на сумму погашаемого долга S1. Сумма P0 
может рассматриваться как заем суммы S1, возвращаемой через единицу времени, при котором проценты величиной dS1 выплачиваются заранее, в момент t 
= 0, и составляют доход кредитора  D(1) = S1 – P0 = dS1 за время [0, 1].  
Таким образом, проценты по ставке i начисляются в конце периода 
начисления процентов, а проценты по учетной ставке d – в начале периода 
начисления процентов. 
Проценты различают по базе для их начисления. 
Определение. Процентная ставка называется простой, если на каждом 
периоде база для начисления процентов является постоянной. 
Определение. Процентная ставка называется сложной, если на каждом 
периоде базой для начисления процентов является сумма, полученная на 
предыдущем периоде наращения или дисконтирования. 
 
1.2. Методы наращения по ставке i 
Рассмотрим задачу. На банковский счет размещена сумма P0 под годовую ставку i без промежуточных выплат на счет или со счета. Какова будет 
сумма вклада через n лет? 
1) Наращение по простой ставке i.  
Здесь t  =  0 – момент размещения суммы P0 на банковский счет. Единица 
измерения времени – 1 год. Как следует из (1.5), проценты за первый год вклада 
равны I1 = iP0. Согласно определению простой процентной ставки, проценты 
за каждый год вклада одинаковы и равны 
I1 = I2 = … = In = iP0.  
 
 
(1.7)  
Накопленные проценты за весь срок вклада  n  лет составят 
I(n) = I1 + I2 + … + In = niP0.   
 
 
(1.8) 
Тогда наращенная сумма вклада через n  лет станет равной  
Sn = P0 + I(n). 
Отсюда 
Sn = P0 (1 + in).  
 
 
(1.9) 
Таким образом, если через n лет счет закрывается, то инвестору выплачивается сумма P0(1 + in). Этот платеж состоит из возврата исходного вложения 
P0 и процентов I(n) = niP0. (1.9) – формула наращенной суммы долга по про

стой процентной ставке i в течение n периодов. I1, I2 ,…, In – проценты за каждый период (единицу времени).  В формуле (1.9) n необязательно целое. Нормальная коммерческая практика по отношению к дробным периодам года заключается в платеже процентов на пропорциональной основе. Это позволяет 
рассматривать выражения (1.8) и (1.9) как применимые ко всем неотрицательным значениям n. Формулой (1.9) обычно пользуются, если срок долга меньше 
года. Если i – годовая ставка, t – число дней в сроке долга, то n = t
K , где K – 
число дней в году (временная база). Правила выбора временной базы и подсчета числа дней в сроке долга подробно рассмотрены в литературе, например 
[1,2,5]. 
Как следует из равенств (1.7), особенностью простых процентов является 
то, что проценты, будучи зачисленными на счет, сами по себе не зарабатывают 
дальнейших процентов. 
Пример 1.1. В конце третьего квартала сумма вклада стала равной 180 
д.е. Найти величину годовой процентной ставки, по которой начислялись проценты в сумме 5 д.е. за каждый квартал. 
Так как проценты начисляются в конце каждого квартала, то за единицу 
измерения времени можно принять 1 квартал. Тогда в конце каждого квартала 
проценты начисляются по квартальной процентной ставке i
4 , где i – годовая 
процентная ставка. Срок вклада n = 3 квартала (единицы времени). Наращенная 
сумма вклада Sn = 180 д.е. Проценты за каждый квартал (единицу времени) составляют I1 = I2 = I3 = 5 = I.  Следовательно, для наращения вклада применяется простая процентная ставка. Проценты за весь срок вклада I(n) = nI = 15 д.е. 
Так как  Sn = P0 + I(n), то сумма первоначального вклада  P0 = Sn – I(n) = 165 
д.е. Поскольку   I = i P
4
0 , то годовая процентная ставка по вкладу  i 
5
165 4
4
33 . 
2) Наращение по сложной ставке i. 
Будем считать, что в момент t  =  0 сумма P0 размещена на банковский 
счет под сложную годовую процентную ставку. Согласно определению сложной процентной ставки, базой для начисления процентов на каждом периоде 
является сумма, полученная на предыдущем периоде наращения. Следовательно, проценты за каждый год вклада составляют: I1 = iP0 , I2 = iS1, …, In–1 = 
iSn–2, In =  iSn–1, где S1, …, Sn–2, Sn–1 - суммы вклада в конце соответствующего периода наращения. Очевидно, что 
I2 = I1(1 + i), 
 
……….. 
 
 
 
 
 
(1.11) 
In =  In–1(1 + i).  
 
Следовательно, I1, I2, … , In – члены геометрической прогрессии с первым членом I1 и знаменателем (1 + i). Проценты за весь срок вклада составляют 
I(n) = I1 + I2 + … + In. По формуле суммы n членов геометрической прогрессии 

находим 
I(n) = I1 (
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
i
i
I
i
i
P
i
n
n
n
.  
 
(1.12) 
Наращенная сумма вклада через n  лет станет равной  Sn = P0 + I(n). Отсюда  
Sn = P0(1 + i)n.    
 
 
(1.13) 
Если инвестор закроет свой счет через n лет, он получит сумму P0(1 + i)n. 
Этот платеж состоит из возврата исходного вклада P0 вместе с накопленными 
процентами (1.12). (1.13) – формула наращенной суммы долга при начислении 
сложных процентов по ставке i в течение n периодов. I1, I2,…, In – проценты за 
каждый период (единицу времени). Выражение (1.13)  остается верным для 
всех неотрицательных значений n. 
Как видим из (1.11), особенностью сложных процентов является то, что 
проценты сами зарабатывают проценты. Вследствие этого влияние сложных 
процентов на накопление на счете может быть очень значительным, особенно 
если длительность счета или процентная ставка велики. 
Пример 1.2. Какова сумма первоначального вклада, размещенного под 
сложную процентную ставку, если проценты за первый и второй годы соответственно составили 20 и 21,6 д.е.? 
Используем полученные соотношения для сложных процентов. Если единицей измерения времени является 1 год, то I1 = 20 д.е., I2 = 21,6 д.е.,    I2 = 
I1(1 + i), где i – годовая процентная ставка. Отсюда i = 0,08. Так как     I1 = iP0, 
то сумма первоначального вклада  P0 = 250 д.е. 
3) Наращение суммы вклада по номинальной ставке. 
Если сложные проценты начисляются не один, а m раз в году, то годовую 
процентную ставку называют номинальной и обозначают через i(m). Общее 
определениие номинальной процентной ставки будет рассмотрено позже. В 
случае начисления процентов  m  раз в году годовую номинальную процентную 
ставку можно определить следующим образом. 
Определение. Годовая процентная ставка i(m) называется номинальной, если 
для начисления сложных процентов за 1
m  часть года применяется ставка  i
m
m
(
)
. 
Таким образом, если сложные проценты начисляются через равные промежутки времени m раз в году, то в конце каждого периода длиной 1
m  проценты 
начисляются по ставке  i
m
m
(
)
. Если срок долга n лет, то mn – число периодов 
применения ставки  i
m
m
(
)
 в сроке долга. Из формулы (1.13) получаем  
S
P
i
m
n
m
mn
0 1
(
)
,    
 
 
(1.14) 
где m ≥ 1. Если m = 1, то i(1) = i, т.е. номинальная ставка совпадает с годовой