Современные проблемы прикладной математики и информатики

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
ФГБОУ ВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л.В. Сахарова, Т.В. Алексейчик, М.Б. Стрюков 
 
 
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ 
ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ  
И ИНФОРМАТИКИ 
 
 
Учебное пособие 
 
По направлению подготовки  
«Прикладная математика и информатика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
2018 

УДК519.2 
ББК22.1 
С22 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Дифференциальные и интегральные 
уравнения» ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» Н.В. Боев, 
канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры «Фундаментальная и прикладная  
математика» ФГБОУ ВПО РГЭУ (РИНХ) С.В. Рогожин 
 
Сахарова Л.В., Алексейчик Т.В., Стрюков М.Б.  
С22   Современные проблемы прикладной математики и информатики: учеб. 
пос. [Электронный ресурс]. – Ростов н/Д.: Издательско-полиграфический 
комплекс 
РГЭУ 
(РИНХ), 
2018. 
– 
106 с. 
– 
Режим 
доступа: 
http://library.rsue.ru. 
ISBN 978-5-7972-2536-2 
 
 
Учебное пособие содержит теоретический материал по трем разделам 
дисциплины «Современные проблемы прикладной математики и информатики»: «Нечеткая логика», «Нейронные сети», «Генетические алгоритмы». 
Учебное пособие предназначено для проведения занятий по дисциплине 
«Современные проблемы прикладной математики и информатики», а также организации домашней самостоятельной работы студентов очной и очно-заочной 
формы обучения направления подготовки 01.04.02 «Прикладная математика и 
информатика». 
УДК519.2 
ББК22.1 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7972-2536-2                              РГЭУ (РИНХ), 2018 
 Сахарова Л.В., Алексейчик Т.В.,  
Стрюков М.Б. 2018 

Оглавление 
 
Введевие ....................................................................................................................... 4 
Часть 1. Нечеткая логика ............................................................................................ 6 
§ 1. Нечеткие множества ............................................................................................. 6 
Операции над нечеткими подмножествами ............................................................. 8 
§ 2. Нечеткие числа и операции над ними ................................................................ 8 
§ 3. Нечеткие последовательности, нечеткие прямоугольные матрицы, нечеткие 
функции и операции над ними ................................................................................. 11 
§ 4. Вероятностное распределение с нечеткими параметрами ............................. 13 
§ 5. Нечеткие знания ................................................................................................. 16 
§ 6. Нечеткие классификаторы и матричные схемы агрегирования данных ...... 18 
Часть 2. Применение нечеткой логики в финансовом анализе ............................ 22 
§ 8. Финансовый анализ и оценка риска банкротства ........................................... 22 
§ 9. Инвестиционный проект: эффективность и риск ........................................... 34 
§ 10. Нечеткая оптимизация фондового портфеля ................................................ 49 
Часть 3. Искусственные нейронные сети ................................................................ 53 
§ 11. Биологические нейронные сети ...................................................................... 54 
§ 12. Математическая модель нейрона, искусственные нейросети ..................... 55 
§ 13. Основополагающие принципы нейровычислений ....................................... 58 
§ 14. Обучение искусственных нейронных сетей .................................................. 60 
§ 15. Задача прогнозирования с использованием технологии нейровычислений
 ..................................................................................................................................... 62 
§ 16. Обзор программных средств, реализующих алгоритмы нейровычислений 
для решения задач прогнозирования ....................................................................... 63 
Часть 4. Прогнозирование финансовых рынков с помощью нейросетей ........... 64 
§ 17. Методы прогнозирования финансовых рынков ............................................ 64 
§ 18. Прогнозирование рынка FOREX с использованием искусственных 
нейросетей .................................................................................................................. 68 
§ 19. Описание текущей рыночной ситуации. Представление входных данных 70 
§ 20. Прогнозируемые величины. Представление выходных данных ................. 77 
Часть 5. Генетические алгоритмы ........................................................................... 82 
Часть 6. Генетические алгоритмы в задачах формирования портфеля 
инновационных проектов ......................................................................................... 97 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………………………105 
  
 
 
 
 

Введение 
 
Настоящее пособие соответствует программе дисциплины «Современные 
роблемы прикладной математики и информатики» для очной и очно-заочной 
формы обучения направления подготовки 01.04.02 Прикладная математика и 
информатика. Оно содержит обзор теории по трем разделам дисциплины «Современные проблемы прикладной математики и информатики»: «Нечеткая логика», «Нейронные сети», «Генетические алгоритмы». 
Символика и терминология соответствуют учебным пособиям, рекомендуемым программой курса дисциплины «Современные роблемы прикладной 
математики и информатики». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Часть 1. Нечеткая логика 
 
Субъективный фактор в процессе принятия финансовых решений до сих 
пор не имел удовлетворительной теории для количественного оценивания. Неопределенность, сопровождающая финансовые решения, постоянно порождает 
неуверенность лица, принимающего решения (ЛПР), что, в свою очередь,  приводит к неопределенности высказываний в терминах естественного языка.  
Например, инвестор, покупая или продавая акции, должен составить себе 
мнение о том, какой рынок сейчас одерживает победу – «медвежий» или «бычий». Это дает ему основания считать, «что на «медвежьем» рынке переоцененные активы, скорее всего, упадут, а недооцененные, если и упадут, то неглубоко. И наоборот: на «бычем» рынке недооцененные активы, скорее всего, возрастут, а переоцененные, если и возрастут, то несильно». Все, что отмечено 
курсивом в этих закавыченных предложениях, представляет собой предмет 
оценки инвестором текущего состояния рынка и его переспектив. 
Таким образом, огромное количество информации содержится в трудноформализуемых интуитивных предпочтениях ЛПР. Если эти предпочтения и 
допущения ЛПР обретают вербальную форму, они сразу же могут получить количественную оценку на базе формализмов теории нечетких множеств.  
 
§ 1. Нечеткие множества 
 
Определение. Носитель U – это универсальное множество, к которому 
относятся все результаты наблюдений в рамках оцениваемой квазистатистики. 
Например, если мы наблюдаем возраст занятых в определенных отраслях экономики, то носитель – это отрезок вещественной оси, где единицей измерения 
выступают годы жизни человека. 
Определение. Нечеткое множество А – это множество значений носителя, такое, что каждому значению носителя сопоставлена степень принадлежности этого значения множеству А. Например: буквы латинского алфавита X, 
Y, Z безусловно принадлежат множеству Alphabet = {A, B, C, X, Y, Z}, и с этой 
точки зрения множество Alphabet – четкое. Но если анализировать множество 
«Оптимальный возраст работника», то возраст 50 лет принадлежит этому нечеткому множеству только с некоторой долей условности , которую называют 
функцией принадлежности. 

Определение. Функция принадлежности 
А(u) – это функция, областью определения которой является носитель U, u 
 U, а областью значений – 
единичный интервал [0,1]. Чем выше 
А(u), тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя u нечеткому множеству А. Например, на рис. 
1.1 представлена функция принадлежности нечеткого множества «Оптимальный возраст работающего», полученная на основании опроса ряда экспертов. 
Видно что возраст от 20 до 35 оценивается экспертами как бесспорно оптимальный, а от 60 и выше – как бесспорно неоптимальный. В диапазоне от 35 
до 60 эксперты проявляют неуверенность в своей классификации, и структура 
этой неуверенности как раз и передается графиком функции принадлежности. 
  
 
Рисунок 1.1 – Функция принадлежности нечеткого подмножества  
«Оптимальный возраст работника» 
 
Определение. Лингвистическая переменная – это кортеж вида: 
 = 
M
G
U
T
,
,
),
(
,
, 
 
 
 
 
 
(1.1) 
где  – название переменной, Т – терм-множество значений, т.е. совокупность 
ее лингвистических значений, U – носитель, G – синтаксическое правило, порождающее термы множества Т, М – семантическое правило, которое каждому 
лингвистическому значению  ставит в соответствие его смысл М(), причем 
М() обозначает нечеткое подмножество носителя U. 
К примеру, зададим лингвистическую переменную 
  = «Возраст работника». Определим синтаксическое правило G как определение «оптимальный», 
налагаемое на переменную . Тогда полное терм-множество значений T = {T1 = 
Оптимальный возраст работника, T2 = Неоптимальный возраст работника }. Носителем U выступает отрезок [20, 70], измеряемый в годах человеческой жизни. 
И на этом носителе определены две функции принадлежности: для значения T1 

– 
T1(u), она изображена на рис. 1, для T1 – 
T2(u), причем первая из них отвечает нечеткому подмножеству M1, а вторая – M2. Таким образом, конструктивное 
описание лингвистической переменной завершено. 
Операции над нечеткими подмножествами 
Для классических множеств вводятся операции: 
 пересечение множеств – операция над множествами А и В, результатом которой является множество С = А 
 В, которое содержит только те элементы, которые принадлежат и множеству A и множеству B; 
 объединение множеств – операция над множествами А и В, результатом которой является множество С = А  В, которое содержит те элементы, которые принадлежат множеству A или множеству B  или обоим множествам; 
 отрицание множеств - операция над множеством А, результатом которой является множество С = 
 А, которое содержит все элементы, которые 
принадлежат универсальному множеству, но не принадлежат множеству A.  
Лотфи Заде предложил набор аналогичных операций над нечеткими 
множествами через операции с функциями принадлежности этих множеств. 
Так, если множество А задано функцией  
А(u), а множество В задано функцией  
В(u), то результатом операций является множество С с функцией принадлежности 
С(u), причем: 
 
если С = А  В, то 
С(u) = min(
А(u), 
В(u)); 
 
 
(1.2) 
 
если С = А  В, то 
С(u) = max(
А(u), 
В(u)); 
 
 
(1.3) 
 
если С =  А, то 
С(u) = 1-
А(u). 
 
 
 
 
(1.4) 
 
§ 2. Нечеткие числа и операции над ними 
 
Определение. Нечеткое число – это нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую 
функцию принадлежности, то есть такую, что а) существует такое значение носителя, в котором функция принадлежности равна единице, а также а) при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности 
убывает.  
Рассмотрим два типа нечетких чисел: трапециевидные и треугольные. 
Трапециевидные нечеткие числа 
Зададим лингвистическую переменную 
 = «Значение параметра U», 
где U – множество значений носителя квазистатистики. Выделим два терммножества значений: T1 = «U у лежит в диапазоне примерно от a до b» с нечет

ким подмножеством М1 и безымянное значение T2 с нечетким подмножеством  
М2, причем выполняется М2 = 
 М1. Тогда функция принадлежности 
T1(u) 
имеет трапезоидный вид, как показано на рис. 1.2. 
 
 
Рисунок 1.2 – Функция принадлежности трапециевидного числа 
 
Поскольку границы интервала заданы нечетко, то разумно ввести абсциссы вершин трапеции следующим образом: 
 
 
а = (а1+а2)/2, в = (в1+в2)/2, 
 
 
 
 
 
(1.5) 
при этом отстояние вершин а1, а2 и в1, в2 соответственно друг от друга обуславливается тем, что какую семантику мы вкладываем в понатие «примерно»: чем 
больше разброс квазистатистики, тем боковые ребра трапеции являются более 
пологими. В предельном случае понятие «примерно» выраждается в понятие 
«где угодно». 
Если мы оцениваем параметр качественно, например, высказавшись «Это 
значение параметра является средним», необходимо ввести уточняющее высказывание типа «Среднее значение – это примерно от a до b», которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать 
для моделирования нечетких классификаций трапезоидные числа. На самом деле, это самый естественной способ неуверенной классификации. 
 
Треугольные нечеткие числа 
Теперь для той же лингвистической переменной зададим терм-множество 
Т1={U приблизительно равно а}. Ясно, что а    а, причем по мере убывания  
до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы. Это, с точки зрения 

функции принадлежности, придает последней треугольный вид (рис. 1.3), причем степень приближения характеризуется экспертом. 
Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем чаще всего – в качестве прогнозных значений параметра. 
 
 
Рисунок 1.3 – Функция принадлежности треугольного нечеткого числа. 
 
Операции над нечеткими числами 
Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая 
арифметика) – вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции 
вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа. 
Определим уровень принадлежности 
 как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности. 
Зададимся фиксированным уровнем принадлежности  и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам A  и B : 
[a1, a2] и [b1, b2], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами – границами интервалов: 
 
операция "сложения": 
[a1, a2]  (+)  [b1, b2] = [a1 + b1, a2 + b2],                                
(1.6) 
 
операция "вычитания":  
[a1, a2]  (-)  [b1, b2] = [a1 - b2, a2 - b1],                                  
(1.7) 


 
операция "умножения":  
[a1, a2]  ()  [b1, b2] = [a1  b1, a2  b2],                              
(1.8) 
 
операция "деления": 
[a1, a2]  (/)  [b1, b2] = [a1 / b2, a2 / b1],                          
 
(1.9) 
 
 
операция "возведения в степень":  
[a1, a2]  (^)  i = [a1
i , a2
i].                                   
 
 
(1.10) 
 
Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства): 
 действительное число есть частный случай треугольного нечеткого 
числа; 
 сумма треугольных чисел есть треугольное число; 
 треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное 
число, есть треугольное (трапезоидное) число; 
 сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число; 
 сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число. 
Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами 
(например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций 
принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. 
Это прозволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. 
И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности. 
То есть, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс 
вершин (a, b, c), то можно записать: 
(a1, b1, c1) + (a2, b2, c2)  (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2).  
 
(1.11) 
Это – самое распространенное правило мягких вычислений. 
 
§ 3. Нечеткие последовательности, нечеткие прямоугольные матрицы,  
нечеткие функции и операции над ними 
 
Определение. Нечеткая последовательность – это пронумерованное 
счетное множество нечетких чисел. 
Определение. Нечеткая прямоугольная матрица – это дважды  индексированное конечное множество нечетких чисел, причем первый индекс пробегает M строк, а второй -  N столбцов. При этом, как и в случае матриц действи