Математические модели в экономике

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФГБОУ ВО «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (РИНХ)» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Т.В. Алексейчик, Т.В. Богачев, Н.В. Пржедецкая 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 
В ЭКОНОМИКЕ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
Ответственный редактор 
заслуженный деятель науки Российской Федерации, 
д.э.н., профессор А.У. Альбеков 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ) 
2018 

УДК 519.86(075) 
ББК 65в6 
 А 47 
 
 
 Алексейчик, Т.В. 
А 47     Математические модели в экономике : учебное пособие / 
Т.В. Алексейчик, Т.В. Богачев, Н.В. Пржедецкая; отв. ред. 
д.э.н., проф. А.У. Альбеков. – Ростов н/Д : Издательскополиграфический комплекс Рост. гос. экон. ун-та (РИНХ), 
2018. – 115 с. 
ISBN 978-5-7972-2531-7 
 
 
Учебное пособие содержит обзор теории и проверочные задания по 
основным разделам дисциплины «Математические методы и модели микроэкономики», а также дисциплины «Программные средства финансовых 
расчетов». 
Пособие предназначено для проведения аудиторных занятий и исследовательской работы в группах бакалавров направления подготовки 
«Прикладная математика и информатика», но может быть использовано и 
в группах направлений «Экономика» и «Менеджмент», а также представляет интерес для магистрантов и аспирантов высших учебных заведений. 
УДК 519.86(075) 
ББК 65в6 
 
 
Рецензенты: 
к.ф.-м.н., доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики  
ФГБОУ ВО «РГЭУ (РИНХ)» С.В. Рогожин, 
к.ф.-м.н., ст. преподаватель кафедры математики 
Донского государственного технического университета Д.А. Азаров. 
 
 
Утверждено в качестве учебного пособия  
редакционно-издательским советом РГЭУ (РИНХ). 
 
 
ISBN 978-5-7972-2531-7                                        © Алексейчик Т.В., Богачев Т.В., 
                                                                                      Пржедецкая Н.В., 2018 
                                                                                  © РГЭУ (РИНХ), 2018 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
Предисловие ...................................................................................................... 6 
Введение в микроэкономику .......................................................................... 7 
Глава 1. Эластичность функции ................................................................. 11 
1.1. Абсолютные и относительные величины  
в экономическом анализе ............................................................................. 11 
1.2. Понятие эластичности функции ........................................................... 12 
1.3. Представление точечной эластичности функции через среднее 
и маржинальное значения функции ............................................................ 13 
1.4. Геометрическая интерпретация эластичности функции.................... 13 
1.5. Основные свойства эластичности функции ........................................ 15 
Задачи для самостоятельной работы к главе 1 ........................................... 16 
Глава 2. Функция спроса .............................................................................. 17 
2.1. Определение функции спроса и закон спроса .................................... 17 
2.2. Неценовые факторы функции спроса .................................................. 17 
2.3 Основные виды эластичности функции спроса ................................... 18 
Задачи для самостоятельной работы к главе 2 ........................................... 21 
Глава 3. Функция предложения .................................................................. 22 
3.1. Определение функции предложения, закон предложения ................ 22 
3.2. Неценовые факторы функции предложения ....................................... 23 
3.3. Ценовая эластичность функции предложения .................................... 23 
Задачи для самостоятельной работы к главе 3 ........................................... 24 
Глава 4. Взаимодействие спроса и предложения ..................................... 25 
4.1. Понятие рыночного равновесия и неравновесия ................................ 25 
4.2. Устойчивость равновесия ...................................................................... 28 
4.3. Паутинообразные модели рыночного равновесия ............................. 31 
Задачи для самостоятельной работы к главе 4 ........................................... 33 
Глава 5. Регулирование рынка.................................................................... 36 
5.1. Государственный контроль над ценами .............................................. 36 
5.2. Введение государством налогов ........................................................... 36 
5.3. Введение государством дотаций или субсидий .................................. 39 
Задачи для самостоятельной работы к главе 5 ........................................... 39 

Глава 6. Основы теории потребления ........................................................ 42 
6.1. Понятие отношений предпочтения ...................................................... 42 
6.2. Понятие функции полезности ............................................................... 43 
6.3. Кривые безразличия и их основные свойства ..................................... 44 
6.5. Понятие бюджетного ограничения ...................................................... 48 
6.6. Задача потребительского выбора и еѐ решение .................................. 48 
6.7. Экономический смысл оптимального множителя Лагранжа ............ 50 
6.8. Определение функции спроса данного потребителя ......................... 50 
6.9. Геометрическое решение задачи потребительского выбора ............. 50 
6.10. Эффект замены и эффект дохода ....................................................... 51 
6.11.Уравнение Слуцкого ............................................................................. 54 
6.12. Модель Стоуна ..................................................................................... 54 
6.13. Функции Энгеля ................................................................................... 55 
6.14. Понятие косвенной функции полезности .......................................... 55 
6.15. Тождество Роя ...................................................................................... 56 
Задачи для самостоятельной работы к главе 6 ........................................... 56 
Глава 7. Производственные функции ........................................................ 63 
7.1. Понятие производственной функции ................................................... 63 
7.2. Основные свойства производственной функции ................................ 64 
7.3. Графическое представление производственной функции ................. 65 
7.4. Основные характеристики производственной функции .................... 66 
7.5. Учет научно-технического прогресса с помощью 
производственных функций ......................................................................... 70 
Задачи для самостоятельной работы к главе 7 ........................................... 76 
Глава 8. Модель совершенной конкуренции и ее характеристики ..... 78 
8.1. Основные черты рынка совершенной конкуренции .......................... 78 
8.2. Краткосрочное и долгосрочное равновесие конкурентного рынка .. 80 
8.3. Максимизация прибыли фирмы в условиях 
совершенной конкуренции ........................................................................... 80 
Задачи для самостоятельной работы к главе 8 ........................................ 82 
Глава 9. Модели несовершенной конкуренции ....................................... 83 
9.1. Монополистическая конкуренция ........................................................ 83 
9.2. Модель задачи максимизации прибыли фирмы-монополиста .......... 84 

9.3. Олигополия на рынке гомогенного блага ............................................ 87 
Задачи для самостоятельной работы к главе 9 ........................................... 93 
Глава 10. Модель разделения рынков сбыта  
в условиях олигополии .................................................................................. 96 
10.1. Введение и постановка задачи ............................................................ 96 
10.2. Обзор используемых программных средств ..................................... 96 
10.3. Решение задачи разделения рынков сбыта с использованием 
специализированных программных средств .............................................. 99 
Задания для самостоятельной работы к главе 10 ..................................... 110 
Библиографический список ....................................................................... 113 
 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
 
Настоящее пособие соответствует программе дисциплины 
«Математические методы и модели микроэкономики» для бакалавров и магистрантов направления подготовки «Прикладная математика и информатика», но может быть использовано и в группах направлений «Экономика» и «Менеджмент» при проведении 
аудиторных занятий, организации самостоятельной работы студентов в рамках дисциплины «Микроэкономика», а также при 
проведении исследовательской работы по экономической тематике. Кроме того, пособие в рамках дисциплины «Программные 
средства для финансовых расчетов» для магистрантов направления «Прикладная математика и информатика» содержит описание модели разделения рынков сбыта в условиях олигополии и 
краткое руководство для работы с используемыми программными средствами. 
Пособие содержит обзор теории, а также проверочные задания с использованием математических методов и моделей по разделам: «Эластичность функции», «Функция спроса», «Функция 
предложения», «Взаимодействие спроса и предложения», «Регулирование рынка», «Основы теории потребления», «Производственные функции», «Модель совершенной конкуренции и ее характеристики», «Модели несовершенной конкуренции», «Модель 
разделения рынков сбыта в условиях олигополии». 
 
Материал разбит на главы, включающие изложение теоретического материала с использованием математических методов 
и графической иллюстрации излагаемого материала, а также 
набор задач и вопросов для самостоятельной работы. Нумерация 
задач самостоятельна в каждой главе. Символика и терминология 
соответствует учебным пособиям, рекомендуемым программой 
курса дисциплины «Математические методы и модели микроэкономики». 
 
 

ВВЕДЕНИЕ В МИКРОЭКОНОМИКУ 
 
 
Одним из важнейших методов исследования, используемых 
в экономике, является моделирование экономических процессов 
и явлений. 
 
Экономическая модель – это упрощенное представление 
экономической действительности, позволяющее выделить наиболее главные и важные свойства исследуемого объекта. 
 
К числу исходных постулатов микроэкономического анализа относится предположение о том, что экономические субъекты 
ведут себя рационально, т.е. стремятся достигнуть намеченных 
целей с наименьшими издержками или при заданных издержках 
получить максимальный результат. Цель производителей состоит 
в максимизации прибыли или другого показателя хозяйственной 
деятельности. Стремления потребителей экономисты называют 
максимизацией индивидуального благосостояния, или индивидуальной полезности.  
 
Наличие у экономических субъектов формализуемых целей 
позволяет предсказывать их реакцию на изменяющиеся условия 
сделок: колебания рыночных цен, стратегию конкурентов или 
экономическую политику государства. 
 
Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а 
иногда и невозможностью прямого изучения реально происходящих явлений и процессов. 
 
Все экономические модели должны отвечать следующим 
требованиям: 
 содержательности; 
 реалистичности принятых посылок и допущений; 
 возможности построения на их основе достоверных прогнозов; 
 возможности информационного обеспечения; 
 возможности проверки и др. 
 
Основные этапы построения экономической модели: 
1-й этап – отбор переменных – это конкретные величины, 
имеющие различное значение. Все переменные модели условно 

делятся на эндогенные (внутренние) и экзогенные (внешние). Те 
переменные, которые являются объектом изучения, относятся к 
эндогенным. Те переменные, которые воздействуют на исследуемые величины, но не являются объектом изучения, называются 
экзогенными; 
2-й этап – определение допущений, которые необходимо 
сделать, чтобы не усложнять модель. Допущения необходимы, 
так как на исследуемые переменные в реальной действительности 
воздействует огромное количество внешних факторов, которые 
невозможно учесть полностью; 
3-й этап – выдвижение одного или нескольких предположений, гипотез, объясняющих взаимосвязь параметров. Гипотезы 
являются основным элементом модели. Гипотеза является попыткой объяснить в едином утверждении, как связаны между собой эндогенные переменные. Гипотезы, как правило, предполагают формулирование функциональной зависимости между переменными в виде формулы (алгебраически), таблицы и графика. 
4-й этап – выработка выводов, вытекающих из данной теории. 
 
В экономической теории используются главным образом 
модели двух типов: 
 оптимизационные модели – используются при анализе 
поведения отдельных экономических субъектов (производителей, 
потребителей и т.д.) для нахождения из множества возможных 
альтернативных вариантов наилучшего (оптимального) варианта 
производства, распределения или потребления; 
 модели рыночного равновесия – используются при исследовании взаимоотношений между экономическими субъектами. При анализе предполагается, что система находится в равновесии, если взаимодействующие силы сбалансированы и отсутствует внутренний импульс к нарушению равновесия. 
 
Тесты по теме «Введение в микроэкономику» 
Выберите правильный ответ среди предложенных. 
 
№ 1. Микроэкономика изучает: 
а) рациональные экономические решения; 
б) ценообразование; 

в) оптимальное размещение ресурсов; 
г) все вышеперечисленное. 
№ 2. Микроэкономика, в отличие от макроэкономики, изучает: 
а) только поведение отдельного потребителя; 
б) экономику территориальной единицы; 
в) экономические явления в течение короткого промежутка 
времени; 
г) поведение отдельных экономических показателей; 
д) взаимодействие структурных единиц экономики. 
№ 3. Из перечисленных моделей не является микроэкономической: 
а) модель фирмы; 
б) модель инфляции; 
в) модель потребителя; 
г) модель рыночного равновесия; 
д) модель отрасли. 
№ 4. Какое из утверждений является примером экономической модели: 
а) рост безработицы способствует замедлению инфляции; 
б) в результате реформы жители России потеряли свои сбережения; 
в) если идешь ко дну медленно, то ускорение нежелательно; 
г) денежной единицей в России является рубль. 
№ 5. Хорошая экономическая модель включает: 
а) очень малую часть доступной статистической информации, необходимую для того, чтобы ответить на вопрос, заданный 
моделью; 
б) настолько много информации, насколько это возможно; 
в) настолько мало информации, насколько это возможно; 
г) ответы на все экономические вопросы в комплексе. 
№ 6. Выбор оптимального экономического решения с учетом предельных издержек и предельной выгоды предполагает, 
что: 
а) предельные издержки больше предельной выгоды; 

б) предельные издержки равны предельной выгоде; 
в) предельные издержки меньше предельной выгоды; 
г) в такой ситуации выбор лучше отложить.