Уравнения математической физики

 
 
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
ФГБОУ ВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л.В. Сахарова, М.Б. Стрюков 
 
 
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 
ФИЗИКИ 
 
Учебное пособие 
 
По направлению подготовки 
«Прикладная математика и информатика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
2018 
 

УДК519.2 
ББК22.1 
С22 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Дифференциальные и интегральные уравнения» ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» Н.В. Боев, 
канд. экон. наук, доц. кафедры «Фундаментальная и прикладная математика» 
ФГБОУ ВПО РГЭУ (РИНХ) Т.В. Алексейчик 
 
 
Сахарова Л.В., Стрюков М.Б. 
С22     Уравнения математической физики: учеб. пос. [Электронный ресурс]. – 
Ростов н/Д.: Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ), 2018. 
– 104 с. – Режим доступа: http://library.rsue.ru. 
ISBN 978-5-7972-2534-8 
 
Учебное пособие содержит теоретический материал, а также 70 задач по 
трем разделам дисциплины математическая физика: «Классификция уравнений 
второго порядка и их приведение к каноническому виду», «Краевые задачи математической физики и их решение методом Фурье» и «Физическая интерпретация задач математической физики и их решение методом Даламбера». Материал сгруппирован в три части по темам, которые, в свою очередь, разбиты на 
параграфы. В каждой части содержится подробное изложение теоретического 
материала и решение типовых задач. В конце каждой части представлены задачи различного уровня сложности, в том числе, наборы задач для индивидуальных домашних заданий. 
Предназначено для проведения занятий по дисциплине «Уравнения математической физики», а также организации домашней самостоятельной работы 
студентов очной и очно-заочной формы обучения направления подготовки 
01.03.02 «Прикладная математика и информатика». 
УДК519.2 
ББК22.1 
 
 
ISBN 978-5-7972-2534-8                                Сахарова Л.В., Стрюков М.Б., 2018 
 РГЭУ (РИНХ), 2018 

Оглавление 
Часть 1. КЛАССИФИКЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ 
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ......................................................................... 7 
§ 1.1. Классификация уравнений второго порядка .............................................. 7 
§ 1.2. Типы уравнений второго порядка ............................................................... 7 
§ 1.3. Инвариантность типа уравнения ................................................................. 9 
§ 1.4. Уравнения характеристик ........................................................................... 11 
§ 1.5. Приведение к каноническому виду уравнений ........................................ 12 
гиперболического типа ......................................................................................... 12 
§ 1.6. Приведение к каноническому виду уравнений ........................................ 13 
параболического типа ........................................................................................... 13 
§ 1.7. Приведение к каноническому виду уравнений ........................................ 14 
эллиптического типа ............................................................................................. 14 
Примеры для самостоятельного решения ........................................................... 19 
Часть 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ИХ РЕШЕНИЕ 
МЕТОДОМ ФУРЬЕ ....................................................................................................................... 20 
§ 2.1. Краевые задачи математической физики .................................................. 20 
§ 2.2. Уравнения гиперболического типа ........................................................... 23 
2.2.1. Решение однородного волнового уравнения ........................................ 23 
2.2.2. Решение неоднородного волнового уравнения при однородных 
граничных условиях и неоднородных начальных условиях ........................ 27 
2.2.3. Решение неоднородной начально-краевой задачи .............................. 31 
§ 2.3. Уравнения параболического типа ............................................................. 32 
2.3.1. Решение однородного уравнения параболического типа ................... 32 
2.3.2. Решение уравнения теплопроводности для .......................................... 35 
случая стационарной неоднородности ............................................................ 35 
§ 2.4. Уравнения эллиптического типа ............................................................... 36 
2.4.1. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной 
области ................................................................................................................ 36 

2.4.2. Решения уравнения Пуассона ................................................................ 42 
Примеры для самостоятельного решения ........................................................... 50 
Часть 3. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
И ИХ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА ......................................................................... 57 
§ 3.1. Вывод уравнения колебаний струны, постановка задач ......................... 57 
3.1.1. Вывод уравнения ..................................................................................... 57 
3.1.2. Начальные и граничные условия ........................................................... 60 
3.1.3. Частные случаи ..................................................................................... 62 
§3.2. Задача Коши для свободных колебаний бесконечной струны.         
Формула Даламбера .............................................................................................. 64 
3.2.1. Построение общего решения ................................................................. 64 
3.2.2. Решение задачи Коши ............................................................................. 66 
3.2.3. Физическая интерпретация решения Даламбера ................................. 67 
3.2.4. Задача Коши для вынужденных колебаний бесконечной струны ..... 69 
§3.3. Корректность задач математической физики. Пример некорректной 
задачи ...................................................................................................................... 70 
§3.4. Свободные колебания полубесконечной струны ...................................... 72 
3.4.1. Метод отражений (метод продолжений) .............................................. 72 
3.4.2. Физическая интерпретация решения..................................................... 74 
3.4.3. Влияние граничного режима .................................................................. 75 
§3. 5. Свободные колебания ограниченной струны ........................................... 77 
3.5.1. Метод отражений (метод продолжений) .............................................. 77 
3.5.2. Физическая интерпретация решения..................................................... 79 
3.5.3. Влияние граничного режима .................................................................. 81 
§3.6. Свободные колебания ограниченной струны ............................................ 82 
3.6.1. Метод Фурье  (метод разделения переменных) ................................... 82 
3.6.2. Об оправдании метода Фурье ................................................................ 85 
3.6.3. Физическая интерпретация метода Фурье: гармоники и стоячие 
волны .................................................................................................................. 86 

§3.7. Вынужденные колебания ограниченной струны ...................................... 87 
3.7.1. Постановка задачи ................................................................................... 87 
3.7.2. Решение НКЗ о чисто вынужденных колебаниях струны .................. 88 
3.7.3. Частные случаи вынужденных колебаний струны с закрепленными 
концами .............................................................................................................. 90 
Примеры для самостоятельного решения ........................................................... 92 
Постановка начально-краевых задач ............................................................... 92 
Решение задач о свободных колебаниях струны методом Даламбера и 
методом отражений ........................................................................................... 94 
Решение начально-краевых задач методом Фурье ........................................ 96 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………………..97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 
Настоящее пособие соответствует программе дисциплины «Уравнения 
математической физики» для бакалавров очной и очно-заочной формы обучения направления подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 
Оно содержит обзор теории, а также задачи различных уровней сложности по 
разделам дисциплины «Уравнения математической физики»: «Классификция 
уравнений второго порядка и их приведение к каноническому виду», «Краевые 
задачи математической физики и их решение методом Фурье», «Физическая интерпретация задач математической физики и их решение методом Даламбера». 
Раздел «Классификция уравнений второго порядка и их приведение к каноническому виду» разбит на семь параграфов, раздел «Краевые задачи математической физики и их решение методом Фурье» на четыре параграфа, раздел 
«Физическая интерпретация задач математической физики и их решение методом Даламбера»  на семь параграфов, состоящих из теоретического материала, 
содержащего ключевые определения и формулы, примеров решения задач, 
набора заданий для самостоятельного решения. 
Количество задач, содержащихся в пособии, позволяет варьировать материал, используемый преподавателем для проведения занятий, домашних заданий и подготовки к выполнению индивидуального домашнего задания. 
Нумерация задач самостоятельна в каждом параграфе. Символика и терминология соответствуют учебным пособиям, рекомендуемым программой 
курса дисциплины «Уравнения математической физики». 
 
 

Часть 1. КЛАССИФИКЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО 
ПОРЯДКА И ИХ ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ  
 
§ 1.1. Классификация уравнений второго порядка 
 
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в частных 
производных: 
.   
 
(1.1) 
Здесь и далее ограничимся рассмотрением 
  функций лишь от двух переменных  и 
. 
Определение. Если А, В, С – функции от x, y, u, 
, 
, то уравнение называется квазилинейным.  
Если А, В, С – функции от x, y, а функция 
, 
где D, E, K – функции от 
,
; 
– возмущение, то уравнение (1.1) – линейное. 
Если 
, то (1.1) – линейное однородное, 
если 
, то (1.1) –  линейное неоднородное. 
Определение. Функция 
, которая обращает уравнение (2.1) в тождество, называется его решением. 
 
§ 1.2. Типы уравнений второго порядка 
 
Определение. Пусть (1.1) – линейное уравнение. Обозначим 
 
,  
где А, В, С в общем случае зависят от x, y. Тогда 
 называется дискриминантом уравнения (1.1). 
Если 
 
, 
, 
,  
0
2
2
2
2
2
2
y
u
,
x
u
,
u,y
,x
f
y
u
C
y
x
u
B
x
u
A
u
x
y
x
u
y
u
g
Ku
y
u
E
x
u
D
f
x
y
y
,x
g
0
g
g
0
y
,x
u
u
AC
B2
y
,x
0
0
0 y
,
x
0
0
0 y
,
x
0
0
0 y
,
x

то уравнение (1.1) называется соответственно уравнением гиперболического, 
параболического или эллиптического типа в точке 
. 
Если 
 
, 
, 
  
для любой точки 
 из области 
R2, то уравнение (1.1) называется соответственно уравнением гиперболического, параболического или эллиптического типа в области 
. 
Пример 1. 
. 
 
В данном уравнении 
 
 
, 
, 
, 
,  
то есть это уравнение гиперболического типа, описывающее колебательные 
процессы.  
Пример 2. 
. 
Видим, что 
 
, 
, 
.  
Таким образом перед нами уравнение параболического типа, описывающее 
процессы теплопроводности и диффузии. 
Пример 3. 
 
. 
Здесь 
 
, 
, 
, 
.  
Таким образом перед нами уравнение эллиптического типа, описывающее состояния системы, которые не зависят от времени. 
Пример 4. 
. 
В этом уравнении 
  
 
,
,
,
.  
0
0 y
,
x
0
y
,x
0
y
,x
0
y
,x
y
,x
0
,
,
,
2
2
2
2
2
t
u
x
u
t
x
f
x
u
a
t
u
1
A
0
B
2
a
C
0
2
a
t
u
x
u
t
x
f
x
u
a
t
u
,
,
,
2
2
2
2
a
A
0
C
B
0
0
2
2
2
2
y
u
,
x
u
,y
,x
f
y
u
x
u
1
A
0
B
1
C
0
0
2
2
2
2
2
2
u
y
u
y
y
x
u
x
u
x
x
A
1
B
y
C
xy
1

Дискриминант 
 зависит от ,
. 
Тогда: 
а) если 
, то есть 
, то имеем уравнение гиперболического типа; 
б) если 
, то есть 
, то имеем уравнение параболического типа; 
в) если 
, то есть 
, то имеем уравнение эллиптического типа. 
Графически случаи а), б), в) в области 
 можно представить следующим образом: 
 
 
 
Рисунок 1.1 
 
 
§ 1.3. Инвариантность типа уравнения 
 
Введѐм новые независимые переменные: 
   
 
 
(1.2) 
Якобиан преобразования (1.2) будет иметь вид: 
  
, 
где обозначено, например, 
. 
x
y
0
1
xy
1
xy
0
1
xy
1
xy
0
1
xy
1
xy
y
x,
.
y
,x
,
y
,x
x
x
J
y
y
x
x
/
/

Определение. Если 
, то преобразование называется невырожденным. 
 
Теорема. При невырожденном преобразовании тип уравнения (1.2) не меняется.  
Доказательство: Считаем все производные: 
,
 
 
, 
, 
, 
. 
Здесь учтено, что 
 
  
для непрерывной на области 
 функции 
. 
Подставим найденные производные в уравнение (1.2): 
,                  (1.3) 
, 
, 
. 
Тогда для дискриминанта уравнения (1.3) получаем: 
. 
Видим, что знак 
 уравнения (1.3) и знак 
 уравнения (1.2) одинаковый. 
Поэтому тип уравнения не изменился: 
0
J
x
u
x
u
x
u
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
u
x
u
x
u
x
x
u
x
u
y
u
y
u
y
u
2
2
x
u
y
x
u
2
y
x
u
y
x
u
x
y
u
x
y
x
y
u
x
y
u
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
u
y
u
y
u
y
y
u
y
y
u
y
u
y
u
u
u
2
2
*
,
,
u
u
0
2
2
2
2
2
2
u
,
u
,
u,
,
f
u
C
u
B
u
A
2
2
2
y
C
x
y
B
x
A
A
y
y
C
x
y
x
y
B
x
x
A
B
2
2
2
y
C
x
y
B
x
A
C
2
2
J
C
A
B