Алгебра и геометрия

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Москва
РИОР
ИНФРА-М
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Г.И. ШУМАН
О.А. ВОЛГИНА
Н.Ю. ГОЛОДНАЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации 
Владивостокский государственный университет экономики и сервиса (ВВГУ)

УДК 512+514
ББК 22.14+22.151
	
Ш96
Шуман Г.И., Волгина О.А., Голодная Н.Ю.
Алгебра и геометрия : учебное пособие / Г.И. Шуман, О.А. Волгина, 
Н.Ю. Голодная. – Москва : РИОР : ИНФРА-М, 2025. — (Высшее образование). – 160 с. — DOI: https://doi.org/10.12737/1708-1
ISBN 978-5-369-01708-1 (РИОР)
ISBN 978-5-9736-0417-2 (ВВГУ)
ISBN 978-5-16-013140-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105920-3 (ИНФРА-М, online)
В данном учебном пособии по каждой теме приводится теоретическая 
часть курса алгебры и геометрии, в которой рассматриваются основные понятия и формулы, даны решения типовых задач. Содержится большое количество задач для самостоятельной работы студентов, контрольные работы и 
индивидуальные домашние задания.
Для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки, изучающих данный раздел.

УДК 512+514
ББК 22.14+22.151
Ш96
ISBN 978-5-369-01708-1 (РИОР)
ISBN 978-5-9736-0417-2 (ВВГУ)
ISBN 978-5-16-013140-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105920-3 (ИНФРА-М, online)
А в т о р ы :
Шуман Г.И. — доцент кафедры «Математика и моделирование» ВВГУ 
г. Владивосток;
Волгина О.А.— канд. экон. наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» 
ВВГУ г. Владивосток;
Голодная Н.Ю. — доцент кафедры «Математика и моделирование» ВВГУ 
г. Владивосток
Р е ц е н з е н т ы :
Степанова А.А. — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры алгебры, геометрии 
и анализа ДВФУ;
Первухин М.А. — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и моделирования ВВГУ
ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1
©  Шуман Г.И.,
Волгина О.А.,
Голодная Н.Ю.

 
ВВЕДЕНИЕ 
Знания, приобретаемые студентами в результате изучения дисциплины «Алгебра и геометрия», играют важную роль в процессе обучения  
в университете. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами всех 
направлений. 
В пособии предлагаемого объема невозможно полностью осветить 
весь изучаемый теоретический материал, поэтому в каждом разделе приведены лишь необходимые теоретические сведения и формулы, отражающие количественную сторону или пространственные свойства реальных 
объектов и процессов, которые сопровождаются подробными решениями 
типовых задач, без чего невозможно успешное изучение математики. 
Достоинство пособия состоит в том, что при наличии такого количества задач оно может быть использовано как задачник, как раздаточный 
материал для выполнения контрольных работ по соответствующему разделу дисциплины «Алгебра и геометрия», а также содержит 30 различных 
вариантов индивидуальных домашних заданий по всем разделам. 
 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 
1.1. Определители 
1.1.1. Определители второго порядка 
Определение. Определителем второго порядка, соответствующим 
квадратной 
таблице 
элементов 






22
21
12
11
a
a
a
a
, 
называется 
число 
12
21
22
11
a
a
a
a



. Таким образом,  
12
21
22
11
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a






. 
(1.1) 
Числа 
22
21
12
11
,
,
,
a
a
a
a
 называются элементами определителя. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Например, 
21
a
 
стоит во второй строке и первом столбце определителя и читается «а два 
один». Элементы 
22
11,a
a
 называют элементами главной диагонали определителя, а элементы 
21
12,a
a
 — соответственно элементами побочной диагонали. 
Пример 1. Вычислим определитель 
13
6
7
)
3
(
2
7
1
7
2
3
1











. 
Пример 2. Вычислим определитель 
21
0
21
0
)
6
(
)
7
(
3
7
6
0
3















. 
Пример 3. Вычислим определитель 
0
12
12
2
6
4
3
4
6
2
3









. 
1.1.2. Определители третьего порядка 
Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим 
квадратной таблице элементов 










33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
, 

называется число, определяемое равенством  
11
12
13
22
23
21
23
21
22
23
11
12
32
33
31
33
31
32
33
21
22
13
31
32
.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a








 
(1.2) 
Пример 4. Вычислить определитель 
1
5
1
3
1
4
2
3
1



. 
Решение. По определению получим:  
23
42
3
16
21
2
1
3
)
16
(
1
)1
20
(
2
)
3
4
(
3
)
15
1
(
1
5
1
1
4
2
1
1
3
4
3
1
5
3
1
1
































 
Если в формуле (1.2) раскрыть определители второго порядка и собрать 
слагаемые с одинаковыми знаками, то получим: 
11
22
33
21
32
13
12
23
31
11
23
32
12
21
33
13
22
31.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



















 
(1.3) 
Этот способ вычисления определителя третьего порядка называется 
правилом треугольника. 









  









 
 
Первые три слагаемых для вычисления определителя есть сумма произведений элементов главной диагонали и элементов, расположенных  
в вершинах треугольников, как они показаны линиями на первом рисунке; 
оставшиеся слагаемые есть сумма произведений, взятых со знаком минус, 
элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах 
треугольников, как они показаны линиями на втором рисунке. 
Пример 5. Вычислить определитель 
1
2
1
4
3
0
3
1
2




 по правилу треугольника. 
. 

Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя 
1
)
3
(
2



, затем — элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и 
элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника 
3
2
0


,
1
4
)1
(



. Элементы, входящие в формулу (1.3) со знаком 
минус, вычисляем аналогично, но относительно побочной диагонали: 
3
)
3
(
1



,
1
)1
(
0



,
4
2
2


. 
Таким образом, 
4
2
2
1
)1
(
0
3
)3
(
1
1
4
)1
(
3
2
0
1
)3
(
2
























 
17
16
0
9
4
0
6









 
Определение. Определитель, в котором под главной диагональю (над 
главной диагональю) стоят нули, называется определителем треугольного 
вида. 
Определитель треугольного вида равен произведению элементов 
главной диагонали. 
Пример 6. Вычислить определитель 
8
0
0
6
5
0
1
3
2




. 
Решение. По условию дан определитель треугольного вида, так как 
под главной диагональю этого определителя стоят нули, значит значение 
данного определителя равно произведению элементов главной диагонали, 
т.е. 
80
8
5
2





. 
Определение. Минором элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного определителя путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых 
стоит данный элемент. 
Минор элемента 
ij
a , стоящего на пересечении i-ой строки и j-го 
столбца определителя, обозначают 
ij
M
. 
Например, для определителя  
8
2
4
11
7
1
3
5
2



 
миноры 
26
28
2
2
4
7
1
13





M
, 
46
6
40
8
2
3
5
21





M
. 
Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на 
k)1
(
, где k равно сумме номера строки и номера столбца, на пересечении 
которых находится этот элемент. 

Алгебраическое дополнение элемента 
ij
a  обозначают
ij
A . Согласно 
определению 
j
i
k
M
A
ij
k
ij





,
)1
(
. 
(1.4) 
Для определителя третьего порядка знак, который при этом приписывается минору соответствующего определителя, определяется следующей 
таблицей: 









. 
Из определения определителя третьего порядка следует, что  
13
13
12
12
11
11
A
a
A
a
A
a







. 
Верна общая теорема разложения: определитель 3-го порядка равен 
сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения. 
Таким образом, имеют место шесть разложений: 
.
,
,
,
,
,
33
33
23
23
13
13
32
32
22
22
12
12
31
31
21
21
11
11
33
33
32
32
31
31
23
23
22
22
21
21
13
13
12
12
11
11
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a










































 
(1.5) 
Отметим, что сумма произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) на алгебраические дополнения элементов параллельного 
ряда равна нулю. 
Пример 7. Вычислить определитель 
6
3
7
4
2
1
2
3
5



, 
разлагая его по элементам третьего столбца. 
Решение. Согласно теореме разложения и формулы (1.4) имеем: 


































)
3
7
3
5
(
)1
(
4
)
2
7
3
)1
((
)1
(
2
2
1
3
5
1
6
3
7
3
5
)1
(
4
3
7
2
1
)1
(
2
6
4
2
5
4
3
3
3
2
3
1
33
23
13
A
A
A
 
.
68
78
24
34
)
3
10
(
6
)
21
15
(
4
)
14
3
(
2
)
3
)1
(
2
5
(
)1
(
6
6




















 

1.1.3. Свойства определителей 
Следующие свойства справедливы для определителей любого порядка, позволяют упростить вычисления определителей. 
Свойство 1. (Транспонирование строк и столбцов). Определитель не 
меняет своего значения, если его строки заменить столбцами с теми же 
номерами, а столбцы — строками, т.е. 
33
23
13
32
22
12
31
21
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

. 
Введенное действие называется транспонированием строк и столбцов. 
Свойство 2. Если переставить две строки (столбца) определителя, то 
знак значения определителя изменится на противоположный: 
33
32
31
13
12
11
23
22
21
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a


. 
Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковых строки или два 
одинаковых столбца, то он равен нулю: 
0
13
12
11
23
22
21
13
12
11

a
a
a
a
a
a
a
a
a
. 
Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя: 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
k
a
a
a
k
a
a
a
k
a
a
a
k





. 
Свойство 5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны 
нулю, то определитель равен нулю: 
0
0
0
0
32
31
22
21
12
11

a
a
a
a
a
a
. 

Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю: 
0
31
32
31
21
22
21
11
12
11




a
k
a
a
a
k
a
a
a
k
a
a
. 
Свойство 7. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в 
виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, 
прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые слагаемые, 
а во втором определителе — вторые: 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
23
13
32
22
12
31
21
11
33
32
31
31
23
22
21
21
13
12
11
11
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a





. 
Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам 
какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы параллельной строки (столбца), умноженные на одно и то же число: 
33
32
33
31
23
22
23
21
13
12
13
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
k
a
a
a
a
k
a
a
a
a
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a







. 
Пример 8. Вычислить определитель 
5
2
1
1
6
3
4
2
1`




, используя свойства определителей. 
Решение. Элементы первого и второго столбцов данного определителя пропорциональны 
2
1
2
1
6
3
2
1





, поэтому, согласно свойству 6, данный определитель равен нулю, т.е. 
0


. 
Пример 9. Вычислить определитель 
1
0
4
1
3
1
2
1
1`


, используя свойства определителей. 
Решение. Используя свойство 8, приведем данный определитель к 
треугольному виду. Для этого элементы первой строки умножим на (–1) и 
прибавим к элементам второй строки: 

1
0
4
1
2
0
2
1
1
1
0
4
)
2
(
1
)1
(
3
)1
(
1
2
1
1
1
0
4
1
3
1
2
1
1`











. 
Элементы первой строки умножим на (–4) и прибавим к элементам 
третьей строки: 
7
4
0
1
2
0
2
1
1
)
8
(
1
)
4
(
0
)
4
(
4
1
2
0
2
1
1`













. 
Элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам 
третьей строки: 
9
0
0
1
2
0
2
1
1
)
7
(
2
)
4
(
4
0
1
2
0
2
1
1`











. 
Получили определитель треугольного вида (под главной диагональю 
определителя все элементы равны нулю), и поэтому значение определителя будет равно произведению элементов главной диагонали преобразованного определителя: 
18
)
9
(
2
1
9
0
0
1
2
0
2
1
1
1
0
4
1
3
1
2
1
1











. 
Пример 10. Вычислить определитель 
4
2
4
1
2
3
1
1
1`



, используя свойства определителей. 
Решение. 
4
2
4
2
1
2
1
1
1
4
2
4
1
1
1
1
1
1
4
2
4
2
1
1
1
2
1
1
1
1`












. 
Воспользовались свойством 7, а так как в первом полученном определителе первые две строки одинаковые, то по свойству 3 этот определитель 
равен нулю, поэтому