Математическое моделирование в условиях неопределенности

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Ростовский государственный экономический университет (РИНХ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л. В. Сахарова  
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ 
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
2017 

УДК 51 (075) 
С 22 
 
С 22 Сахарова Л. В. Математическое моделирование в условиях неопределенности : учеб. пособие / Л. В. Сахарова. – Ростов н/Д: Издательскополиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ), 2017. – 102 с. 
 
ISBN 978-5-7972-2363-4 
 
 
 
Учебник содержит обзор теории, а также проверочные задания по разделам: «Нечеткие множества», «Нечеткие отношения», «Нечеткая и лингвистическая переменная», «Нечеткие высказывания и нечеткие модели систем», «Нечеткие модели в экономике» дисциплины «Математическое моделирование в 
условиях неопределенности». 
Пособие предназначено для проведения аудиторных занятий в группах 
бакалавров дневного отделения подготовки направления «Прикладная математика и информатика». 
 
 
Рецензенты: 
д.ф.-м.н., профессор кафедры «Дифференциальные и интегральные уравнения» 
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» Боев Н. В. 
к.э.н., доцент кафедры «Фундаментальная и прикладная математика»  
ФГБОУ ВПО «РГЭУ (РИНХ)» Алексейчик Т. В. 
 
 
Утверждено в качестве учебного пособия  
редакционно-издательским советом РГЭУ (РИНХ) 
 
 
ISBN 978-5-7972-2363-4 
© Ростовский государственный  
экономический университет  
(РИНХ), 2017 
© Сахарова Л. В., 2017 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Настоящее пособие соответствует программе дисциплины «Математическое моделирование в условиях неопределенности» для бакалавров дневного 
отделения подготовки направления подготовки «Прикладная математика и информатика». Оно содержит обзор теории, а также проверочные задания по разделам: «Нечеткие множества», «Нечеткие отношения», «Нечеткая и лингвистическая переменная», «Нечеткие высказывания и нечеткие модели систем», «Нечеткие модели в экономике». 
Материал разбит на параграфы, включающие изложение теоретического 
материала и иллюстрирующие его примеры решения задач, а также набор заданий и вопросов для самостоятельной работы. Существенное внимание уделено 
изложению основных понятий теории нечетких множеств и нечеткой логики, 
что обеспечивает обоснованный переход к математическим моделям экономики 
на основе нечетко-логических выводов. В учебном пособии представлен подробный обзор ряда современных нечетких моделей экономического и финансового анализа, таких как: анализ риска банкротства корпорации, оценка риска 
неэффективности инвестиционного проекта, оценка инвестиционной привлекательности акций, нечеткая оптимизация фондового портфеля. 
Пособие может быть использовано как для проведения аудиторных занятий, так и для организации самостоятельной работы студентов. Нумерация задач самостоятельна в каждом параграфе. Символика и терминология соответствуют учебным пособиям, рекомендуемым программой курса дисциплины 
«Математическое моделирование в условиях неопределенности». 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Принятие решений в различных областях экономики, в первую очередь, в 
стратегическом инвестировании, характеризуется неполнотой и нечеткостью исходной информации, ненаблюдаемостью ряда переменных процесса, влиянием 
внешних факторов. Динамика современных экономических процессов такова, что в 
распоряжении аналитиков остается все меньше времени для сбора данных, а с другой стороны – большой объем ретроспективных данных совсем не гарантирует высокой достоверности предположений о будущем характере анализируемых процессов. Неустранимым качеством экономики является неопределенность, связанная с 
тем, что на рыночные условия оказывает свое одновременное воздействие неизмеримое число факторов различной природы и направленности, не подлежащих совокупной оценке. Но и даже если бы все превходящие рыночные факторы были в модели учтены (что невероятно), сохранилась бы неустранимая неопределенность относительно характера реакций рынка на те или иные воздействия. 
Поэтому фактически при принятии управленческих решений в большинстве 
случаев используются не столько реальные или оговоренные в контрактах данные, 
сколько ожидаемые их значения для некоторых более или менее правдоподобных 
гипотез. Если для прогнозирования используется математическое моделирование, 
то точность прогнозного результата зависит не только от адекватности самой математической модели, но и от точности оценки ее входных параметров, то есть деятельности экспертов, или лиц, принимающих решение (ЛПР). Таким образом, к 
неопределенности внешних условий добавляется субъективная неопределенность, 
характерная для человеческого мышления. Как правило, экспертные оценки носят 
приблизительный, «размытый» характер («очень высокий уровень роста», «достаточно низкая цена)»; для входных параметров модели указывается не только 
наиболее вероятное значение входного параметра, но интервал его размытия; оценивается вероятность варьирования величин параметров в тех или иных интервалах изменения. Аналитически данная ситуация хорошо описывается моделями относительно молодой отрасли математики – нечеткой логики, основанной профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). 
Его работа «Fuzzy Sets» («Нечеткие множества»), появившаяся в 1965 году в журнале Information and Control, заложила основы моделирования интеллектуальной 
деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию математических 
моделей в условиях полной неопределенности. 

1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА 
 
1.1. Определение нечеткого множества 
 
Определение. Пусть E – универсальное множество, x – элемент E, а R – 
некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как 
множество упорядоченных пар A = {A (х)/х}, где A(х) – характеристическая 
функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 – в 
противном случае.  
Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x 
из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R. В связи с 
этим нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как 
множество упорядоченных пар  
A = {A(х)/х},  
где A(х) – характеристическая функция принадлежности (или просто 
функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. 
Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то 
нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или, четкое, 
множество.  
Примеры записи нечеткого множества 
1. Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A – нечеткое множество, для которого  
A(x1)=0,3; A(x2)=0; A(x3)=1; A(x4)=0,5; A(x5)=0,9.  
Тогда A можно представить в виде: 
A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или 
A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, или  
A = 
x1  x2 x3 x4  x5  
0,3 0 1 0,5 0,9 
 
Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции сложения, 
а имеет смысл объединения.  
 

1.2. Основные характеристики нечетких множеств 
 
Пусть M = [0,1] и A – нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.  
Определение. Величина 
A(x) называется высотой нечеткого множества A. Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя 
граница его функции принадлежности равна 1 (
A(x)=1).  
При 
A(x)<1 нечеткое множество называется субнормальным.  
Определение. Нечеткое множество пусто, если  xE A(x)=0. Непустое 
субнормальное множество можно нормализовать по формуле: 
A(x) := 
. 
Определение. Нечеткое множество унимодально, A(x)=1 только на одном x из E.  
Определение. Носителем нечеткого множества A является обычное 
подмножество со свойством A(x)>0, т.е. носитель A = {x/A(x)>0}  xE.  
Определение. Элементы xE, для которых A(x)=0,5, называются точками перехода множества A.  
 
Пример 1.  
Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1].  
Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: 
"несколько" = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8;  
его характеристики:  
высота = 1,  
носитель={3,4,5,6,7,8},  
точки перехода – {3,8}.  
 
Пример 2.  
Пусть E = {0,1,2,3,...,n,...}.  
Нечеткое множество "малый" можно определить: 

. 
 
Пример 3.  
Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество «молодой» может быть определено с помощью 
"молодой"(x) = 
. 
Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве  
E' ={Иванов, Петров, Сидоров,...}  
задается с помощью функции принадлежности "молодой"(x) на E = 
{1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E’ функцией совместимости, при этом:  
"молодой"(Сидоров):= "молодой"(x),  
где x – возраст Сидорова.  
 
Пример 4.  
Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....}  
Есть множество марок автомобилей, а E' = [0,) – универсальное множество "стоимость", тогда на E' мы можем определить нечеткие множества типа: 
"для бедных", "для среднего класса", "престижные", с функциями принадлежности типа (рис. 1). 
 
 
Рисунок 1. Функции принадлежности для примера 4. 
 

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент 
времени, мы тем самым определим на E' нечеткие множества с этими же названиями. Так, нечеткое множество "для бедных", заданное на универсальном 
множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....}, выглядит следующим образом (рис. 2). 
 
 
Рисунок 2. Нечеткие множества для примера 4 
 
Аналогично можно определить нечеткое множество "скоростные", 
"средние", "тихоходные" и т.д. 
  
 
1.3. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств 
 
Функции принадлежности являются субъективным понятием, т.к. они 
определяются людьми (экспертами) и каждый человек дает свою оценку. Существуют различные методы задания функций принадлежности. 
Будем считать, что функция принадлежности – это некоторое невероятное субъективное измерение нечеткости и что она отличается от вероятностной 
меры, т.е. степень принадлежности A(x) элемента x нечеткому множеству A~  
есть субъективная мера того, насколько элемент xX соответствует понятию, 
смысл которого формализуется нечетким множеством A~ .  
Степень соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством A~ , определяется опросом экспертов и представляет собой субъективную меру. 
Существуют два класса методов построения функций принадлежности 
множества A~ : прямые и косвенные. 
Прямые методы построения. Прямыми методами построения функций 
принадлежности называют такие методы, в которых степени принадлежности 
элементов x множества X непосредственно задаются либо одним экспертом, либо 
коллективом экспертов. Прямые методы подразделяются на прямые методы для 
одного эксперта и для группы экспертов в зависимости от количества экспертов. 

Прямой метод для одного эксперта состоит в том, что эксперт каждому 
элементу xX ставит в соответствие определенную степень принадлежности 
A(x), которая, по его мнению, наилучшим образом согласуется со смысловой 
интерпретацией множества A~ .  
Применение простых методов для группы экспертов позволяет интегрированно учитывать мнение всех экспертов и строить график соответствия между элементами из множества X. Возможна следующая процедура построения 
функции принадлежности A(x). 
Экспертам, составляющим группу из m человек, задается вопрос о принадлежности элемента xX нечеткому множеству A~ . Пусть часть экспертов, 
состоящая из n1 человек, ответила на вопрос положительно, а другая часть экспертов n2=m-n1 ответила отрицательно. Тогда принимается решение, что 
A(x)=n1/m.  
В более общем случае с оценками экспертов сопоставляются весовые коэффициенты ai[0,1]. Коэффициенты ai отражают степень компетентности экспертов. Степень принадлежности элемента x нечеткому множеству A~  определится формулой: 
,
m
/
a
p
)
x
(
m
1
i
i
i
i
A




 
где pi=1 при положительном ответе и pi=0 при отрицательном ответе эксперта. 
Недостатки прямых методов состоят в присущем им субъективизме, т.к. 
человеку присуще ошибаться.  
Пример: для исследования были предложены пять предметов для изучения: мат. анализ, экономическая кибернетика, функциональный анализ, численные методы и история. Экспертом определены следующие оценки значимости предметов по шкале относительной важности: мат. анализ и экономическая 
кибернетика-3, мат. анализ и функциональный анализ-4, мат. анализ и численные методы-5, мат. анализ и история-2, экономическая кибернетика и функциональный анализ-4, экономическая кибернетика и численные методы-3, экономическая кибернетика и история-2, функциональный анализ и численные методы-3, функциональный анализ и история-2, численные методы и история-4. 
Необходимо, используя метод парных сравнений, построить функцию принадлежности для определения важности дисциплины для будущей специальности. 
Решение: построим матрицу попарных сравнений (табл. 1). 
 

Таблица 1. Матрица попарных сравнений. 
 
Матанализ Экономическая 
кибернетика 
Функциональный 
анализ 
Численные  
методы 
История 
Мат. анализ 
1 
3 
4 
5 
2 
Экономическая  
кибернетика 
1/2 
2 
4 
3 
2 
Функциональный 
анализ 
1/4 
1/2 
2 
3 
2 
Численные методы 
1/7 
1/5 
1/6 
2 
4 
История 
2 
1/2 
2 
1/4 
2 
 
D=d1+d2+d3+d4+d5; 
d1=
 = 2,605;  d2=
; 
d3=
; d4=
; 
d5=
= 1,098 
d=2,605+1,888+0,991+1,109+1,098=7,691; W=  
W1=2,605/7,691=0,338; 
W2=1,888/7,691=0,245; 
W3=0,991/7,691=0,128; 
W4=1,109/7,691=0,144; 
W5=1,098/7,691=0,142. 
Косвенные методы построения функций принадлежности. Косвенными методами построения функций принадлежности называют такие методы, в 
которых достигается снижение субъективного влияния за счет разбиения общей 
задачи определения степени принадлежности A(x), xX на ряд более простых 
подзадач. Одним из косвенных методов является метод попарных сравнений. 
Рассмотрим его суть. 
На основе ответов экспертов строится матрица попарных сравнений 
M=mij, в которой элементы mij представляют собой оценки интенсивности принадлежности элементов xiX подмножеству A~  по сравнению с элементами xjX. Функция принадлежности a(x) определяется из матрицы M. Предположим, что известны значения функции принадлежности A(x) для всех значений xХ. Пусть A(x)=ri, 
X.
x
   
,
n
1,
i


 Тогда попарные сравнения определяются mij=ri/rj. Если отношения точны, то получается соотношение в матрич