Математика

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Ростовский государственный экономический университет (РИНХ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л. В. Сахарова  
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
 
УЧЕБНИК 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
2017 
 
 

УДК 51 (075) 
ББК 22.1 
С 22 
 
С 22 Сахарова Л. В. Математика: учебник / Л. В. Сахарова. – Ростов н/Д: Издательско-полиграфический комплекс РГЭУ (РИНХ), 2017. – 116 с. 
 
ISBN 978-5-7972-2361-0 
 
 
Учебник содержит теоретический материал, а также более 500 задач по 
разделам «Пределы. Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Неопределенный и определенный интеграл» и «Функции нескольких 
переменных. Дифференциальные уравнения» курса математического анализа. 
Материал сгруппирован в параграфы по темам. В начале каждого параграфа 
содержится подробное изложение теоретического материала и решение некоторых типовых задач. В конце параграфов представлены задачи различного уровня сложности, начиная от простейших до повышенного уровня сложности. 
Учебник предназначен для проведения занятий по математике и организации домашней самостоятельной работы студентов очной и заочной формы 
обучения направления подготовки «Менеджмент». 
 
Рецензенты: 
д.ф.-м. н., профессор кафедры «Дифференциальные и интегральные уравнения» 
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» Боев Н. В. 
к.э.н., доцент кафедры «Фундаментальная и прикладная математика»  
ФГБОУ ВО «РГЭУ (РИНХ)» Алексейчик Т. В. 
 
УДК 51 (075) 
ББК 22.1 
 
Утверждено в качестве учебника 
редакционно-издательским советом РГЭУ (РИНХ) 
 
ISBN 978-5-7972-2361-0 
© Ростовский государственный  
экономический университет  
(РИНХ), 2017 
© Сахарова Л. В., 2017 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Настоящее пособие соответствует программе дисциплины «Математика» 
для бакалавров дневного и заочного отделения подготовки направления «Менеджмент». Оно содержит обзор теории, а также задачи различных уровней 
сложности по разделам математического анализа «Пределы. Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Неопределенный и определенный интеграл» и «Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения». 
Раздел «Пределы. Дифференциальное исчисление функции одной переменной»» разбит на четыре параграфа, раздел «Неопределенный и определенный интеграл» на два параграфа, раздел «Функции нескольких переменных. 
Дифференциальные уравнения» также на два параграфа, состоящие из теоретического материала, содержащего ключевые определения и формулы, примеров 
решения задач, набора заданий для самостоятельного решения. Материал проиллюстрирован применениями изучаемых математических понятий в экономических расчетах. 
Количество задач, содержащихся в пособии, позволяет варьировать материал, используемый преподавателем для проведения занятий, домашних заданий и подготовки к выполнению типового расчетного задания. 
Нумерация задач самостоятельна в каждом параграфе. Символика и терминология соответствуют учебным пособиям, рекомендуемым программой 
курса дисциплины «Математика». 
 
 

Часть 1. ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 
 
§ 1. Пределы 
 
1.1. Предел последовательности 
 
Число а называется пределом последовательности 
,...
,...,
,
2
1
n
x
x
x
 при 


n
, 
n
n
x
a


lim
, если для всякого 
0


 существует такое число 

0


N
, что 
для всех 


N
n 
 справедливо неравенство 


a
xn
. 
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.  
Последовательность 
n
x
 называется бесконечно малой, если 
0
lim



n
n
x
 и 
бесконечно большой, если 




n
n
x
lim
. 
Если последовательности 
n
x
 и 

n
y  сходящиеся, то: 
1) 


n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x









lim
lim
lim
; 
2) 


n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x









lim
lim
lim
; 
3) 




















0
lim
lim
lim
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
x
y
x
. 
Если 
n
n
y
x 
, то 
n
n
n
n
y
x




lim
lim
. 
Сумма n членов арифметической прогрессии: 
n
a
a
S
n
n



2
1
, где 
)
1
(
1




n
d
a
an
. 
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 
q
a
S

1
1 , где 
1

q
. 
Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что 
1
lim



n
n
x
, если 
1
2
1
2



n
n
xn
. 
Решение. Для любого 
0


 попробуем найти такое натуральное число 
)
(
N
, что для всякого натурального 
)
(
N
n 
 выполнялось неравенство 


1
n
x
. 
Для этого найдем абсолютную величину разности 

1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2








n
n
n
n
. 
Значит, неравенство 


1
n
x
 выполняется, если 


1
2
2
n
 выполняется, 
откуда 
2
1
1 


n
. Поэтому в качестве 
)
(
N
 можно взять целую часть числа 
2
1
1 

. 
Пример 2. Найти 
n
n
x


lim
, если 
2
2
2
4
5
3
n
n
n
xn




. 
Решение. 
1
2
4
5
3
2
2




n
n
n
xn
, 
3
1
2
lim
4
5
3
lim
lim
2
2























n
n
n
x
n
n
n
n
. 
Пример 3. Найти 
n
n
x


lim
, если 
1
5
...
2
1
3
2
2
2






n
n
n
xn
 
Решение. 
3
2
2
3
2
3
3
6
6
30
1
3
2
)1
5
(
6
3
2
)1
5
(
6
)1
2
(
)1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xn
















, 
15
1
lim



n
n
x
. 
Пример 4. Найти 
n
n
x


lim
, если 
1
3
2




n
n
xn
. 
Решение. 









n
n
n
xn
/
1
1
/
3
2
 при 


n
, так как второй множитель имеет положительный предел. 
 
 
1.2. Предел функции 
 
Определение. Окрестность конечной точки x0  R (обозначение: U(x0)) 
– любой интервал, содержащий эту точку: U(x0) = {x | x1 < x0 < x2} . Тогда 
U(x0,) ={x | x0 –  < x <x0 + } = {x| |x – x0| < } – симметричная окрестность 
точки x0 радиуса  > 0).  
Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0, если 
для любого числа  > 0 существует такое число  > 0, что для всех значений х, 
удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < , выполняется неравенство 
|f(x) – A| < . 
Обозначения предела функции f(x) при х, стремящемся к х0: 
= А или f(x)  А при хх0, 
0
lim
( )
x
x f x


С использованием логических символов это определение компактно записывается в виде: 
 
Смысл определения заключается в том, что f(x) будет сколь угодно близким к А при всех х, достаточно близких к x0.  
При вычислении пределов используют следующие правила и свойства 
 
1) 
 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
 
4) 
;  
 
5) 
 
 
 
1.3. Бесконечно малые функции 
 
Функция 
x

 называется бесконечно малой при 
a
x 
, если 

0
lim


x
a
x

. Аналогично определяется бесконечно малая 
x

 при 


x
. 
Функция 
)
(x
f
называется бесконечно большой при 
a
x 
, если 




x
a
x

lim
. Аналогично определяется бесконечно большая 
)
(x
f
 при 


x
. 
Величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой. 
Свойства бесконечно малых функций 
1. Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых 
функций при 
a
x 
также являются бесконечно малыми при 
a
x 
. 
2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию 
есть бесконечно малая. 
0
0
lim
( )
0
( )
0
(0
( )
).
x
x f x
A
x
x
x
f x
A














x
y
x
f
x
y
x
f
x
x
x
x
x
x
lim
lim
)
lim
0
0
(
0








x
y
x
f
x
y
x
f
x
x
x
x
x
x
lim
lim
)
lim
0
0
(
0










 ;
lim
lim
lim
0
0
(
0
x
y
x
f
x
y
x
f
x
x
x
x
x
x














0
lim
0
x
y
x
x



const
с
x
f
с
x
y
x
сf
x
x
x
x





;
lim
)
lim
0
0
;
lim
0
C
C
x
x



3. Величина. Обратная бесконечно малой функции, есть бесконечно 
большая функция. 
Пусть функции 
x

 и 

x

 являются бесконечно малыми при 
a
x 
, 
если 


c
x
x
a
x



lim
, где c  – некоторое конечное число, отличное от нуля, то 
функции 
x

 и 

x

 называются бесконечно малыми одного порядка. Если 
1

c
, то функции 
x

 и 
x

 называются эквивалентными 
x

~ 
x

. 
Важнейшие эквивалентности при 
0

x
: 
1. 
x
sin
~ x   
2. tgx ~ x  
 
3. 
x
arcsin
~ x  
 
4. arctgx ~ x  
5. 
x
cos
1
~ 2
2
x  
6. 
1

x
e
~ x   
7. 
1

x
a
~
a
x ln

  
8. 


x

1
ln
~ x  
9. 


x
a

1
log
~
e
x
a
log

 
10. 

1
1


k
x
~
0
,


k
x
k
 
11. 
1
1

x
~ 2
x  
Пример 5. Доказать, что функция 

5
4
2
2 


x
x
x
f
 при 
2

x
 является бесконечно малой.  
Решение. 

0
1
0
5
4
2
lim
5
4
2
lim
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2











x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
. 
Пример 6. Определить порядок малости величины  относительно бесконечно малой величины , если 



2
cos
cos


. 
Решение. 
2
sin
2
3
sin
2
2
cos
cos









. 
Отсюда 
2
3
2
sin
2
3
sin
2
lim
lim
2
0
2
0























. 
Следовательно,  – бесконечно малая того же порядка, что и 
2
, т.е. 
второго порядка относительно . 
Пример 7. Доказать, что бесконечно малые 
x


 и 








x
x
1
cos

 (при 
0

x
) несравнимы между собой, т.е. предел их отношения не существует. 

Решение. В самом деле, 
















x
x
x
x
x
x
1
cos
lim
1
cos
lim
0
0
 не существует. Значит, эти 
бесконечно малые функции несравнимы. 
Пример 8. Заменить бесконечно малую функцию эквивалентной, если 

3
5
sin
3





f
. 
Пример 8. С помощью принципа замены эквивалентных вычислить предел: 


x
x
x
4
1
ln
5
sin
lim
0


.  
Решение. Имеем 
x
5
sin
~ x
5 , 


x
4
1
ln 
~ x
4 . Поэтому 


4
5
4
5
lim
4
1
ln
5
sin
lim
0
0





x
x
x
x
x
x
. 
Пример 9. С помощью принципа замены эквивалентных вычислить предел 
1
1
cos
ln
lim
4
2
0



x
x
x
.  
Решение. Из таблицы эквивалентности бесконечно малых функций устанавливаем: 
1
1
4
2 
x
~ 4
2
x
, 
x
cos
ln
~




1
cos
1
ln


x
~
1
cos

x
. 




2
2
lim
4
1
cos
lim
4
4
1
cos
1
lim
1
1
cos
ln
lim
2
2
0
2
0
2
0
4
2
0
















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 
 
 
1.4. Примеры вычисления пределов 
 
Пример 10. 










3
lim
6
lim
4
lim
)
3
6
4
(
lim
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
 
 
7
3
2
6
2
4
3
lim
lim
6
lim
4
2
2
2
2
2












x
x
x
x
x
. 
Пример 11. 













)
6
5
2
(
lim
)
7
4
3
(
lim
6
5
2
7
4
3
lim
2
1
2
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
2
6
1
5
1
2
7
1
4
1
3
6
lim
lim
5
lim
2
7
lim
lim
4
lim
3
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1




















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 
Пример 12. 
2
)
2
(
lim
4
)
4
(
)
2
(
lim
0
0
4
8
6
lim
4
4
2
4



















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 
Пример 13. 
2
0
0
3
0
0
6
2
7
3
lim
4
5
6
lim
2
7
3
4
5
6
lim
2
7
3
4
5
6
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2








































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 

Пример 14. 




















0
9
1
1
lim
)9
(
lim
1
1
9
lim
2
0
2
0
2
2
0
x
x
x
x
x
x
x
. 
Пример 15. 


















)
2
1
(
)
2
1
(
)
2
1
(
)3
(
)3
(
lim
2
1
9
lim
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 

















1
)
2
1
(
)3
(
lim
4
1
)
2
1
(
)3
(
)3
(
lim
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
24
)
2
2
(
6
)
2
1
3
(
)
3
3
(








. 
Пример 16. 




















n
n
n
n
n
n
n
n
2
1
2
)1
2
(
1
lim
...
3
2
1
)1
2
(
...
5
3
1
lim
2
1
1
1
lim
2
1
2
lim
1
1
2
1
lim














n
n
n
n
n
n
n
n
. 
Пример 17. 
4
3
12
27
12
lim
8
6
27
5
12
lim
8
6
27
5
12
lim
3
3
3
3
2
3
3
3
2
3
















n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
. 
Пример 18. 
















)
5
2
9
(
)
8
(
)
4
2
(
)
25
2
9
(
lim
2
5
2
9
lim
3
3
2
8
3
8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
   
 
5
12
5
2
9
4
2
lim
2
)
5
2
9
(
)
8
(
)
4
2
(
)
16
2
(
lim
3
3
2
8
3
3
2
8


















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 
 
 
1.5. Специальные пределы 
 
1-й спецпредел 
Пусть 
 – бесконечно малая функция при 
, тогда 
, 
неопределенность 
, т.е. предел отношения синуса бесконечно малого аргумента к самому этому аргументу равен единице, например:  
;  
;  
 
 
Как следствие, получаются формулы: 
 
; 
 
; 
. 
 
Пример 19. 
=
= 
. 

x

x
x
0



1 
 
sin
lim
0


x
x
x
x








0
0
1 
 
2
2
sin
lim
0


x
x
x
1 
 
sin
lim
5
5
0


x
x
x




1 
 
2
2
sin
lim
2




x
x
x


1 
 
lim
0


x
x
tg
x
x




1 
 
arcsin
lim
0


x
x
x
x




1 
 
lim
0


x
x
arctg
x
x


 
5
sin
lim
0
x
x
x 






0
0
 
5
5
5
sin
lim
0




x
x
x
 5
1
5
5
5
sin
lim
5
0




x
x
x

Пример 20. 
=
=
 
 
.
 
Пример 21. 
=
= 
 
 
Пример 22. 
=
= 
 
2-й спецпредел: 
 
Раскрывает неопределенность вида 
 
Например: 
; 
; 
 
Пример 23. 
= 
= 
 = 
= 
 
3-й спецпредел: 
 
Раскрывает неопределенность вида 
 
Например: 
; 
; 
 
 
Пример 24. 
= 
 
 
Пример 25. 
=
= 
 
 
4-й спецпредел: 
 
 
5
2
sin
lim
0
x
tg
x
x 






0
0
 
2
5
2
2
sin
lim
0




x
x
tg
x
x
x


x
x
x
2
2
sin
lim
0
 
5
5
5
2
sin
lim
0



x
tg
x
x
5
2
5
2
1
1
 
5
2
5
2
sin
lim
1
0








x
tg
x
x
 
3
lim
2
2
0
x
x
tg
x 






0
0
9
 
3
3
9
3
3
lim
0






x
x
x
tg
x
tg
x
 
3
3
lim
0


x
x
tg
x
9
 
3
3
lim
0


x
x
tg
x
 
5
sin
3
cos
1
lim
2
0
x
x
x
x








0
0
 
 
5
sin
3
sin
lim
2
0


x
x
x
x
 
 
3
5
sin
3
3
3
sin
3
sin
3
lim
0







x
x
x
x
x
x
x
5
9
 
5
5
sin
5
3
lim
0





x
x
x



e
x
x
x
x









1
lim
1
0

1



e
x
x
x



2
1
lim
2
1
0
e
x
x
x






3
1
lim
3
0


.
sin
1
lim
sin
1
0
e
x
x
x









3
1
lim
5
0
x
x
x

1

x
x
x x
x
5
3
3
1
3
lim
0






















e
x
x
x


3
5
lim
0
e3
5


1 
 
1
ln(
lim
0



x
x
x
x








0
0
1 
 
3
)
3
1
ln(
lim
2
2
0



x
x
x
1 
 
7
)
7
1
ln(
lim
0




x
x
x
1.
 
 
5
)
5
1
ln(
lim
0



x
tg
x
tg
x
 
 
2
sin
)
5
1
ln(
lim
0



x
x
x






0
0
 
 
2
sin
5
5
)
5
1
ln(
lim
0





x
x
x
x
x
.
2
5 
 
2
2
sin
2
5
lim
0




x
x
x


 
5
1
ln
3
cos
1
lim
2
2
0
x
x
x









0
0





 
5
1
ln
5
3
sin
5
lim
2
2
2
2
0
x
x
x
x
x
5
9
 
9
5
9
3
sin
lim
2
2
0




x
x
x


a
ln 
 
 
lim
0


x
a
x
x
x

