Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 
 
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
«РИНХ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ  
В СОВРЕМЕННЫХ И КЛАССИЧЕСКИХ 
МОДЕЛЯХ  
ЭКОНОМИКИ И ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 
 
 
 
МАТЕРИАЛЫ  
РЕГИОНАЛЬНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ  
ПРОФЕССОРСКО-ПРЕПОДАВАТЕЛЬСКОГО СОСТАВА 
 
 
 
(30 октября 2007 г., г. Ростов-на-Дону) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону  
2008 

УДК 378 
М 34 
 
 
Математические методы в современных и классических моделях экономики 
М 34 и естествознания: материалы региональной научно-практической конференции 
профессорско-преподавательского состава (30 октября 2007 г., г. Ростов-на-Дону) / 
Ростовский государственный экономический университет «РИНХ». –  
Ростов н/Д, 2008. – 104 с. 
 
ISBN 978-5-7972-1226-3 
 
 
 
 
Материалы включают тезисы докладов и сообщений научно-практической 
конференции, проведенной 30 октября 2008 г. в г. Ростове-на-Дону в Ростовском государственном экономическом университете «РИНХ».  
Научная проблематика конференции представлена научными сообщениями по математическим методам в современных и классических моделях 
экономики и естествознания. 
Материалы 
конференции 
предназначены 
для 
профессорскопреподавательского состава, аспирантов, практических работников. 
УДК 378 
 
 
 
Редакционная коллегия: 
Седенко В.И. (ответственный редактор), 
Долятовский В.А., Павлов И.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7972-1226-3 
© Ростовский государственный  
экономический университет  
«РИНХ», 2008 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
СЕКЦИЯ 1. 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ 
Гуров М.Н., Задорожный А.И. 
0HОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ТОРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ 
В ШАРОВОМ СЛОЕ САМОГРАВИТИРУЮЩЕЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 
70H5 
Коледов Л.В., Николенко П.В. 
1HК ВОПРОСУ О НАИСКОРЕЙШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ В ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ 
71H7 
2HКолпакова Е.В., Седенко В.И. 
3HСУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 
МОДЕЛЕЙ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК 
С ШАРНИРНЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ КРАЯ 
72H13 
4HМартынов В.А., Седенко В.И. 
5HДИССИПАТИВНОСТЬ ПОЛУГРУППЫ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ, 
ДЕЙСТВУЮЩИХ В ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОПЕРЕЧНЫХ 
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СИСТЕМЕ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ 
ОБОЛОЧЕК С ШАРНИРНЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ КРАЯ 
73H18 
6HПодосинников О.В., Алексейчик Т.В. 
7HО ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 
74H24 
8HПушкарь О.М., Седенко В.И. 
9HСУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 
МОДЕЛИ ФОН КАРМАНА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ 
75H28 
10HСеденко В.И. 
1HОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МОДЕЛИ 
МАРГЕРРА-ВЛАСОВА КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК В СЛУЧАЕ 
ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ С ГРАНИЦЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ 
76H30 
12HСеденко В.И. 
13HРАЗРЕШИМОСТЬ В 
( )
k
p
H
Ω  КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОДОЛЬНЫХ 
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ 
В МОДЕЛИ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА 
7H35 
14HСеденко В.И. 
15HНЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ НОРМ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, 
ОПРЕДЕЛЕННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД 
ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ БИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 
78H42 
16HШестакова И.О., Алексейчик Т.В. 
17HО МОДЕЛИ ПРЕДПРИЯТИЯ ПРИ САМОФИНАНСИРОВАНИИ 
79H49 
 
 
 
18HСЕКЦИЯ 2.  
19HМЕТОДЫ АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ В ФИНАНСОВО-КРЕДИТНОЙ СФЕРЕ 
20HБудянский А.В. 
21HКРИТЕРИЙ СОВПАДЕНИЯ σ -АЛГЕБР, СВЯЗАННЫХ С МОМЕНТАМИ 
ОСТАНОВКИ, С σ -АЛГЕБРАМИ ИСХОДНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 
80H53 
2HВласов М.А. 
23HРАНГОВЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДВУХ ВЫБОРОК 
81H54 
24HГоргорова В.В. 
25HО ПРЕОБРАЗОВАНИИ НЕПОЛНЫХ ФИНАНСОВЫХ ВЫНКОВ В ПОЛНЫЕ 
ДЛЯ БЕЗАРБИТРАЖНЫХ (B,S)-РЫНКОВ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ АКЦИЙ 
82H56 

26HДанекянц А.Г. 
27HНЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ УДОВЛЕТВОРЕНИЕ 
ОСЛАБЛЕННОГО СВОЙСТВА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ХААРОВСКОЙ 
ЕДИНСТВЕННОСТИ МАРТИНГАЛЬНЫМИ МЕРАМИ 
83H58 
28HЛяшенко К.Е. 
29HТЕХНОЛОГИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОГО ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА 
84H60 
30HНазарько О.В. 
31HО ДЕФОРМИРОВАННЫХ (B,S)-РЫНКАХ 
НА КОНЕЧНОМ ВЕРОЯТНОСТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 
85H64 
32HПавлов И.В., Можаев Г.А. 
3HПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ХЕДЖИРУЮЩЕЙ СТРАТЕГИИ  
С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА 
«ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ» 
86H66 
34HПилосян Э.А. 
35HУСИЛЕННОЕ СВОЙСТВО ХААРОВСКОЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ 
МАРТИНГАЛЬНЫХ МЕР 
87H68 
36HСумбатян М.А., Сайфутдинова Н.А. 
37HОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ 
В ЗАМКНУТОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 
8H71 
38HШамраева В.В. 
39HФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФОН НЕЙМАНА-МОРГЕНШТЕРНА 
89H72 
 
 
40HСЕКЦИЯ 3.  
41HМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ 
ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ 
 
42HАлександрова Я.А., Топилина И.И. 
43HЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ СИСТЕМ 
АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ДОКУМЕНТООБОРОТА 
90H75 
4HАствацатурьян А.А., Савская А.Р. 
45HМОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ КАРЬЕРОЙ 
91H77 
46HБатищева Т.А. 
47HВЫЯВЛЕНИЕ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ О МИГРАЦИИ 
92H79 
48HБерезовская Е.А. 
49HИСПОЛЬЗОВАНИЕ СУБЪЕКТИВНЫХ И ОБЪЕКТИВНЫХ 
ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ РЕШЕНИИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ 
93H82 
50HГамалей Н.Ю., Ставраки Е.Б. 
51HАНАЛИЗ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ЗОН ХОЗЯЙСТВОВАНИЯ ФИРМЫ 
94H84 
52HДимитриади Н.А. 
53HМЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ КОРПОРАТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ 
95H87 
54HДолятовский Л.В., Муленга Г. 
5HДИАГНОСТИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ФУНКЦИЙ МЕНЕДЖМЕНТА 
96H92 
56HПолухина Т.И. 
57HЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЫНОЧНОЙ СИТУАЦИИ 
97H94 
58HПолухина Т.И., Топилина И.И. 
59HМЕТОД УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ ПРОЕКТА 
98H96 
60HРудский А.А., Секретова Л.В. 
61HАВС-АНАЛИЗ В АССОРТИМЕНТНЫХ ЗАДАЧАХ 
9H97 
62HФоменко Н.М., Ефимов Е.Н. 
63HМОДЕЛИ И СТРУКТУРА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СУБЪЕКТОВ В СЕТЕВОМ РЫНКЕ 
10H98 

0BСЕКЦИЯ 1. 
1BМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ 
Руководитель: д.ф.-м. н., проф. В.И. Седенко 
 
4BГуров М.Н., Задорожный А.И. 
5BОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ТОРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ 
ДВИЖЕНИЙ В ШАРОВОМ СЛОЕ САМОГРАВИТИРУЮЩЕЙ ВЯЗКОЙ 
ЖИДКОСТИ 
Линейная задача о нормальных колебаниях самогравитирующей однородной вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей шаровой слой с абсолютно 
твердым ядром, сформулирована в [1]. Система уравнений и краевых условий в 
безразмерной форме после разделения переменных имеет вид  
   
  
 
 (1) 
  
 
(2) 
, где 
, 
, 
 
 
 
 
ሺ3ሻ 
,  
 
 
 
 
 (4) 
,  
 
 
 
 
 
(5) 
 
,  
 
 
 
 
 
(6)  
.  
 
 
(7) 
 
 
 
 
 
 
(8) 
при r  = 1; 
Здесь λ  – искомый спектральный параметр, 
, – произвольные постоянные, 
, 
,  – радиус твердого ядра, 
2
2
ρν
σ
α
R
=
, где 
σ  – коэффициент поверхностного натяжения, 
. 
Система уравнений (1) для случая сплошного жидкого шара детально 
проанализирована в [1]. Там же рассмотрены колебания шарового слоя, но 

только при больших значениях числа Рейнольдса (
2
3
2
Re
ν
gR
=
). В обоих случаях движения разбиваются на два класса: класс полоидальных движений 
(
0
)
(
≡
r
l
ψ
) и класс тороидальных движений (
0
)
(
)
(
)
(
0
≡
=
=
Ψ
=
l
l
l
l
N
r
p
r
r
u
), при которых частицы жидкости перемещаются вдоль концентрических сфер 
const
r =
. 
С изучением последних движений в шаровом слое при произвольной вязкости 
и связан представляемый доклад. Заметим, что тороидальным движениям уделяется определенное внимание в магнитной гидродинамике в связи с известной 
проблемой геомагнитного динамо [2]. 
В процессе решения данной задачи получено частотное (дисперсионное) 
уравнение, связывающее спектральный параметр λ , радиус твердого ядра  и 
номер гармоники , которое имеет вид: 
 
. 
 
(9) 
Поскольку для определения собственных чисел тороидальных движений 
имеем классическую проблему Штурма-Лиувилля, то в силу теории таких задач счетный спектр {
n
λ } является вещественным и имеет место отношение 
Рэлея. 
∫
∫
∫
+
+
′
+
−
=
1
2
2
1
2
1
2
2
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1(
h
h
h
dr
r
r
dr
r
l
l
dr
r
r
l
l
l
l
ψ
ψ
ψ
ψ
λ
. 
Более того, рассмотрение графика уравнения (9) показывает, что 
N
n
n
∈
>
,
0
λ
. 
В заметке построены зависимости собственного числа 
(
)l
h
n
,
λ
 от радиуса 
твердого ядра, при различных значениях параметра l , характеризующего число 
меридиональных узлов. На рис. 1 приведена указанная зависимость в логарифмической шкале для первой моды (
1
=
n
) при 
10
,5,3,2,1
=
l
. 

Рис. 1 
 
 
 
 
 
Рис. 2 
На рис. 2 построены графики первых трех волновых мод 
)
(r
n
l
ψ
 при 
2
=
l
 
(
1
=
n
 – сплошная линия, 
2
=
n
 – «точечная» линия, 
3
=
n
 – пунктирная линия). 
Заметим, что, помимо сказанного выше, в дополнение к изложенному в 
[1] для полоидальных движений сплошного шара случаю 
2
=
l
 найдены границы перехода монотонных (апериодических) режимов в немонотонные (колебательные, ангармонические) для значений 
3
≥
l
. 
 
Литература 
1. Гидромеханика невесомости / Под ред. А.Д. Мышкиса. – М.: Наука, 
ГРФМЛ, 1976. 
2. Буссе Ф. Магнитная гидродинамика земного динамо. Вихри и волны: 
Сб. ст. / Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. 
 
6BКоледов Л.В., Николенко П.В. 
7BК ВОПРОСУ О НАИСКОРЕЙШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ  
8BВ ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ 
Рассмотрим перемещения в R2, осуществляемые по закону x&  = v(x)+y; 
здесь v: R2→ R2 – поле скорости, y:[
]
1
0;t
t
 → R2, y ≤u – управление. Если 
рассматривается задача о выборе управления y, осуществляющего перевод в 
начало координат за кратчайшее время, то применяя принцип максимума Пон

трягина ([1]), приходим к утверждению: искомое оптимальное управление
)
(
)
(
t
t
u
y
ψ
ψ
=
 и оптимальная траектория 
)
(t
x
 являются решением гамильтоновой 
cистемы  
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
+
=
)
(
)
(
x
Dv
u
x
v
x
ψ
ψ
ψ
ψ&
&
   
 
 
 
 
(1) 
с функцией 
ψ
ψ
u
x
v
H
+
=
)
(
. Кроме того [2], в случае
)
0
(
v
< u доказано, что существует область 
2
R
G ⊂
, содержащая начало координат, такая что для каждой 
точки x  области G  существует единственное управление 
)
(
)
(
t
t
u
y
ψ
ψ
=
, переводящее 
точку x  в начало координат, так что выполнена система (1). Отметим, что оптимальные траектории являются проекциями фазовых кривых системы (1) на 
плоскость x . Результат работы [2] не позволяет судить о размерах области G . 
Так например, при рассмотрении задачи во всей плоскости в плоскопараллельном случае 
)
0;
(
)
0,
(
(
)
;
(
2
2
2
2
1
x
x
v
x
x
v
=
=
 проекции фазовых кривых системы (1) на 
плоскость 
2
1x
x
 представляют собой «синусоиды», пересекающиеся между собой. Какие из них, или какие части этих кривых являются оптимальными? Существует ли вообще решение задачи? Эти вопросы обсуждаются ниже для случая плоскопараллельного поля v =(v(x2), 0), причем относительно функции v 
предполагаем, что она четная, неотрицательная и монотонно возрастающая на 
R+ , то есть профиль скоростей имеет следующий вид  
 
 
Рис. 1 
 
В случае плоскопараллельного поля скорости 
)
0
),
(
(
2x
v
 уравнения (1) принимают вид  
2
2
2
1
1
2
1
)
(
.
ψ
ψ
ψ
+
+
=
u
x
v
x&
 
2
2
2
1
2
2
.
ψ
ψ
ψ
+
=
u
x&
 
)
(
0
2
1
2
1
.
x
v′
−
=
=
ψ
ψ
ψ
&
&
 
 
 
(1`) 
Поэтому следует рассматривать два случая. 

kA′ 
A 
 
B
 
 C 
 D 
O
1) Движение “по течению” 
1
1 =
ψ
, 
ψ
ψ
=
2
, 
2
2
1
1
)
(
ψ
+
+
=
u
x
v
x&
, 
2
2
1 ψ
ψ
+
=
u
x&
, 
)
(
2
/ x
v
−
=
ψ&
 
 
(2) 
2) Движение “против течения” 
1
1
−
=
ψ
, 
ψ
ψ
=
2
, 
2
2
1
1
)
(
ψ
+
−
=
u
x
v
x&
, 
2
2
1 ψ
ψ
+
=
u
x&
, 
)
(
2
/ x
v
=
ψ&
 
 
(3) 
Рассмотрим 
случай 
(1) 
движения 
“по 
течению”. 
Функция 
F
2
2
2
1
)
(
)
,
(
ψ
ψ
+
+
=
u
x
v
x
 – первый интеграл. Линии уровня F – проекции фазовых кривых системы (2) на плоскость 
ψ
2x
 – замкнутые кривые, диффеоморфные окружности (рис. 2). 
x2  
 
A  
 
F = k 
B ψ 
 
Рис. 2 
Нетрудно заметить, что проекции фазовых кривых на плоскость X1ОX2 
«синусоиды», причём каждая полуволна BOA(рис. 3) симметрична относительно своей вершины A и время прохождения дуги ВА совпадает со временем 
прохождения дуги AO . 
 X2 
 
C′ 
 
 
 
 
 
X1 
Рис. 3 
Также проекцией фазовой кривой является ось ОX1. Покажем, что из всей 
«синусоиды» лишь дуга BAO может быть оптимальной.  
Лемма 1. Движение по траектории CBAO  не является оптимальным. 
Пусть дугаCBAO  – проекция фазовой кривой 
)
(
1 t
x
, 
)
(
2 t
x
, 
)
(t
ψ
, тогда симметричная ей относительно 
1
OX  дуга 
O
BA
C
/
/
 – проекция фазовой кривой (
)
(
1 t
x
, 
– 
)
(
2 t
x
, – 
)
(t
ψ
). Рассмотрим также перемещение 
O
CBA/
. Оно получается из перемещения CBAO  переключением в момент попадания в точку B  второй коор

динаты управления 
)
1
;
1
1
(
)
(
2
2
ψ
ψ
ψ
+
+
= u
t
y
на противоположную по знаку. Время перемещения по CBAO  совпадает с временем перемещения по 
O
CBA/
. Пусть 
координаты точки 
)
;
(
0
0 y
x
C −
. Рассмотрим перемещение 
O
CКA/
 (CK  параллельна 
1
OX ). Мы получим это перемещение, если положим 
)
0;1(
)
(
u
t
y
=
 до момента 
попадания в точку K , а далее управление совпадает с управлением движения 
по 
O
BA/
. Время перемещения по CK  меньше времени перемещения по CBK , 
так как при одном и том же 
1x  в первом случае скорость вдоль 
1x  равна 
v(
0y )+
0
u , а во втором случае она равна v(
2x )+
2
0
1 ψ
+
u
, где |
2x | < |
0y |, то есть 
скорость перемещения по CK  больше, чем скорость перемещения по CBK . Таким образом, время перемещения по CBAO  больше времени 
O
CBA/
, то есть первое из перемещений не оптимально. Лемма доказана. 
Далее следует изучить расположение дуг вида BAO  друг относительно 
друга. Мы увидим, что при некоторых ограничениях на функцию υ эти дуги 
имеют только одну общую точку O. Разделим векторное поле системы (2) на 
первую компоненту 
2
2
1
)
(
ψ
+
+
u
x
v
, поскольку она положительна, фазовые кривые не изменятся. Получим систему 
1
1 =
x&
, 
2
x&
u
x
v
u
+
+
=
2
2
1
)
(
ψ
ψ
, ψ&
u
x
v
x
v
+
+
+
−
=
2
2
2
2
/
1
)
(
1
)
(
ψ
ψ
.  
 
 (4) 
Дуги вида BAO  являются графиком 
2
x (t) – второй компоненты системы 
(4). Для изучения дуг BAO , входящих в начало координат O, достаточно рассмотреть полуволны исходящие из O. Строение дуги OD (рис.3) получим, используя первый интеграл F. Вдоль рассматриваемого решения (4) функция F 
сохраняет некоторое значение k, откуда дуга OD – график решения задачи Коши, получаемой следующим образом: 
2
1
1
1
)
(
2
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⇒
=
+
+
u
v
k
k
u
x
v
ψ
ψ
, подставляя значение ψ  во второе 
уравнение системы (4) получаем: