Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «РИНХ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ  
В СОВРЕМЕННЫХ И КЛАССИЧЕСКИХ 
МОДЕЛЯХ  
ЭКОНОМИКИ И ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 
 
 
 
 
МАТЕРИАЛЫ РЕГИОНАЛЬНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ 
ПРОФЕССОРСКО-ПРЕПОДАВАТЕЛЬСКОГО СОСТАВА 
 
(21 декабря 2006 г., г. Ростов-на-Дону) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону  
2007 

УДК 378 
М 34 
 
 
 
Математические методы в современных и классических моделях  
М 34 экономики и естествознания: Материалы региональной научно- 
практической конференции профессорско-преподавательского состава  
(21 декабря 2006 г., г. Ростов-на-Дону) / Ростовский государственный  
экономический университет «РИНХ». — Ростов н/Д., 2006. — 96 с. 
 
ISBN 978-5-7972-1104-4 
 
 
 
 
Материалы включают тезисы докладов и сообщений научной конференции, 
проведенной 21 декабря 2006 г. в г. Ростове-на-Дону Ростовским государственным 
экономическим университетом «РИНХ». Научная проблематика конференции 
представлена сообщениями по математическим методам в современных и классических моделях экономики и естествознания. 
Материалы 
конференции 
предназначены 
для 
профессорскопреподавательского состава, аспирантов, практических работников. 
УДК 378 
 
 
 
Редакционная коллегия: В.И. Седенко (ответственный редактор),  
      В.А. Долятовский, И.В. Павлов.  
 
 
Утверждено в качестве материалов научно-практической конференции редакционно-издательским советом университета. 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7972-1104-4 
 
 
 
© Ростовский государственный  
экономический университет «РИНХ», 2007 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
СЕКЦИЯ 1. 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ 
 
Карасев Д.Н., Ногин В.А., Тутубалина К.О. 
О некоторых p-q-мультипликаторах ....................................................................... 6 
Николенко П.В. 
Теорема существования и единственности в одной задаче  
оптимального управления ....................................................................................... 8 
Рогожин С.В. 
О линеарности эволюционных уравнений с условно-периодической  
нелинейностью ......................................................................................................... 12 
Седенко В.И., Батыгова С.А. 
Единственность обобщенных решений начально-краевых задач моделей  
Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией  
продольных перемещений с шарнирным закреплением края .............................. 14 
Седенко В.И., Клитина Н.А. 
Задача на собственные значения для бигармонического оператора  
с краевыми условиями смешанного закрепления края оболочки ........................ 20 
Седенко В.И., Мартынов В.А. 
Существование максимального аттрактора в системе Маргерра-Власова  
колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края .......................... 24 
Чикина Л.Г. 
Несимметричный ДТКМ ......................................................................................... 26 
 
 
СЕКЦИЯ 2. 
МЕТОДЫ АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ  
В ФИНАНСОВО-КРЕДИТНОЙ СФЕРЕ 
 
Будянский А.В. 
Критерий полноты рынка по отношению к любому моменту остановки  
в случае специальной хааровской фильтрации...................................................... 29 
Войтко А.В., Мартынов В.А. 
Нахождение эффективного портфеля в модели Блэка с помощью функции  
полезности Неймана-Моргенштерна ...................................................................... 30 
Выхристов В.А. 
Конструирование невырожденной мартингальной меры на безарбитражных  
финансовых рынках с конечным числом агрессивных скупщиком  ................... 34 
 

Горгорова В.В. 
Схема преобразования неполных финансовых рынков в полные  
в применении к безарбитражным (B,S)-рынкам с конечным числом  
типов акций ............................................................................................................... 35 
Можаев Г.А. 
Проверка мартингальной меры на ослабленное свойство универсальной  
хааровской единственности..................................................................................... 36 
Назарько О.В. 
Фундаментальные теоремы финансовой математики для (B,S)-рынков  
на деформированных стохастических базисах ...................................................... 39 
Павлов И.В., Выхристов В.А., Можаев Г.А. 
Приближение мартингальных мер мартингальными мерами,  
удовлетворяющими ослабленному свойству универсальной хааровской  
единственности  ........................................................................................................ 41 
Цветкова И.В., Шамраева В.В. 
Исследование финансовых рынков с бесконечным числом скупщиков акций .. 43 
Шишкова А.Н. 
Критерий τ-полноты (B,S)-рынка в случае специальной хааровской  
фильтрации при допущении арбитража ................................................................. 45 
 
 
СЕКЦИЯ 3. 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ 
СИСТЕМАМИ 
 
Алексейчик Т.В. 
Об оценке динамики основных фондов малого предприятия в случае  
изменяющейся технологии ...................................................................................... 47 
Батищева Г.А. 
Оценивание внутренней миграции в Центральном федеральном округе ........... 49 
Березовская Е.А. 
Применение нейросетевого моделирования в процессе принятия  
инвестиционных решений ....................................................................................... 52 
Бестаева И.М. 
Об одном подходе к оценкам эффективности управления дополнительным  
высшим образованием ............................................................................................. 53 
Гамалей Я.В., Долятовский В.А., Хижняк Е.П. 
Экспертная система диагностики финансового состояния фирмы ...................... 55 
Гуриева Л.К., Шапка И.П. 
Моделирование влияния факторов на ВРП региона ............................................. 58 
 

Димитриади Н.А. 
Определение набора компетенций сотрудников: эффективность различных 
методов ...................................................................................................................... 60 
Димитриади Н.А. 
Продвижение/продажа инновационных продуктов: выбор компетенций  
сотрудников .............................................................................................................. 64 
Долятовская В.Н. 
Математическая модель прогнозирования перераспределения доходов  
населения города ...................................................................................................... 67 
Долятовская В.Н. 
Моделирование рентных платежей на основе анализа городских территорий .. 68 
Долятовский В.А., Мишель Адиба, Долятовская В.Н. 
Определение оптимальной цены товара на изменяющемся рынке ..................... 70 
Долятовский В.А., Бестаева И.М., Чеботарев Ю.А. 
Методика расчета потребности в кадрах на основе эконометрического анализа
 ................................................................................................................................... 71 
Долятовский В.А., Ивахненко А.В., Швецова О.Н. 
Прогнозирование процессов в системе FOREX FORECAST EXPERT ............... 74 
Долятовский В.А., Манукайло И.А. 
Адаптивные экономические решения менеджера фирмы при изменениях  
параметров рынка  .................................................................................................... 76 
Долятовский В.А., Попов М.В., Черных С.А. 
Технология обновления и развития виртуальной обучающей среды 
«МЕНЕДЖМЕНТ» ................................................................................................... 78 
Загниборода С.Н. 
Диагностика чувствительности инвестиционного проекта  ................................. 79 
Крюков С.В. 
Методы и модели оценки нематериальных активов организации ....................... 81 
Солопова О.Г. 
Анализ структуры питания в условиях экономической нестабильности  
на основе теории индексов рационального потребления ..................................... 85 
Черных С.А., Рябченко Т.Н., Муленга Г. 
Оценка экономической устойчивости вуза ............................................................ 89 
Швецова О.Н., Александрова Я.А. 
Метода выбора стратегии мотивации персонала ................................................... 91 
 
НАШИ АВТОРЫ .................................................................................................... 94 

СЕКЦИЯ 1. 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ 
Руководитель: д.ф.-м.н., проф. Седенко В.И. 
 
Карасев Д.Н., Ногин В.А., Тутубалина К.О. 
 
О НЕКОТОРЫХ P-Q-МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ 
В работе рассматривается вопрос о принадлежности классу 
q
p
M  — p-q мультипликаторов, порождающих линейные ограниченные операторы из Lp(Rn) в 
Lq(Rn) (см. [1]), следующих функций: 
|
|
|
|
)'
(
)
(
ξ
α
α
θ
ξ
ξ
θ
ξ
μ
ie
=
   
 
 
 
 
(1) 
и 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
=
+
−
+
−
−
−
≠
+
−
=
−
−
−
−
,...,
2
3
,
2
1
)),
0
|
|
1
ln(
''
'
(
|)
|
1
|)(
(|
,...,
2
3
,
2
1
,
)
0
|
|
1(
|)
(|
|)
(|
2
/)
1
(
2
/)
1
(
n
n
i
A
A
n
n
i
A
m
n
n
α
ξ
ξ
ξ
ω
α
ξ
ξ
ω
ξ
α
α
α
α
α
α
 
(2) 
где 
0<Reα<(n-1)/2, 
функция 
1
)
(
0
),
(
)
(
0
≤
≤
∈
+
∞
r
R
C
r
ω
ω
, 
1
)
(
=
r
ω
, 
если 
2
/
|
1
|
δ
≤
−r
, 
0
)
(
=
r
ω
, если 
δ
≥
−
|
1
|
r
, 
2
/
1
0
<
< δ
; 
|
|/
'
ξ
ξ
ξ =
; 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
Γ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
2
1
)
2
(
2
1
2
n
e
A
n
i
n
α
π
α
π
α
, 
!
2
1
2
2
1
)
2
(
'
2
1
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
α
π
α
ψ
π
α
π
α
n
e
i
n
A
n
i
n
, 
!
2
1
)
2
(
'
2
1
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
α
π
α
π
α
n
e
A
n
i
n
, 
)
(
)
('
)
(
z
z
z
Γ
Γ
=
ψ
. 
Описаны выпуклые множества на (1/p,1/q)-плоскости, для точек которых 
оператор с символом (1) ограничен из Lp(Rn) в Lq(Rn), кроме того, показано, что вне 
указанных множеств этот оператор не ограничен (см. теорему 1). Иными словами, 
построена L-характеристика оператора с символом (1), т.е. описано множество 
всех пар (1/p,1/q), для которых он ограничен из Lp(Rn) в Lq(Rn). 
Приведены оценки для мультипликаторного оператора с символом (2). С их 
помощью получены Lp–Lq–оценки для оператора Бонера-Рисса комплексного порядка с положительной вещественной частью. 
В образах Фурье оператор Бохнера-Рисса определяется равенством 
),
)(
)
|
|
1(
(
)
)(
(
2
1
x
F
F
x
B
ϕ
ξ
ϕ
λ
γ
+
−
−
=
 
0
Re
>
λ
, 
S
∈
ϕ
,  
 
(3) 
(см. [2], гл. 9, § 2). 
Всюду ниже мы будем использовать следующие обозначения:  

(A,B,…,K) — открытый многоугольник в R2 с вершинами в точках A,B,…,K; 
[A,B,…,K] — его замыкание, L(T) — L-характеристика оператора T,. т.е. множества 
всех пар (1/p,1/q) для которых оператор T ограничен из Lp(Rn) в Lq(Rn). 
Пусть 0<Reα<(n-1)/2. Обозначим 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
n
A
α
Re
1,1
, 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
0,
Re
'
n
A
α
, 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
1
Re
2
2
3
,
1
Re
2
2
3
n
n
C
α
α
, 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
2
1
1
Re
2
,
2
1
1
Re
2
'
n
n
C
α
α
, 
(
)
0,1
=
E
, 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
1
,
2
1
F
, 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
−
=
n
n
n
n
n
G
α
α
Re
1,
)
3
(
)1
)(
Re
(
1
, 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
)
3
(
)1
)(
Re
(,
Re
'
n
n
n
n
n
G
α
α
, 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
n
n
H
α
α
Re
1,
Re
1
, 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
n
H
α
α Re
,
Re
'
, 
( )1,1
=
O
, 
(
)
0,0
'=
O
. 
Для формулировки основных результатов нам понадобится следующее 
множество на (1/p,1/q) — плоскости (см. рисунок):  
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
≤
<
−
<
<
+
−
=
.)1
(
2
)1
(
Re
0
]),
,
[
]'
,'
([
\]
,
,
,'
,'
[
,
2
1
Re
)1
(
2
)1
(
),
,'
(
)
,'
(
]
,
(
)
,
,
,
,'
,'
,'
(
)
,
(
n
n
n
H
A
H
A
E
A
H
H
A
n
n
n
n
C
C
E
A
E
A
E
A
G
C
C
G
A
n
L
α
α
α
U
U
U
U
 
 
Рис. 1. 
Следующая теорема содержит информацию о принадлежности 
q
p
M  мультипликатора (1). 
Теорема 1. I. Пусть 0<Reα<(n-1)/2, тогда 
q
p
M
∈
)
(ξ
μ α
θ
, тогда и только тогда, когда: 
1) 
2
1
Re
1
−
−
≤
−
n
q
n
p
α
, 
n
p
q
α
Re
1
1
−
≤
при 
1
1
1
≤
+ q
p
; 
2) 
2
1
Re
1
−
+
≤
−
n
q
p
n
α
, 
n
p
q
α
Re
1
1
−
≤
при 
1
1
1
≥
+ q
p
. 
Для мультипликатора (2) справедлива следующая 
Теорема 2. I. Пусть 0<Reα<(n-1)/2, тогда 
q
p
M
m
∈
|)
(|ξ
α
, если 
)
,
(
)
/
1,
/
1(
n
L
q
p
α
∈
. 
II. Функция mα(|ξ|) не принадлежит классу 
q
p
M , если  
]
,
,
[
]'
,'
,'
[
)
/
1,
/
1(
O
H
A
O
H
A
q
p
U
∈
. 

Замечание. Отметим, что при 0<Reα<n(n-1)/(2(n+1)) теорема 2 дает необходимые и достаточные условия ограниченности оператора с символом (2) из 
Lp(Rn) в Lq(Rn). Именно, 
).
,
(
)
/
1,
/
1(
|)
(|
n
L
q
p
M
m
q
p
α
ξ
α
∈
⇔
∈
 
Отметим, что с помощью теоремы 2 можно получить Lp–Lq–оценки для оператора Бохнера-Рисса (3). Именно, справедлива  
Теорема 3. Пусть 0
Re
(
1)/2,
1,2,...
n
γ
γ
<
<
−
≠
. Тогда 
((
1)/ 2
, )
(
)
L n
n
L Bγ
γ
−
−
⊂
. 
   (4) 
Отметим, что вложение (4) не тривиально даже в случае вещественных значений порядка оператора, так как оно не может быть получено интерполяцией 
между «тонкими», оценками для оператора (3), полученными Ч. Фефферманом и 
Е. Стейном (см. [2]), и очевидными оценками, вытекающей из того, что ядро оператора (3) принадлежит, 
'
p
L , 2 /(
1
2 )
n n
p
λ
+ +
<
< ∞. 
 
Список литературы 
1. L. Hörmander. Estimates for translation invariant operators in Lp spaces, Acta 
Mathematica, Vol. 104 (1960). — Р. 93-140. 
2. E.M. Stein. Harmonic Analysis: Real-variable Method, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ (1993). 
 
 
Николенко П.В. 
 
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ В ОДНОЙ 
ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ. 
 
Пусть v гладкое векторное поле в R2, рассмотрим перемещения, осуществляемые по закону 
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
)
(
)
(
2
2
2
1
1
1
t
u
v
x
t
u
v
x
&
&
. 
 
 
 
 
 
(1) 
Здесь управление u(t) непрерывная справа вектор-функция, имеющая не более конечного числа точек разрыва первого рода, причем  
0
)
(
u
t
u
<=
. 
Если x(t) решение (1) и x(t0) = x0, x(t1) = x1 (где t0, t1 — точки непрерывности 
u), то говорят, что управление u переводит точку x0 в точку x1. 
Иллюстрацией подобного способа перемещения является движение моторной лодки в стационарном течении. 
Рассмотрим задачу о наискорейшем перемещении в начало координат. 

Пусть u(t) оптимальное управление, x(t) оптимальная траектория. Согласно 
принципу максимума Понтрягина существует 
))
(
),
(
(
)
(
2
1
t
t
t
ψ
ψ
ψ
=
 — нетривиальное 
решение системы 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
−
=
))
(
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
t
x
x
v
t
x
x
v
t
x
x
v
t
x
x
v
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
&
&
, 
такое, 
что 
управление 
u 
максимизирует 
функцию 
2
2
2
2
1
1
1
1
)
,
,
(
u
v
u
v
u
x
H
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
+
+
+
=
 по переменной u: 
)
),
(
),
(
(
max
))
(
),
(
),
(
(
0
v
t
x
t
H
t
u
t
x
t
H
u
v
ψ
ψ
<=
=
. 
Следовательно, 
)
(
)
(
)
(
0
t
t
u
t
u
ψ
ψ
=
 и как оптимальное управление, так и оптимальная траектория определяются решениями системы: 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
−
=
+
+
=
+
+
=
)
,
(
)
,
(
),
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
,
)
,
(
)
(
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
0
2
1
2
2
2
2
2
1
1
0
2
1
1
1
x
x
x
v
x
x
x
v
x
x
x
v
x
x
x
v
u
x
x
v
t
x
u
x
x
v
t
x
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
&
&
&
&
.  
(2) 
Отметим, что система (2) является гамильтоновой, с функцией Гамильтона: 
2
2
2
1
0
2
2
1
1
)
(
)
(
)
,
(
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
+
+
+
=
u
x
v
x
v
x
H(
. 
Таким образом, если u(t) (где t∈[0,T]) — оптимальное управление, x(t) — 
оптимальная траектория и u переводит x0 в начало координат, то существует 
)
,
(
0
2
0
1
0
ψ
ψ
ψ
=
 такая, что траектория задачи Коши для уравнения (2) с начальными 
данными 
)
,
(
0
0 ψ
x
 проходит через плоскость 
{
}
0
)
,
(
0
=
=
x
x
L
ψ
. Причем первые две 
координаты указанного решения дают оптимальную траекторию, а последующие 
две, пронормированные с множителем u0 — оптимальное управление. 
Отметим также следующие обстоятельства. 
1. Оптимальное управление определяется не вектором 
)
(t
ψ
, а лишь его направлением: 
)
(
)
(
)
(
0
t
t
u
t
u
ψ
ψ
=
. 
2. Если 
)
(
),
(
t
t
x
ψ
 — решение (2), то при 
0
>
λ
 
)
(
),
(
t
t
x
λψ
 — также решение (2). 
Введем обозначение 
{
}
1
,
)
,
(
0
1
0
=
=
=
ψ
ψ
x
x
x
L
x
. 
В связи с вышеизложенным возникает вопрос: пусть x0∈R2, существует ли 
точка 
1
0
x
L
 такая, что траектория системы (2), исходящая из этой точки, проходит 
через L0. И если она существует, то возникает также вопрос единственности этой 
точки. 

Теорема. Если 
)
0
(v
≤α
0
u (α <1), то существует область G, содержащая 
начало координат такая, что для любой 
0
x  ∈G существует единственная точка 
1
0
x
L
, для которой траектория системы (2), исходящая из этой точки, проходит 
через 
0
L .  
Для простоты доказательство приведем в случае v(0)=0. Для отыскания траекторий, проходящих через 
0
L , рассмотрим траектории исходящие из 
0
L  для системы: 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
+
−
−
=
+
−
−
=
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
2
0
2
2
2
2
2
1
1
0
1
1
,
,
x
v
x
v
x
v
x
v
u
v
x
u
v
x
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
&
&
&
&
.  
 
 
(3) 
Рассматривая для системы (3) начальные условия :  
1) 
0
1 =
x
, 
0
2 =
x
, 
0
1 >
ψ
, 
(
)
2
1
2;2
ψ
ψ ∈−
 
мы получим траектории, пересекающие 
0
L  и входящие в начало координат ( 
в плоскости x1Ox2 ) под углом к оси Ox1, принадлежащим промежутку 
(
arctg
π
α
−
, 
arctg
π
α
+
); 
2) в случае 
2
ψ >0 
)
2;2
(
2
1
−
∈
ψ
ψ
- под углом к оси Ox2, принадлежащим промежутку (
arctg
π
α
−
, 
arctg
π
α
+
) и так далее. 
Для первого случая рассмотрим 
1
2
ψ
ψ
ϕ =
. 
2
1
2
1
1
2
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ϕ
&
&
&
−
=
=
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
x
v
x
v
x
v
x
v
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
2
1
2
1
1
2
2
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
x
v
x
v
x
v
x
v
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
. 
Тогда наша система (3) примет вид: 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
+
−
−
=
+
−
−
=
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
0
2
2
2
0
1
1
1
,
1
x
v
x
v
x
v
x
v
u
v
x
u
v
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
&
&
&
.  
 
 
(4) 
Решение задачи Коши с начальными данными (0; 0; 
0
ϕ ) (где 
∈
0
ϕ
(-2; 2)) определяет траекторию x(t) и направление вектора 
)
(t
ψ
для первого случая. 
Пусть 
t
N  — оператор сдвига по траекториям (4). 
Лемма. Существует ε >0, такое что отображение 
2
)
2,2
(
)
,0
(:
R
N
→
−
×
ε
, задаваемое формулой 
))
(
),
(
(
)
,
(
0
2
0
1
0
ϕ
ϕ
ϕ
t
N
t
N
t
N
=
 инъективно.