Избранные главы высшей математики

  МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
РОСТОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  
УНИВЕРСИТЕТ (РИНХ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Гримайло В.И. 
 
 
 
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ  
МАТЕМАТИКИ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
2007 

УДК 
 
 
Гримайло В.И.  
Избранные главы высшей математики: Учебное пособие / Ростовский 
государственный экономический униеврситет «РИНХ». – Ростов-наДону. – 138 с. – ISBN 978-5-7972- 
   
 
 
 
 
     Учебное пособие содержит изложение основ теории поля, математической логики, теории графов, комбинаторики и нечетких множеств и предназначено для студентов специальностей 351400 “Прикладная информатика в экономике” и 061800 “ Математические методы в экономике” дневной 
и заочной форм обучения, изучающих курс математики в течение первого 
семестра второго года обучения.   
 
 
 
 
Рецензенты:  Павлов И.В., д. ф.-м. н., профессор 
                      Алексейчик Т.В., к. э. н., доцент 
 
 
 
 
 
УДК 
Г 84 
 
 
 
Утверждено в качестве учебного пособия редакционно-издательским 
советом университета. 
 
 
 
ISBN 978-5-7972-  
 
© Ростовский государственный 
    экономический университет  
    «РИНХ», 2007 
© Гримайло В.И., 2007 
Г 84 

ОГЛАВЛЕНИЕ  
В в е д е н и е 
5
Г л а в а  I. Элементы векторного анализа и теория поля 
6
     §  1. Некоторые обобщения понятия определенного интеграла:  
              двойной и тройной интегралы 
6
     §  2. Скалярное поле. Поверхность уровня, производная по 
              направлению, градиент 
12
     §  3. Элементы векторного анализа 
18
     §  4. Векторное поле.  Задача о работе сил векторного поля.  
             Криволинейные интегралы второго рода 
19
     §  5. Поверхностные интегралы второго рода 
25
     §  6. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного 
              поля 
30
     §  7. Формула Стокса. Ротор, циркуляция 
34
Г л а в а  II. Дискретная математика. Математическая логика 
37
     §  8.  Введение в математическую логику 
37
     §  9.  Логика высказываний. Основные понятия: высказывания,  
               логические связки, алфавит, логические формулы 
   38
     §  10. Основные правила логически правильных рассуждений 
41
     §  11. Алгебра логики 
45
     §  12. Булева алгебра 
49
     §  13. Логика предикатов 
56
     §  14. Выполнимость и истинность 
61
Г л а в а  III. Дискретная математика. Основы теории графов 
67
     §  15. Основные понятия теории графов 
67
     §  16. Способы задания графов 
71
     §  17. Маршруты и деревья 
83
Г л а в а  IV. Дискретная математика. Элементы комбинаторики  
91
     § 18. Комбинаторные задачи 
91
     § 19. Использование комбинаторных задач в некоторых других 
               разделах математики 
94
Г л а в а  V. Элементы теории нечетких множеств 
98
     § 20. Понятие нечеткого множества. Основные определения 
98

§ 21. Операции над нечеткими множествами 
100
     § 22. Отношение. Операции над отношениями 
105
     § 23. Нечеткие отношения 
Ответы и указания к решению упражнений 
112
119
Литература 
137
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

В в е д е н и е 
 
     Содержание курса “Математика”, продолжение которого читается в 3-м 
и 4-м семестрах, существенно отличается от традиционного материала 
первых двух семестров. Так в третьем и четвертом семестрах изучаются 
темы: “Векторный анализ и элементы теории поля”, “Дискретная математика”, “Элементы теории нечетких множеств”, “Численные методы”, – не 
являющимися традиционными для общего курса математики. Каждая из 
этих тем могла бы составить при достатке времени полноценный полугодовой или годовой курс. Поэтому речь может идти лишь об элементах перечисленных тем. Настоящее учебное пособие охватывает только три первые темы, что соответствует третьему семестру. Тема “Численные методы” 
отнесена к четвертому семестру, и по ней имеется готовое учебное пособие.  
     Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. Теория поля представляет математический аппарат, с помощью которого изучают физические поля. Материал тесно связан с функциями многих 
переменных и обобщениями понятия определенного интеграла (кратные, 
криволинейные и поверхностные интегралы). 
     Методы дискретной математики широко используются в современной 
практике моделирования в управлении, во всех случаях качественного анализа сложных проблем управления. Методы дискретной математики пригодны для описания и последующего конструктивного анализа многих 
проблемных ситуаций, в том числе ситуаций, не поддающихся описанию 
традиционными средствами классической математики, и позволяют при 
необходимости активно использовать современную вычислительную технику, новые информационные технологии.  
     Теория нечетких множеств – сравнительно новый подход к проблеме 
принятия решений при нечеткой исходной информации. Анализ задачи 
принятия решений заключается в использовании математических средств 
для сужения множества возможных вариантов путем отбрасывания тех из 
них, для которых имеются заведомо более приемлемые.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава I.  
Элементы векторного анализа и теории поля 
 
§ 1. Некоторые обобщения понятия определенного интеграла:  
двойной и тройной интегралы 
 
     Понятие определенного интеграла связано с такими задачами, как вычисление пути по заданной скорости, площади криволинейной трапеции и 
др. Существует много аналогичных задач, но относящихся к функциям 
двух, трех и более переменных. Типичная задача такого рода – нахождение 
объема криволинейного цилиндра (трехмерный аналог криволинейной 
трапеции). 
     Приведем некоторые понятия, которыми нам далее придется пользоваться. Множество A (на плоскости или в пространстве) называется связным, если две его любые точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в A. Открытое связное множество A называется открытой 
областью. Объединение открытой области и ее границы называется замкнутой областью. Мы будем рассматривать кривые (линии), плоские фигуры и пространственные тела, которым соответственно можно приписать 
длины (спрямляемые кривые), площади (квадрируемые фигуры) и объемы 
(кубируемые тела), обладающие всеми известными из школьного курса 
свойствами длин, площадей и объемов. Известно, что спрямляема любая 
кривая, заданная как объединение графиков непрерывно дифференцируемых функций вида 
)
(y
g
x =
, 
)
(x
f
y =
 (явное задание кривой) или уравнениями вида 
)
(t
g
x =
, 
)
(t
f
y =
, где  t  принадлежит некоторому сегменту 
]
,
[
b
a
, а 
)
(t
g
, 
)
(t
f
 – непрерывно дифференцируемые функции (параметрическое задание кривой); квадрируема любая область, ограниченная непрерывными кривыми, заданными уравнениями вышеуказанных видов; кубируема любая область, ограниченная непрерывными поверхностями, заданными уравнениями вида 
)
,
(
y
x
h
z =
, 
)
,
(
z
x
g
y =
 и (или) 
)
,
(
z
y
f
x =
. 
     Перейдем к рассмотрению понятия двойного интеграла. Пусть G – некоторая квадрируемая фигура, и на G определена ограниченная функция 
)
,
(
y
x
f
. Разобьем фигуру G на конечное число не пересекающихся квадрируемых фигур (частей) 
i
G  
)
,
...
,2
,1
(
n
i =
. Выберем произвольно в 
i
G  
точку 
)
,
(
i
i
i
M
η
ξ
, обозначим 
i
G
Δ
 площадь 
i
G  и составим сумму 
,
)
,
(
1∑
=
Δ
=
n
i
i
i
i
G
f
η
ξ
σ
                               (1.1) 
которую будем называть интегральной суммой для функции 
)
,
(
y
x
f
, соответствующей данному разбиению фигуры G и данному выбору точек 
)
,
(
i
i
i
M
η
ξ
. Пусть 
=
)
(
i
G
d
id  – наибольшее расстояние (полагая, что оно 

существует) между точками фигуры 
i
G , называемое диаметром фигуры 
i
G , и 
i
n
i
d
≤
≤
=
1max
λ
, называемое  диаметром  разбиения. 
     
е
и
н
е
л
е
д
е
р
п
О
 1.1. Число  I  называется пределом интегральных 
сумм (1.1) при 
0
→
λ
, если для любого 
0
>
ε
 существует 
0
>
δ
 такое, что 
при любом разбиении фигуры G, удовлетворяющем условию 
δ
λ <
, и при 
любом выборе в 
i
G  точек 
)
,
(
i
i
i
M
η
ξ
 выполнено неравенство 
ε
σ
<
−I
. 
     Этот предел обозначается  
∑
=
→
→
Δ
=
=
n
i
i
i
i
G
f
I
1
0
0
)
,
(
lim
lim
η
ξ
σ
λ
λ
. 
     
е
и
н
е
л
е
д
е
р
п
О
 1.2. Двойным интегралом от функции 
)
,
(
y
x
f
 по 
квадрируемой фигуре G называется предел интегральных сумм σ  при условии, что 
0
→
λ
, если такой предел существует и конечен. Функция 
)
,
(
y
x
f
, для которой по фигуре G существует двойной интеграл, называется интегрируемой на G.  
     Двойной интеграл обозначается символом 
∫∫
G
dS
y
x
f
)
,
(
  или  ∫∫
G
dxdy
y
x
f
)
,
(
. 
Согласно определению 1.2, 
=
∫∫
G
dS
y
x
f
)
,
(
∫∫
G
dxdy
y
x
f
)
,
(
∑
=
→
→
Δ
=
=
n
i
i
i
i
G
f
1
0
0
)
,
(
lim
lim
η
ξ
σ
λ
λ
. 
     Справедлива следующая теорема существования двойного интеграла.  
     Теорема 1.1 (достаточное условие интегрируемости). Если функция 
)
,
(
y
x
f
 непрерывна на замкнутой ограниченной квадрируемой (плоской) 
области G, то она интегрируема на этой области. 
     Рассмотрим вопрос о сведении двойного интеграла к повторному. 
     Пусть фигура G есть замкнутая область, ограниченная непрерывными 
кривыми: 
)
(x
h
y =
, 
)
(x
g
y =
, где 
)
(
)
(
x
g
x
h
≥
 на сегменте 
]
,
[
b
a
, 
a
x =
 и 
b
x =
, – так называемая область первого типа (см. рисунок). 
           
            
                         
                                   
 
 
 
 
     Теорема 1.2 (о сведении двойного интеграла к повторному для области 
первого типа). Пусть функция 
)
,
(
y
x
f
 интегрируема на области G первого 
G
x
a
x
b
y
)
(x
h
y =
)
(x
g
y =

типа, и при каждом фиксированном 
]
,
[
b
a
x∈
 существует определенный 
интеграл 
∫
=
)
(
)
(
)
,
(
)
(
x
h
x
g
dy
y
x
f
x
I
. Тогда существует интеграл 
=
∫
b
a
dx
x
I
)
(
∫
∫
)
(
)
(
)
,
(
x
h
x
g
b
a
dy
y
x
f
dx
, 
называемый повторным, и справедливо равенство  
∫∫
G
dxdy
y
x
f
)
,
(
.
)
,
(
)
(
)
(∫
∫
=
x
h
x
g
b
a
dy
y
x
f
dx
                            (1.2) 
     Если область G ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми 
c
y =
 и 
d
y =
 (
d
c <
), слева и справа – соответственно непрерывными кривыми 
)
(y
x
ϕ
=
 и 
)
(y
x
ψ
=
, 
],
,
[
d
c
y∈
 и 
)
(
)
(
y
y
ϕ
ψ
≥
 на сегменте 
]
,
[
d
c
 (область второго типа), то аналогично теореме 1.2 верна  
     Теорема 1.3 (о сведении двойного интеграла к повторному для области 
второго типа). Пусть функция 
)
,
(
y
x
f
 интегрируема на области G второго 
типа, и при любом фиксированном 
]
,
[
d
c
y ∈
 существует определенный 
интеграл 
∫
=
)
(
)
(
)
,
(
)
(
y
y
dx
y
x
f
y
J
ψ
ϕ
. Тогда существует интеграл 
=
∫
d
c
dy
y
J
)
(
∫
∫
)
(
)
(
)
,
(
y
y
d
c
dx
y
x
f
dy
ψ
ϕ
 
(также называемый повторным) и справедливо равенство  
∫∫
G
dxdy
y
x
f
)
,
(
.
)
,
(
)
(
)
(∫
∫
=
y
y
d
c
dx
y
x
f
dy
ψ
ϕ
                            (1.3) 
     Обе эти теоремы мы принимаем без доказательства. 
     Пример 1.1. Найти 
,
)1
(
∫∫
−
G
dxdy
y
x
 если область G ограничена линиями 
,1
=
x
 
,3
=
x
 
x
y
1
=
 и 
.1
+
=
x
y
  
     Мы имеем область первого типа.  По формуле (1.2) 
=
−
=
−
=
−
+
+
∫
∫
∫
∫∫
x
x
x
x
G
y
x
dx
dy
y
x
dx
dxdy
y
x
/
1
1
2
3
1
1
/
1
3
1
2
)1
(
)1
(
)1
(
 
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
= ∫
dx
x
x
x
3
1
2
1
1
2
1
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
+
−
∫
dx
x
x
x
3
1
2
1
2
2
1
 
6
3
ln
3
26
ln
2
2
3
2
1
1
3
2
3
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
x
x
x
x
. 

Пример 1.2. Найти 
,
∫∫
G
dxdy
x
 если область G ограничена линиями 
,0
=
y
 
,2
=
y
 
y
x
−
= 2
 и 
.
2
2
y
y
x
−
−
=
  
     Здесь мы имеем область второго типа. По формуле (1.3) 
=
=
=
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫∫
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
y
y
y
y
y
y
G
x
dy
dx
x
dy
dxdy
x
(
)
=
+
−
+
−
∫
dy
y
y
y
y
2
0
2
2
2
4
4
2
1
 
(
)
=
+
−
= ∫
dy
y
y
2
0
2
2
3
3
2
2
2
3
3
0
2
2
3
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
y
y
y
. 
     Пример 1.3. Найти 
,
cos
∫∫
G
dxdy
xy
y
 где 
[
]
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
×
=
2
,
4
5
,1
π
π
G
. 
     Область G – в данном случае прямоугольник – подходит под оба типа. 
Будем ее рассматривать как область второго типа. 
∫∫
G
dxdy
xy
ycos
∫
∫
=
=
5
1
2
/
4
/
cos
dx
xy
y
dy
π
π
=
∫
2
/
4
/
5
1
sin
π
π
dy
xy
=
−
∫
2
/
4
/
)
sin
5
(sin
π
π
dy
y
y
 
(
)
5
2
3
4
cos
4
5
cos
5
1
0
0
cos
5
cos
5
1
4
/
2
/
−
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
−
−
+
−
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
−
=
π
π
π
π
y
y
. 
Можно применить и другой порядок интегрирования, только решение будет более сложным (с применением формулы интегрирования по частям).  
     Перейдем к рассмотрению понятия тройного интеграла. Пусть V – некоторое кубируемое тело, и на V определена ограниченная функция 
)
,
,
(
z
y
x
f
. Разобьем тело V на конечное число не пересекающихся кубируемых тел (частей) 
iV  
)
,
...
,2
,1
(
n
i =
. Выберем произвольно в 
iV  точку 
)
,
,
(
i
i
i
i
M
ζ
η
ξ
. Обозначим 
iV
Δ
 объем 
iV  и составим сумму 
,
)
,
,
(
1∑
=
Δ
=
n
i
i
i
i
i
V
f
ς
η
ξ
σ
                              (1.4) 
которую будем называть интегральной суммой для функции 
)
,
,
(
z
y
x
f
, соответствующей данному разбиению тела V и данному выбору точек 
)
,
,
(
i
i
i
i
M
ζ
η
ξ
. Пусть 
=
)
(
iV
d
id  – наибольшее расстояние (полагая, что оно 
существует) между точками тела 
iV , называемое диаметром тела 
iV , и 
i
n
i
d
≤
≤
=
1max
λ
. Число λ  называется диаметром разбиения. 
     Обычным способом (см. определения 1.1, 1.2) введем понятия предела 
интегральных сумм, интегрируемости на теле V и тройного интеграла  
=
Δ
=
=
∑
=
→
→
n
i
i
i
i
i
V
f
I
1
0
0
)
,
,
(
lim
lim
ς
η
ξ
σ
λ
λ
dxdydz
z
y
x
f
dV
z
y
x
f
V
V
∫∫∫
∫∫∫
=
)
,
,
(
)
,
,
(
. 
Аналогично формулируется достаточное условие интегрируемости функции 
)
,
,
(
z
y
x
f
 на теле V, когда V есть замкнуая ограниченная кубируемая 
(пространственная) область. 

Сформулируем теорему о сведении тройного интеграла к повторному в 
случае, когда функция 
)
,
,
(
z
y
x
f
 определена на области V. Ограничимся 
случаем, когда область представляет собой “цилиндрический брус” – тело, 
ограниченное снизу и сверху соответственно непрерывными поверхностями 
)
,
(
y
x
v
z =
 и 
),
,
(
y
x
w
z =
 проектирующимися в плоскую квадрируемую 
область G , ограниченную замкнутой кривой; с боков это тело ограничено 
цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz.  
     Теорема 1.4. Пусть область V представляет собой цилиндрический брус, 
а функции 
)
,
(
y
x
v
z =
 и 
)
,
(
y
x
w
z =
 непрерывны в плоской квадрируемой 
области G; пусть функция 
)
,
,
(
z
y
x
f
 интегрируема на области V, и для любой фиксированной точки 
G
y
x
∈
)
;
(
 существует определенный интеграл  
.
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(∫
=
y
x
w
y
x
v
dz
z
y
x
f
y
x
I
 
Тогда существует двойной интеграл  
=
∫∫
G
dxdy
y
x
I
)
,
(
,
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(∫
∫∫
y
x
w
y
x
v
G
dz
z
y
x
f
dxdy
 
(называемый повторным) и справедливо равенство:  
=
∫∫∫
dxdydz
z
y
x
f
V
)
,
,
(
=
∫∫
G
dxdy
y
x
I
)
,
(
.
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(∫
∫∫
y
x
w
y
x
v
G
dz
z
y
x
f
dxdy
      (1.5) 
     Если при этом область G является областью первого типа и при любом 
фиксированном 
[
]
b
a
x
,
∈
 существует определенный интеграл 
,
)
,
(
)
(
)
(∫
x
h
x
g
dy
y
x
I
 
то верно равенство 
=
∫∫
G
dxdy
y
x
I
)
,
(
∫
∫
)
(
)
(
)
,
(
x
h
x
g
b
a
dy
y
x
I
dx
 
 или, если подставить сюда выражение 
,
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(∫
=
y
x
w
y
x
v
dz
z
y
x
f
y
x
I
 то с учетом 
(1.5) 
=
∫∫∫
dxdydz
z
y
x
f
V
)
,
,
(
=
∫∫
G
dxdy
y
x
I
)
,
(
∫
∫
∫
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
.
)
,
,
(
y
x
w
y
x
v
x
h
x
g
b
a
dz
z
y
x
f
dy
dx
     (1.6) 
     Пример 1.4. Найти тройной интеграл 
,
900
dxdydz
xyz
V∫∫∫
 
где область V ограничена плоскостями 
,1
=
+
+
z
y
x
   
,0
=
x
 
,0
=
y
 
.0
=
z
  
     Легко видеть,  что  область   интегрирования, 
четырехгранник 
ABCO,  
представляет собой цилиндрический 
O
B
0
=
z
z
C
x
y
−
= 1
y
x
A
y
x
z
−
−
= 1
1
1
1