Инженерная графика. Часть 2. Начертательная геометрия. Поверхности

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего образования 
«Томский государственный архитектурно-строительный университет» 
 
 
 
 
 
И.В. Барская, М.Г. Калафат, О.А. Суслова, А.В. Рыбакова 
 
 
 
 
 
 
 
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА 
Часть 2. Начертательная геометрия. Поверхности 
 
 
Учебно-методическое пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательство ТГАСУ  
2024 

УДК 744.4+514.8(075.8) 
ББК 30.11+22.151.3я73 
Б26 
 
 
Б26 
Барская, И.В.  
Инженерная графика. Часть 2. Начертательная геометрия. Поверхности : учебнометодическое пособие / И.В. Барская, М.Г. Калафат, О.А. Суслова, А.В. Рыбакова. – 
Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2024. – 68 с. – Текст : электронный. 
ISBN 978-5-6051703-0-3 
 
Во второй части пособия представлены подробные алгоритмы решения задач с объемными 
геометрическими фигурами (гранными телами и телами вращения) и их пересечение с плоскостями, а также рассмотрены задачи на нахождение натуральных величин фигур сечений и построение 
разверток усеченных поверхностей. Для успешного выполнения задач в пособии используются 
словесные пояснения и графическая форма алгоритма.  
Пособие предназначено для освоения изложенного практического материала и подготовки 
к экзамену по курсу начертательной геометрии направлений подготовки 08.03.03 «Строительство», 
08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений», 21.03.01 «Нефтегазовое дело», 
09.03.03 «Прикладная информатика». 
УДК 744.4+514.8(075.8) 
ББК 30.11+22.151.3я73 
 
 
 
 
 
 
Рецензенты: 
И.В. Беляева, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры инженерной графики ТГАСУ; 
Н.А. Антипина, канд. техн. наук, доцент отделения машиностроения ИШНПТ НИ ТПУ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-6051703-0-3 
 
 
 
 
© Томский государственный  
    архитектурно-строительный 
    университет, 2024  
© Барская И.В., Калафат М.Г., 
    Суслова О.А., Рыбакова А.В., 2024 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
Введение ............................................................................................................................................. 4 
1. Гранные тела: призма, пирамида ............................................................................................. 5 
1.1. Пересечение призматической поверхности наклонной плоскостью.  
Развертка поверхности .................................................................................................................. 5 
1.2. Призма с вырезом ................................................................................................................. 10 
1.3. Пересечение пирамидальной поверхности наклонной плоскостью.  
Развертка поверхности ................................................................................................................ 14 
1.4. Пирамида с вырезом ............................................................................................................. 19 
2. Тела вращения: цилиндр, конус, шар .................................................................................... 26 
2.1. Пересечение цилиндрической поверхности наклонной плоскостью.  
Развертка поверхности ................................................................................................................ 26 
2.2. Цилиндр с вырезом ............................................................................................................... 31 
2.3. Пересечение конической поверхности наклонной плоскостью.  
Развертка поверхности ................................................................................................................ 33 
2.4. Конус с вырезом .................................................................................................................... 42 
2.5. Сечение шара наклонной плоскостью ................................................................................ 48 
2.6. Шар с вырезом ....................................................................................................................... 54 
Контрольные вопросы .................................................................................................................. 63 
Библиографический список ......................................................................................................... 64 
Приложение. Варианты заданий для решения задач ............................................................. 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
В данном учебно-методическом пособии представлены практические примеры 
решения задач по начертательной геометрии с подробным изучением поверхностей 
в пространстве. Многообразие поверхностей широко применяется в технике, архитектуре и градостроительстве. Так как инженерная деятельность непосредственно связана с проектированием, конструированием и изготовлением различных поверхностей, 
то их изучение является важнейшей частью курса начертательной геометрии как 
с теоретической, так и с практической точки зрения. Начертательная геометрия развивает пространственное воображение и логическое мышление. Различные способы 
трехмерного моделирования и формообразования объектов в пространстве составляют инструментальную базу современных систем проектирования.  
В первой части пособия рассматривались алгоритмы решения метрических 
и позиционных задач, были даны сведения о точке, линии и взаимном расположении 
объектов в пространстве. Во второй части представлены подробные алгоритмы решения задач, связанных с объемными геометрическими фигурами (гранными телами 
и телами вращения) и их пересечением с плоскостями, а также рассмотрены задачи на 
нахождение натуральных величин фигур сечений и построение разверток усеченных 
поверхностей. Для успешного выполнения задач в пособии используются словесные 
пояснения и графическая форма алгоритма: сначала описываются этапы решения задачи, затем показано, как выполнять задачу на чертеже. 
 
Условные обозначения: 
H, V, W – плоскости проекций; 
OX, OY, OZ – оси проекций; 
A, В, С, … – точки в пространстве; 
a, b, с, … – горизонтальные проекции точек; 
a′, b′, с′, … – фронтальные проекции точек; 
a′′, b′′, с′′, … – профильные проекции точек; 
1, 2, 3, … – горизонтальные проекции точек 1, 2, 3, …; 
1′, 2′, 3′, … – фронтальные проекции точек 1, 2, 3, …; 
1′′, 2′′, 3′′, … – профильные проекции точек 1, 2, 3, …; 
XА, YА, ZА – координаты точек; 
Р, Q, R… – плоскости; 
РH, QH, RH, … – горизонтальные следы плоскостей Р, Q, R…; 
РV, QV, RV, … – фронтальные следы плоскостей Р, Q, R…; 
РW, QW, RW, … – профильные следы плоскостей Р, Q, R…; 
ϵ – знак принадлежности; 
// – знак параллельности; 
┴ – знак перпендикулярности. 
 
 
 
 

1. ГРАННЫЕ ТЕЛА: ПРИЗМА, ПИРАМИДА 
1.1. Пересечение призматической поверхности наклонной плоскостью. 
Развертка поверхности 
Задача № 1 
Построить три проекции усеченной призмы, определить натуральную величину 
фигуры сечения и построить развертку усеченной призмы (рис. 1.1). 
 
 
 
Рис. 1.1 
 
Решение задачи 
Для удобства построений необходимо обозначить ребра призмы (АА1, ВВ1, СС1). 
В данной задаче при пересечении поверхности трехгранной призмы с проецирующей 
плоскостью Р образуется фигура сечения, которая представляет собой треугольник. 
На фронтальной проекции пирамиды обозначим точки 1', 2', 3', принадлежащие одновременно плоскости Р и ребрам призмы – 1 ϵ АА1, 2 ϵ ВВ1, 3 ϵ СС1 (рис. 1.2). 
На горизонтальной плоскости проекций точки 1-3 совпадают с проекциями ребер, которым они принадлежат: 1≡a≡a1; 2≡b≡b1; 3≡c≡c1. Горизонтальная проекция 
линии сечения 1-3 совпадает с горизонтальной проекцией призмы (рис. 1.3). Далее по 
линиям связи находим профильные проекции точек 1", 2" и 3". 
Соединяем последовательно точки 1"-2"-3"-1", получаем профильную проекцию 
линии сечения призмы. Обводим основной линией полученную фигуру сечения 
и контур призмы. 

Рис. 1.2 
 
 
Рис. 1.3 
 
Чтобы определить натуральную величину фигуры сечения призмы, применяем 
метод перемены плоскостей проекций.  

Производим замену плоскостей проекций V/Н на V/Н1 и вводим новую плоскость 
Н1, параллельную плоскости Р. Для этого проводим новую ось Х1 параллельно следу РV 
(рис. 1.4). Проецируем точки 1'-3' на новую плоскость Н1. Для этого проводим линии 
связи из этих точек перпендикулярно оси Х1. Затем измеряем координаты у1, у2, у3 от 
оси Х до точек 1-3 на плоскости Н и откладываем эти координаты по линиям связи от 
оси Х1 на плоскости Н1. Получаем проекции точек 1-3 на новой плоскости Н1 – 10, 20, 30. 
Соединяя эти точки, получаем натуральную величину фигуры сечения 102030. 
 
 
.
 
Рис. 1.4 
 
Построение развертки поверхности усеченной призмы 
Развертка прямой призмы состоит из боковой поверхности, которая представляет собой прямоугольник, нижнего и верхнего оснований. Для построения развертки 
боковой поверхности измеряем высоту призмы Н и рассчитываем ее длину, которая 
равна сумме длин сторон треугольника Lab+ Lbc + Lca (рис. 1.5).