Теория нелинейных волн

МОНОГРАФИИ ВШЭ
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

А.М. Камчатнов
Издательский дом
Высшей школы экономики
Москва, 2025
Теория 
нелинейных 
волн
2-е издание, электронное

УДК 534.182+534.222.2
ББК 22.324+22.312
К18
Рецензенты: 
доктор физико-математических наук, профессор факультета физики НИУ ВШЭ, 
главный научный сотрудник Международной лаборатории физики 
конденсированного состояния НИУ ВШЭ 
В. И. Юдсон;
доктор физико-математических наук, профессор, начальник отдела 
Национального исследовательского центра «Курчатовский институт» 
С. В. Сазонов
К18
Камчатнов, Анатолий Михайлович.
Теория нелинейных волн / А. М. Камчатнов ; Нац. исслед. ун-т «Высшая 
школа экономики». — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 794 с. — Москва : Издательский 
дом ВШЭ, 2025. — (Монографии ВШЭ. Технические науки). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-7598-4068-8
В монографии излагаются как основы теории нелинейных волн, так и её разделы, 
находящиеся на переднем крае науки. Особое внимание уделено теории дисперсионных 
ударных волн, мало отражённой в существующей монографической литературе. В частности, детально изложен подход Гуревича–Питаевского, основанный на модуляционной 
теории Уизема. Для освоения книги достаточно знания стандартных курсов физики 
и математики, преподаваемых в технических университетах. Используемый математический аппарат ориентирован на приложения теории к типичным физическим задачам.
Книга предназначена как для специалистов, работающих в области теории нелинейных волн, так и для студентов и аспирантов, изучающих эту область науки.
УДК 534.182+534.222.2 
ББК 22.324+22.312
Электронное издание на основе печатного издания: Теория нелинейных волн / А. М. Камчатнов ; 
Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — Москва : Издательский дом ВШЭ, 2024. — 792 с. — 
(Монографии ВШЭ. Технические науки). — ISBN 978-5-7598-2933-1. — Текст : непосредственный.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты 
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.
ISBN 978-5-7598-4068-8
© Камчатнов А. М., 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
13
Г л а в а 1.
Звук. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
15
1.1. Распространение звука в газах . .. .. . .. .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
15
1.1.1. Приближение сплошной среды . .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
16
1.1.2. Уравнение непрерывности . .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
17
1.1.3. Уравнение Эйлера
. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. . . .. .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. . .
18
1.1.4. Уравнение адиабатичности течения и уравнения газовой динамики
19
1.1.5. Волновое уравнение . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
22
1.1.6. Законы сохранения импульса и энергии в газовой динамике . .. .. . .
28
1.1.7. Энергия и импульс звуковых волн
. .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
32
35
1.1.8. Лагранжева формулировка законов сохранения для звуковых волн
1.1.9. Лагранжиан уравнений гидродинамики для потенциальных
òå÷åний .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
38
1.1.10. Звуковые и энтропийные волны . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
40
1.1.11. О математике звуковых волн
. .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
42
1.1.12. Влияние диссипации на распространение звука . .. . . . .. .. . . . .. .. . .
48
1.2. Волны на поверхности воды. .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
50
1.2.1. Формулировка проблемы . .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
50
1.2.2. Законы сохранения массы, импульса и энергии для волн на воде
53
1.2.3. Теория мелкой воды . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
57
1.2.4. Двухслойная жидкость
. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
59
1.3. Динамика бозе-эйнштейновского конденсата . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
65
1.3.1. Однокомпонентный конденсат . .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
65
1.3.2. Лагранжева и гамильтонова формулировка уравнения Гросса–
Ïèòàåâñêîãî . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
67
1.3.3. Двухкомпонентный конденсат: основные уравнения . .. .. .. . . . .. .. . .
71
1.4. Заключение. .. . . .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
74
Г л а в а 2.
Нелинейность . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .
75
2.1. Уравнение Хопфа . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
75
2.1.1. «Пылевидная материя» . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
75
2.1.2. Общее решение уравнения Хопфа и его свойства . .. . . .. .. . . . .. .. . .
76
2.2. Задача об истечении газа в пустоту и волна разрежения . .. . . .. .. . . . .. .. . .
81
2.3. Простая волна. .. .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
87
2.4. Задача о поршне . .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . .
90
2.5. Уравнение Хопфа в теории возмущений. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . .. .. . .
94
2.6. Инварианты Римана для системы двух уравнений первого порядка . . .. .. .
99
2.6.1. Уравнения газовой динамики в диагональной римановой форме
. .
99
2.6.2. Общая система двух уравнений первого порядка . .. . . .. .. . . . .. .. .. .
102
2.7. Обтекание газом угла: течение Прандтля–Майера . .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
105
2.8. Метод годографа для уравнений газовой динамики . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
113

Оглавление
2.9. Задача о расширении газового слоя . .. . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
122
2.10. Расширение газового облака в пустоту . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
128
2.11. Эволюция импульса плотности в одноатомном газе . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
134
2.11.1. Монотонное начальное возвышение плотности . .. . . . .. .. . . . .. .. .. .
135
2.11.2. Локализованные начальные возвышения плотности . .. .. .. . . . .. .. .. .
137
2.12. Эволюция облака бозе-эйнштейновского конденсата, расширяющегося
в вакуум . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
142
2.13. Метод Римана. .. .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
148
2.14. Эволюция импульса плотности в бозе-эйнштейновском конденсате. .. .. .. .. .
157
2.14.1. Монотонный начальный импульс плотности . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
157
2.14.2. Локализованный начальный импульс плотности . .. . . .. .. . . . .. .. .. .
158
2.15. Релятивистская гидродинамика . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
163
2.15.1. Основные уравнения . .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
164
2.15.2. Скорость звука, римановы инварианты, простые волны . .. . . .. .. .. .
166
2.15.3. Адиабатическое течение . .. . . . . .. .. . . . .. .. . . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
170
2.15.4. Преобразование годографа и функция Римана 
â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîé гидродинамике .  . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .    173
2.15.5. Задача Ландау–Халатникова
. .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
176
2.16. Бездисперсионные волны в двухкомпонентном конденсате . .. . .. .. . . . .. .. .. .
186
2.16.1. Простые волны . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. .. .. . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
186
2.16.2. Динамика волн поляризации
. .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .
189
2.17. Одномерное расширение бозе-конденсата, выпущенного из ловушки. .. .. .. .
195
2.18. Неавтомодельные решения . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
198
2.18.1. Неавтомодельное расширение облака конденсата . .. . . .. .. . . . .. .. .. .
198
2.18.2. Волновой прибой вблизи наклонного берега . .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. .
201
2.19. Заключение. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
204
Г л а в а 3.
Нелинейность и вязкость: ударные волны. .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
205
3.1. Возможны ли нелинейные волны со стационарным профилем? . .. . . . .. .. .. .
205
3.2. Адиабата Рэнкина–Гюгонио. .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
208
3.2.1. Теория Рэнкина . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
209
3.2.2. Условия на разрыве Гюгонио
. .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
212
3.2.3. Теорема Жуге–Цемплена . .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . .. . .. .. . . . .. .. .. .
218
3.2.4. Эволюционность ударной волны . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
219
3.3. Задача о поршне . .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
223
3.4. Эволюция скачка в распределении плотности и контактные разрывы . .. .. .
228
3.5. Распад начальных разрывов. .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
230
3.5.1. Случай политропных газов . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
231
3.5.2. Общий случай баротропных газов
. .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
234
3.6. Косая ударная волна и течение мимо вогнутого угла . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
241
3.7. Отражение звука от ударной волны . .. . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
245
3.8. Устойчивость ударных волн. .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
247
3.9. Эволюция нелинейного импульса в малоамплитудном пределе . .. . . . .. .. .. .
255
3.10. Уравнение Бюргерса . .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .
260
3.10.1. Вывод уравнения Бюргерса . .. . . .. .. . . . .. .. . . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
261
3.10.2. Формирование ударной волны . .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
263

Оглавление
7
3.10.3. Условие формирования ударной волны в теории Бюргерса . .. .. .. .. .
267
3.10.4. Устойчивость ударной волны Бюргерса . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
268
3.11. Заключение. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
271
Г л а в а 4.
Дисперсия . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. .
272
4.1. Эффекты дисперсии для волн на воде . .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
273
4.1.1. Закон дисперсии . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
273
4.1.2. Линейное уравнение КдФ
. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
276
4.2. Модуляция линейных волн . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
279
4.3. Перенос энергии волнами и групповая скорость. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
283
4.3.1. Перенос энергии линейными волнами на воде . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
283
4.3.2. Перенос энергии: вариационный подход . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
285
4.4. Параболическое уравнение . .. . . .. .. . . . . .. .. .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
287
4.5. Метод стационарной фазы. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
290
4.6. Корабельные волны Кельвина . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
293
4.7. «Корабельные волны» в бозе-эйнштейновском конденсате . .. . .. .. . . . .. .. .. .
298
4.8. Оптико-механическая аналогия . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
302
4.9. Движение волновых пакетов вдоль крупномасштабных волн . .. .. . . . .. .. .. .
306
4.9.1. Движение пакета вдоль простой волны . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
307
4.9.2. Распространение пакета по волне разрежения . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
309
4.9.3. Движение пакета по локализованному импульсу . .. . . . .. .. . . . .. .. .. .
312
4.9.4. Движение пакета по волне, описываемой общим решением . .. .. .. .. .
314
4.10. Лучевая теория и сохранение энергии . .. .. .. . . . .. .. .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
317
4.11. Волновое действие . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
319
4.11.1. Сохранение волнового действия . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
319
4.11.2. Волновое действие для линейного уравнения КдФ . .. .. .. . . . .. .. .. .
320
4.12. Заключение. .. . . . . .. .. . . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
321
Г л а в а 5.
Нелинейность и дисперсия: солитоны . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
322
5.1. Уравнение Кортевега–де Фриза . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
323
5.1.1. Вывод уравнения Кортевега–де Фриза для волн на мелкой воде . .
324
5.1.2. Кноидальная волна и солитон . .. . .. .. . . . .. .. . . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
329
5.1.3. Устойчивость солитона КдФ . .. . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
333
5.2. Нелинейное уравнение Шрёдингера. .. . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
336
5.2.1. Периодическая волна и темный солитон для дефокусирующего
НУШ . . .. . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. .
337
5.2.2. Энергия и импульс темного солитона . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
340
5.2.3. Мелкие солитоны . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
343
5.2.4. Фокусирующее нелинейное уравнение Шрёдингера . .. . .. .. . . . .. .. .. .
345
5.3. Солитоны обобщенного НУШ . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
348
5.3.1. Темные солитоны обобщенного НУШ . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
348
5.3.2. Светлые солитоны обобщенного НУШ . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
349
5.3.3. Критерий Вахитова–Колоколова для устойчивости светлых 
ñîëèòîíîâ  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .    351
5.4. «Косые» солитоны . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
355
5.5. Уравнение Кадомцева–Петвиашвили . .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
358
5.6. Изгибная неустойчивость солитона КдФ . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
360

Оглавление
5.7. Изгибная неустойчивость темного солитона НУШ . .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
364
5.7.1. Уравнения для возмущений солитонного решения . .. . . .. .. . . . .. .. .. .
364
5.7.2. Интервал волновых чисел неустойчивых мод
. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
366
5.7.3. Инкремент роста неустойчивых мод при p ≪pc
. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
368
5.7.4. Интерполяционная формула для инкремента неустойчивых мод . .. .
370
5.8. Конвективная неустойчивость косых солитонов . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
371
5.9. Солитон как частица. .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
374
5.9.1. Теорема Эренфеста
. .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. .. . . .. .. .. .
375
5.9.2. Движение яркого солитона НУШ под действием потенциала
. .. .. .
376
5.9.3. Внутренняя динамика солитона . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
379
5.10. Темный солитон как квазичастица. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
382
5.10.1. Темный солитон для уравнения Гросса–Питаевского . .. .. . . . .. .. .. .
382
5.10.2. Динамика темных солитонов на переменном фоне . .. . .. .. . . . .. .. .. .
384
5.11. Уравнение Бенджамена–Оно . .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
392
5.12. Условия для формирования солитона из начального импульса . .. . . . .. .. .. .
395
5.13. Заключение. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
397
Г л а в а 6.
Нелинейные волновые уравнения в физике. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .
399
6.1. Волны на мелкой воде. .. . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
399
6.1.1. Решение Рэлея . .. . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
399
6.1.2. Уравнения Серра . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
402
6.2. Уравнения для волн в двухкомпонентном конденсате с учетом дисперсии
405
6.2.1. Основные уравнения и линейные волны . .. . .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
406
6.2.2. Волны плотности: уравнение КдФ . .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
408
6.2.3. Волны поляризации: уравнение КдФ
. .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
410
6.2.4. Волны поляризации: уравнения мКдФ и Гарднера . .. . . .. .. . . . .. .. .. .
410
6.3. Волны поляризации при близких значениях нелинейных постоянных . .. .. .
412
6.3.1. Приближение нелинейного уравнения Шрёдингера . .. . .. .. . . . .. .. .. .
415
6.3.2. Приближение Каупа–Буссинеска . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. . . . .. .. .. .
416
6.3.3. Периодические и солитонные решения для волн поляризации . .. .. .
416
6.4. Нелинейное уравнение Шрёдингера. .. . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
419
6.4.1. Эволюция электромагнитного импульса в нелинейной среде . .. .. .. .
419
6.4.2. Волны в цепочке связанных маятников . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .
422
6.4.3. Распространение пакета волн на мелкой воде . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
430
6.4.4. Волны на глубокой воде . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. . . . .. .. .. .
433
6.5. Нелинейное уравнение Шрёдингера с производной. .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
436
6.5.1. Бездисперсионный предел, характеристические скорости 
è ðèìàíîâû èíâàðèàíòû . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .   438
6.5.2. Модуляционная неустойчивость плоских волн
. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
439
6.5.3. Нелинейные волны с малой амплитудой . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
440
6.6. Заключение. .. . . .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
442
Г л а в а 7.
Теория модуляций Уизема. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
443
7.1. Общая идея теории Уизема . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. .. . . .. .. .. .
443
7.2. Модуляция линейной волны в теории линейного уравнения Клейна–
Ãîðäîíà . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .   446
7.3. Модуляция волн в теории нелинейного уравнения Клейна–Гордона . .. .. .. .
449

Оглавление
9
7.4. Вариационный подход к теории модуляций . .. . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
455
7.5. Усреднение лагранжиана для уравнения КдФ . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
457
7.6. Дисперсионная ударная волна и теория Уизема . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
460
7.7. Теория модуляций для уравнения Бенджамена–Оно. .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
463
7.7.1. Периодическое решение . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
463
7.7.2. Модуляции периодических решений уравнения Бенджамена–Оно
465
7.7.3. Задача о «разрушении плотины» в теории уравнения БО . .. .. .. .. .. .. .
469
7.7.4. Уравнение Бенджамена–Оно–Бюргерса . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
471
7.8. Заключение. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
476
Г л а в а 8.
Теория модуляций для уравнения Кортевега–де Фриза . . .. .. .. .
477
8.1. Модуляционные уравнения Уизема для уравнения Кортевега–де Фриза . .
477
8.2. Подход Гуревича–Питаевского к теории дисперсионных ударных волн . .. .
484
8.3. Обобщенный метод годографа . .. .. .. . . . . .. .. . . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
486
8.4. Эволюция начального разрыва. .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
489
8.5. Опрокидывание волны с параболическим начальным профилем . .. . . .. .. .. .
493
8.6. Опрокидывание волны с кубическим начальным профилем . .. .. .. . . . .. .. .. .
496
8.7. Автомодельное опрокидывание степенных профилей . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
502
8.7.1. Опрокидывание положительного импульса . .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
504
8.7.2. Опрокидывание отрицательного импульса . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
508
8.8. Движение краев дисперсионной ударной волны . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
511
8.8.1. Положительный импульс . .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
512
8.8.2. Число солитонов, образующихся из положительного импульса . .. .
515
8.8.3. Отрицательный импульс . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
516
8.9. Отрицательный импульс: солитонный край . .. . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
519
8.10. «Квазипростая» дисперсионная ударная волна (отрицательный импульс)
522
8.10.1. Формулировка задачи . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
522
8.10.2. Решение при t < tm . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
526
8.10.3. Решение при t > tm . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
528
8.10.4. Движение краев дисперсионной ударной волны . .. . . . .. .. . . . .. .. .. .
529
8.11. Теория Уизема для уравнения КдФ с возмущением . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
532
8.12. Стационарные ударные волны в системах с диссипацией . .. . . .. .. . . . .. .. .. .
533
8.13. Генерация дисперсионных ударных волн течением мимо препятствия . .. .. .
537
8.13.1. Течение в бездисперсионном (гидравлическом) приближении . .. .
537
8.13.2. Транскритическое течение в приближении КдФ . .. . . .. .. . . . .. .. .. .
541
8.14. Заключение. .. . . . . .. .. . . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
546
Г л а в а 9.
Метод конечнозонного интегрирования и теория Уизема . .. .. .. .
547
9.1. Полная интегрируемость уравнения КдФ. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
547
9.1.1. Уравнение Ламе . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
547
9.1.2. Зонная структура уравнения Ламе . .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
549
9.1.3. Уравнение КдФ как условие совместности двух линейных 
óðàâнений  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .    553
9.1.4. Иерархия КдФ и законы сохранения
. .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
554
9.1.5. Уравнение КдФ как гамильтонова система . .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
559
9.1.6. Периодическое решение уравнения КдФ . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
563
9.1.7. Периодические решения иерархии КдФ . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
566

Оглавление
9.1.8. Другой вывод уравнений Уизема . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
568
9.2. Схема Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сегюра . .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
571
9.2.1. Уравнение Каупа–Буссинеска как условие совместности линейных
систем . .. . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. .
571
9.2.2. Общая формулировка матричной схемы . .. . . . .. .. . . . .. .. .. . . . .. .. .. .
571
9.2.3. Нелинейные уравнения в схеме Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сегюра
573
9.3. Функция Бейкера–Ахиезера и уравнения Дубровина . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
577
9.3.1. Скалярная спектральная задача . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
577
9.3.2. Матричная спектральная задача . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
580
9.3.3. Связь матричной и скалярной спектральных задач . .. . .. .. . . . .. .. .. .
581
9.4. Уравнения Уизема в схеме АКНС . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
582
9.4.1. Невозмущенные уравнения . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
582
9.4.2. Возмущенные уравнения . .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
584
9.5. Асимптотическая формула Карпмана . .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
590
9.6. Заключение. .. . . .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
591
Г л а в а 10.
Теория модуляций для нелинейного уравнения Шрёдингера
593
10.1. Задача Захарова–Шабата. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
593
10.2. Периодические решения . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
594
10.3. Уравнения Уизема . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
600
10.4. Эволюция начальных разрывов . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
602
10.5. Задача о поршне . .. .. .. . . . .. .. . .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
608
10.6. Задача о равноускоренном поршне . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
610
10.7. Квазипростые дисперсионные ударные волны. .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
615
10.8. Асимптотические формулы для числа солитонов . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
619
10.9. Течение конденсата мимо препятствия. .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
624
10.9.1. Широкое препятствие . .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
624
10.9.2. Узкое препятствие . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
631
10.9.3. Течение конденсата мимо препятствия при учете диссипации . .. .
636
10.10. Заключение. .. .. . .. . .. .. .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
643
Г л а в а 11.
Теория модуляций для уравнения Гарднера. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
644
11.1. Периодические решения . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
645
11.2. Спектральная параметризация периодических решений . .. . . . .. .. . . . .. .. .. .
650
11.3. Основные структуры . .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
654
11.3.1. Кноидальные боры . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
654
11.3.2. Волны разрежения . .. . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
655
11.3.3. Солиборы (α > 0) . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
655
11.3.4. Тригонометрические боры (α < 0) . .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
656
11.4. Классификация структур при эволюции разрыва . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .
659
11.4.1. Классификация структур при α > 0 . .. .. .. . . . .. .. . . .. . .. .. . . . .. .. .. .
660
11.4.2. Классификация структур при α < 0 . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
662
11.5. Заключение. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
662
Г л а в а 12.
Теория модуляций для нелинейного уравнения Шрёдингера
с производной . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. .. .
664
12.1. Основные определения . .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .
664