Материалы для подготовки к вступительным экзаменам по математике в 10-й класс Лицея НИУ ВШЭ

2-е издание, электронное
Издательский дом
Высшей школы экономики
МОСКВА, 2025

УДК 51(075)
ББК 22.1я7
M34
Учебное пособие рекомендовано к изданию 
Педагогическим советом Лицея НИУ ВШЭ
Пособие подготовлено сотрудниками кафедры математики Лицея НИУ ВШЭ
Общая редакция: А. Ф. Салимова
M34
Материалы для подготовки к вступительным экзаменам по математике в 10-й класс Лицея НИУ 
ВШЭ / А. В. Гиляровская, Ю. С. Рудько, А. Ф. Салимова, О. В. Смирнова ; под общ. ред. А. Ф. Салимовой ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики», Лицей НИУ ВШЭ. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 
103 с. — Москва : Издательский дом ВШЭ, 2025. — (Хочу в Лицей!). — Систем. требования: Adobe Reader 
XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-7598-4033-6
Настоящее пособие предназначено для учащихся 9-х классов, которые планируют поступать в 10-й класс Лицея 
НИУ ВШЭ. В пособии приведены демоварианты первого и второго этапов вступительных испытаний в 10-й класс 
Лицея НИУ ВШЭ, разборы заданий из этих вариантов, описаны критерии оценивания. Представлены варианты для 
самостоятельной подготовки к первому и второму этапам вступительных испытаний в 10-й класс.
УДК 51(075) 
ББК 22.1я7
Электронное издание на основе печатного издания: Материалы для подготовки к вступительным экзаменам по математике 
в 10-й класс Лицея НИУ ВШЭ / А. В. Гиляровская, Ю. С. Рудько, А. Ф. Салимова, О. В. Смирнова ; под общ. ред. А. Ф. Салимовой ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики», Лицей НИУ ВШЭ. — Москва : Издательский дом ВШЭ, 2024. — 102 с. — 
(Хочу в Лицей!). — ISBN 978-5-7598-2971-3. — Текст : непосредственный.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.
ISBN 978-5-7598-4033-6
© А. В. Гиляровская, Ю. С. Рудько, 
А. Ф. Салимова, О. В. Смирнова, 2024 

Содержание
Предисловие
4
Литература, рекомендуемая для подготовки
5
Структура вступительного экзамена по математике в 10-й класс
6
Вступительные испытания 1-го этапа в 10-й класс 2023 г.
7
Решение заданий по математике 1-го этапа вступительных испытаний 2023 г.
10
Вступительные испытания 1-го этапа в 10-й класс 2024 г.
19
Вступительные испытания 2-го этапа в 10-й класс 2024 г.
20
Решение заданий по математике 2-го этапа вступительных испытаний 2024 г.
22
Задания для подготовки
28
1. Тождественные преобразования и вычисления
28
Задачи для самостоятельного решения
32
2. Задачи на проценты
37
Задачи для самостоятельного решения
39
3. Текстовые задачи
40
Задачи для самостоятельного решения
44
4. Линейная функция
46
Задачи для самостоятельного решения
48
5. Уравнения и неравенства
51
6. Прогрессии
55
Задачи для самостоятельного решения
56
7. Задачи с параметром, задачи на координатной плоскости и прямой
58
Задачи для самостоятельного решения
69
8. Основные факты школьной планиметрии
74
9. Задачи по геометрии из 1-го этапа вступительных испытаний
80
Примеры вступительных испытаний
83
Варианты задач по математике 1-го этапа вступительных испытаний
в 10-й класс
83
Вариант 1
83
Вариант 2
84
Вариант 3
85
Вариант 4
86
Вариант 5
87
Вариант 6
88
Вариант 7
89
Вариант 8
90
Вариант 9
91
Варианты задач по математике 2-го этапа вступительных испытаний
в 10-й класс
92
Вариант 1
92
Вариант 2
93
Вариант 3
94
Вариант 4
95
Вариант 5
96
Вариант 6
97
Вариант 7
98
Примерные задания устного собеседования в 10-й класс
99
3

Предисловие
Авторы данного пособия ставили своей целью помочь абитуриентам, поступающим в
10-й класс Лицея НИУ ВШЭ. Пособие содержит разбор демонстрационных вариантов и
задания для самостоятельной подготовки. Часть этих заданий была взята из вариантов
прошлых лет. В целом сборник дает понять ожидаемый уровень освоения математики
абитуриентами.
Для поступления в Лицей НИУ ВШЭ всем абитуриентам необходимо успешно справиться с задачами по математике 1-го этапа вступительных испытаний. Поступающим на
направления «Математика», «Информатика, инженерия и математика» и «Экономика и
математика» необходимо продемонстрировать хороший уровень владения математикой в
решении задач 2-го этапа вступительных испытаний. Задания для самостоятельного решения содержат задачи для подготовки к обоим этапам вступительных испытаний. Авторы
уверены, что владение алгоритмами решения представленных здесь задач может служить
хорошим дополнением к глубокому и основательному изучению курса школьной математики.
Выражаем нашу благодарность и признательность В.П. Барашеву, Б.В. Галицкому,
В.Н. Деменко, О.А. Евсеевой, А.Б. Зубову, Е.М. Ивениной, А.В. Красинцу, И.А. Миткевич,
О.В. Охтеменко, Д.С. Чистякову, Н.А. Шабат, А.В. Цареву, И.Х. Ямалиеву за помощь в
подготовке этого пособия, бесценные идеи, замечания и поддержку.
С пожеланиями успехов,
авторы настоящего пособия
4

Литература, рекомендуемая для подготовки
1. Алгебра. 9-й класс: учебник / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. 14-е изд., стер. М.: Просвещение, 2023.
2. Алгебра. 9-й класс: учебник / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир; под ред.
В.Е. Подольского. 8-е изд., стер. М.: Просвещение, 2023.
3. Алгебра. 9-й класс. Углубленный уровень: учебник / А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков;
под ред. В.Е. Подольского. 8-е изд. М.: Просвещение, 2023.
4. Математика. Геометрия. 7–9-й классы. Базовый уровень: учебник / Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 14-е изд., перераб. М.: Просвещение, 2023.
5. Геометрия. 9-й класс: учебник / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир; под ред.
В.Е. Подольского. 8-е изд. М.: Просвещение, 2023.
6. Геометрия. 9-й класс. Углубленный уровень: учебник / А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков;
под ред. В.Е. Подольского. 6-е изд., стер. М.: Просвещение, 2023.
7. Геометрия. 9-й класс: учебник / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов; под
ред. В.А. Садовничего. 8-е изд., стер. М.: Просвещение, 2022.
8. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике.
Алгебра. М.: Физматлит, 2007.
9. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике.
Уравнения и неравенства. М.: Физматлит, 2007.
10. Галицкий M.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре: учеб. пособие
для 8–9-го классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2001.
11. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7–9-й классы. М.: МЦНМО, 2004.
12. Иванов О.А. Практикум по элементарной математике: Алгебро-аналитические методы: учеб. пособие. М.: МЦНМО, 2001.
13. Кравцев C.В., Макаров Ю.Л., Максимов М.И. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. М.: Экзамен, 2001.
14. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник. М.: Факториал, 1997.
15. Олехник С.Н., Потапов М.К., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике:
справочное пособие. 3-е изд., стер. М.: Физматлит, 2003.
16. Сергеев И.Н. Математика: задачи с ответами и решениями. М.: КДУ, 2013.
17. Хорошилова Е.В. Элементарная математика: учеб. пособие для старшеклассников и
абитуриентов. Часть 1. М.: МГУ, 2020.
18. Хорошилова Е.В. Элементарная математика: учеб. пособие для старшеклассников и
абитуриентов. Часть 2. М.: МГУ, 2020.
5

Структура вступительного экзамена
по математике в 10-й класс
Вступительные испытания 1-го этапа проходят все абитуриенты, поступающие в
10-й класс Лицея НИУ ВШЭ. Работа представляет собой тест и состоит из 10 заданий с
открытым ответом.
Ответом является целое число или конечная десятичная дробь с 1–2 знаками после
запятой. Проверка ответов осуществляется с помощью информационных технологий.
Задания оцениваются по шкале, приведенной в таблице:
Номер задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Количество баллов
0,5
1
1
1
1
1
1
1
1
1,5
Вступительные испытания 2-го этапа выполняют только поступающие на направления «Математика», «Информатика, инженерия и математика» и «Экономика и математика» Лицея НИУ ВШЭ. Она состоит из пяти заданий с развернутым ответом. Проверка решений осуществляется по критериям, устанавливаемым приемной комиссией Лицея
НИУ ВШЭ.
Задания оцениваются по шкале, приведенной в таблице:
Номер задания
1
2
3
4
5
Количество баллов
3
3
4
5
5
Темы для подготовки: числа и вычисления (натуральные, целые, рациональные, действительные числа); алгебраические выражения (буквенные выражения, многочлены, алгебраические дроби); уравнения и неравенства (линейные, квадратные уравнения и неравенства с одной переменной и их системы); решение текстовых задач; числовые последовательности (арифметическая и геометрическая прогрессии, сложные проценты); функции, линейная функция, квадратичная функция, обратная пропорциональность, y = √x,
y =
3√x, y = |x|, их свойства и графики, решение уравнений и неравенств с использованием
графиков функций; геометрические фигуры и их свойства (треугольники, многоугольники, окружность и круг); треугольники, элементы треугольника, медианы, высоты, биссектрисы треугольника и их свойства; равенство и подобие треугольников; прямоугольный
треугольник и его свойства; параллельные прямые, их признаки и свойства; теорема Чевы,
теорема Менелая; четырехугольники и их свойства; параллелограмм, трапеция; теорема
синусов, теорема косинусов; площади фигур; окружность и ее свойства; вписанные и центральные углы; хорда, секущая и касательная окружности; взаимное расположение двух
окружностей; вписанные и описанные окружности и их свойства.
6

Вступительные испытания 1-го этапа в 10-й класс
Задания по математике 2023 демо
Выполните задания (10 баллов)
1
(0,5 балла) Вычислите: 58 ·
 
2 1
14
−2
−

114
15
−2!
.
или
Найдите значение выражения (−6t), если t = 11
6 : (2,65 : 2,5 −1,1).
2
(1 балл) Решите уравнение
7
x2 + 3x −4 −
3x + 6
x2 + x −2 =
1
1 −x.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.
или
Решите неравенство
√
x + 2 + 1

· (7,3x −20) ≤0.
В ответе укажите количество целых чисел, являющихся решениями неравенства.
3
(1 балл) В параллелограмме MFKT угол T равен 135◦, а диагональ FT перпендикулярна стороне FK, которая равна 14. Найдите площадь параллелограмма MFKT.
или
Треугольник MPK равнобедренный. Известно, что MK — основание, угол при котором
равен 75◦. Найдите длину стороны MP, если высота, проведенная к этой стороне, равна
18.
4
(1 балл) Ежемесячный доход семьи равен 95 000 руб., причем 40% этой суммы составляет заработная плата Татьяны. В результате кризиса ее заработная плата снизилась на
10%. На сколько процентов снизился общий доход семьи, если доходы остальных членов
семьи не изменились?
или
Динара и Карим состязались в беге на 1 км. Динара обогнала Карима на 90 с, но если
бы Карим бежал в 1,5 раза быстрее, то он обогнал бы Динару на 1 мин. С какой скоростью
бежала Динара? Ответ дайте в км/ч.
5
(1 балл) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 3 дают
остаток 1, а при делении на 4 — остаток 2.
или
7

Миша начал читать книгу. Каждый день он читал в 2 раза меньше страниц, чем в
предыдущий, и прочитал книгу за 6 дней. Сколько страниц книги прочитал Миша за
третий день, если в книге 189 страниц?
6
(1 балл) Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции
f(x) =
p
9 −x · |x| +
s
√
5 −3
10x2 −11x −62.
или
Найдите наибольшее значение функции f(x) = 2 +
1
x + 2 при условии, что аргумент
принимает значения из области определения функции g(x) =
p
(x + 5)(x + 2) + √x + 1.
7
(1 балл) Найдите значение выражения
√
18
√x −3

 q
2x + 18 + 12√x −6x
при x = 0,15.
или
Найдите значение выражения
√
3a −
1 + 3
√
3

 √
ab + 3b
p
a + 9b −6
√
ab
−
√
b при a = 27, b = 5.
8
(1 балл) Замените все буквы цифрами (одинаковые буквы — одинаковыми цифрами,
разные буквы — разными), чтобы разность
ЛИЦЕЙ −ОГОНЬ
приняла наибольшее возможное значение. В ответе укажите это значение.
или
В конкурсе по поеданию булочек участвовало 5 человек. Все они съели разное количество булочек, и каждому удалось съесть хотя бы одну. Когда каждого участника спросили,
сколько булочек в сумме было съедено за время конкурса, они назвали различные числа
от 11 до 15, причем известно, что занявший первое место ошибся на 1, занявший второе
место — на 2, третье — на 3, четвертое — на 4, пятое — на 5 булочек. Сколько булочек
съел победитель конкурса?
9
(1 балл) Окружность радиуса 3,5 вписана в треугольник KLT и касается сторон KT
и KL соответственно в точках A и B. Известно, что TA : AK = 1 : 2, KB : BL = 2 : 3.
Найдите наибольшую сторону треугольника KLT.
или
В треугольнике PKT мзвестны стороны: PK = 12, PT = 15, KT = 18. Проведена биссектриса PF. Окружность, описанная около треугольника PKF, пересекает сторону PT
в точке M. Найдите периметр треугольника MFT.
10
(1,5 балла) Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
ax2 + x −a −1
√1 −x
= 0
не имеет решений. В ответ запишите разность между наибольшим и наименьшим из таких
значений.
8

или
Найдите значение параметра a, при котором расстояние между точками, заданными на
координатной плоскости системой

y2 −4x + x2 = 0,
2y + ax −3 = 0,
будет наибольшим.
9

Решение заданий по математике 1-го этапа вступительных испытаний
2023 г.
1
(0,5 балла) Вычислите: 58 ·
 
2 1
14
−2
−

114
15
−2!
.
Решение. Запишем смешанные дроби в скобках в виде неправильных дробей:

2 1
14
−2
=
14
29
2
,

114
15
−2
=
15
29
2
.
По формуле разности квадратов
14
29
2
−
15
29
2
=
14
29 −15
29

·
14
29 + 15
29

= −1
29.
Умножая это число на 58, получим в итоге −2.
Ответ: −2.
или
Найдите значение выражения (−6t), если t = 11
6 : (2,65 : 2,5 −1,1).
Решение. Сначала найдем значение выражения, стоящего в скобках:
2,65 : 2,5 −1,1 = 265 : 250 −1,1 = 1,06 −1,1 = −0,04 = −1
25.
Далее выполним деление:
11
6 :

−1
25

= −11 · 25
6
.
Тогда −6t = 11 · 25 = 275.
Ответ: 275.
2
(1 балл) Решите уравнение
7
x2 + 3x −4 −
3x + 6
x2 + x −2 =
1
1 −x.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.
Решение. Заметим, что
x2 + 3x −4 = (x −1)(x + 4),
x2 + x −2 = (x −1)(x + 2).
Тогда
7
(x −1)(x + 4) −
3x + 6
(x −1)(x + 2) = −
1
x −1.
Далее



7
x + 4 −3x + 6
x + 2 = −1,
x ̸= 1,
10