Материалы для подготовки к вступительным экзаменам по математике в 9-й класс Лицея НИУ ВШЭ

2-е издание, электронное
Издательский дом
Высшей школы экономики
МОСКВА, 2025

УДК 51(075)
ББК 22.1я7
M34
Учебное пособие рекомендовано к изданию 
Педагогическим советом Лицея НИУ ВШЭ
Пособие подготовлено сотрудниками кафедры математики Лицея НИУ ВШЭ
Общая редакция: А. Ф. Салимова
M34
Материалы для подготовки к вступительным экзаменам по математике в 9-й класс Лицея НИУ 
ВШЭ / А. В. Гиляровская, Ю. С. Рудько, А. Ф. Салимова, О. В. Смирнова ; под общ. ред. А. Ф. Салимовой ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики», Лицей НИУ ВШЭ. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 
80 с. — Москва : Издательский дом ВШЭ, 2025. — (Хочу в Лицей!). — Систем. требования: Adobe Reader 
XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-7598-4032-9
Настоящее пособие предназначено для учащихся 8-х классов, которые планируют поступать в 9-й класс Лицея 
НИУ ВШЭ. В пособии приведены демоварианты 1-го и 2-го этапов вступительных испытаний в 9-й класс Лицея НИУ 
ВШЭ, разборы заданий из этих вариантов, описаны критерии оценивания. Представлены варианты для самостоятельной подготовки к вступителным испытаниям 1-го и 2-го этапов в 9-й класс.
УДК 51(075) 
ББК 22.1я7
Электронное издание на основе печатного издания: Материалы для подготовки к вступительным экзаменам по математике 
в 9-й класс Лицея НИУ ВШЭ / А. В. Гиляровская, Ю. С. Рудько, А. Ф. Салимова, О. В. Смирнова ; под общ. ред. А. Ф. Салимовой ; 
Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики», Лицей НИУ ВШЭ. — Москва : Издательский дом ВШЭ, 2024. — 80 с. — (Хочу 
в Лицей!). — ISBN 978-5-7598-2969-0. — Текст : непосредственный.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.
ISBN 978-5-7598-4032-9
© А. В. Гиляровская, Ю. С. Рудько, 
А. Ф. Салимова, О. В. Смирнова, 2024 

Содержание
Предисловие
4
Литература, рекомендуемая для подготовки
5
Структура экзаменов
6
Вступительные испытания 1-го этапа в 9-й класс
7
Решение заданий 1-го этапа вступительных испытаний по математике
8
Вступительные испытания 2-го этапа в 9-й класс
12
Решение заданий 2-го этапа вступительных испытаний по математике
13
Задачи для подготовки
16
1. Тождественные преобразования и вычисления
16
Задачи для самостоятельного решения
20
2. Задачи на проценты
25
Задачи для самостоятельного решения
27
3. Текстовые задачи
29
Задачи для самостоятельного решения
33
4. Линейная функция
35
Задачи для самостоятельного решения
38
5. Уравнения и неравенства
41
6. Задачи с параметром, задачи на координатной плоскости и координатной прямой
44
Задачи для самостоятельного решения
54
7. Основные факты школьной планиметрии
58
8. Задачи по геометрии 1-го этапа вступительных испытаний
64
Варианты заданий 1-го этапа вступительных испытаний
68
Вариант 1
68
Вариант 2
69
Вариант 3
70
Вариант 4
71
Варианты заданий 2-го этапа вступительных испытаний
72
Вариант 1
72
Вариант 2
73
Вариант 3
74
Вариант 4
75
Вариант 5
76
Примеры заданий устного собеседования
77
3

Предисловие
Авторы данного пособия ставили своей целью помочь абитуриентам, поступающим в
9-й класс Лицея НИУ ВШЭ. Пособие содержит разбор демонстрационных вариантов и
задания для самостоятельной подготовки. Часть из этих заданий была взята из вариантов
прошлых лет. В целом сборник дает возможность понять ожидаемый уровень освоения
математики абитуриентами.
Для поступления на специализацию «Универсальная» необходимо успешно справиться
с вступительными испытаниями 1-го этапа, для поступления на специализацию «Математика и физика» необходимо продемонстрировать хороший уровень владения математикой
при решении задач вступительных испытаний 2-го этапа. Авторы уверены, что владение
алгоритмами решения представленных здесь задач может служить прекрасным дополнением к глубокому и основательному изучению курса школьной математики.
Выражаем нашу благодарность и признательность В.П. Барашеву, Б.В. Галицкому,
Н.А. Жариковой, Т.Б. Замковой, А.Б. Зубову, И.Н. Омельченко, В.В. Показееву, Д.С. Чистякову, Н.А. Шабат, А.В. Цареву за помощь в подготовке этого пособия, бесценные идеи,
замечания и поддержку.
С пожеланиями успехов,
авторы настоящего пособия
4

Литература, рекомендуемая для подготовки
1. Алгебра. 8-й класс. Учебник. Базовый уровень/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк,
К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. Изд. 16-е, перераб. М.:
Просвещение, 2023.
2. Алгебра. 8-й класс. Учебник. Углубленный уровень / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк,
К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. Изд. 4-е, стер. М.: Просвещение, 2022.
3. Математика. Алгебра. 8-й класс. Учебник. Базовый уровень / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир; под ред. В.Е. Подольского. М.: Просвещение, 2023.
4. Геометрия. 8-й класс. Учебник / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир; под ред.
В.Е. Подольского. Изд. 8-е, стер. М.: Просвещение, 2023.
5. Геометрия. 8-й класс. Учебник. Углубленный уровень / А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков;
под ред. В.Е. Подольского. М.: Просвещение, 2021.
6. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия. 8-й класс / под ред. В.А. Садовничего. М.: Просвещение, 2022.
7. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра. М.: Физматлит, 2007.
8. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Физматлит, 2007.
9. Галицкий M.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре. Учеб. пособие
для 8–9-х классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2001.
10. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7–9-е классы. М.: МЦНМО, 2004.
11. Иванов О.А. Практикум по элементарной математике: Алгебро-аналитические методы. Учеб. пособие. М.: МЦНМО, 2001.
12. Кравцев C.В., Макаров Ю.Л., Максимов М.И. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. М.: Экзамен, 2001.
13. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Справочник. М.: Факториал, 1997.
14. Олехник С.Н., Потапов М.К., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике.
Справочное пособие. Изд. 3-е, стер. М.: Физматлит, 2003.
15. Сергеев И.Н. Математика: задачи с ответами и решениями. М.: КДУ, 2013.
16. Хорошилова Е.В. Элементарная математика. Учеб. пособие для старшеклассников и
абитуриентов. Ч. 1. М.: МГУ, 2010.
17. Хорошилова Е.В. Элементарная математика. Учеб. пособие для слушателей подготовительных отделений, абитуриентов и старшеклассников. Ч. 2. М.: МГУ, 2010.
5

Структура экзаменов
Структура вступительного экзамена по математике
в 9-й класс
Вступительные испытания 1-го этапа проходят все абитуриенты, поступающие в
9 - й класс Лицея НИУ ВШЭ. Работа представляет собой тест и состоит из 10 заданий с
открытым ответом. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь с 1—2
знаками после запятой. Проверка ответов осуществляется с помощью информационных
технологий.
Задания оцениваются по шкале, приведённой в таблице:
Номер задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Количество баллов
0,5
1
1
1
1
1
1
1
1
1,5
Вступительные испытания 2-го этапа проходят только поступающие на специализацию «Математика и физика» 9-го класса Лицея НИУ ВШЭ. Вступительное испытание
представляет собой письменную работу, которая состоит из пяти заданий с развернутым
ответом. Проверка решений осуществляется по критериям, устанавливаемым приемной
комиссией Лицея НИУ ВШЭ.
Задания оцениваются по шкале, приведенной в таблице:
Номер задания
1
2
3
4
5
Количество баллов
3
3
4
5
5
Темы для подготовки: числа и вычисления, натуральные, целые, рациональные числа, действительные числа, проценты; квадратные корни, свойства арифметического квадратного корня, преобразование выражений, содержащих квадратные корни; алгебраические выражения, буквенные выражения, многочлены, алгебраические дроби, сокращение
дробей, сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей, преобразование рациональных выражений; уравнения, линейные уравнения и их системы, квадратные
уравнения с одной переменной, теорема Виета, дробные рациональные уравнения, применение уравнений к решению текстовых задач; функция, линейная функция, ее свойства и
график.
Треугольники, элементы треугольника, медианы, высоты, биссектрисы треугольника и
их свойства; равенство и подобие треугольников; прямоугольный треугольник и его свойства; параллельные прямые, их признаки и свойства; теорема Чевы, теорема Менелая; четырехугольники и их свойства; параллелограмм, трапеция; площади фигур; окружность
и ее свойства; вписанные и центральные углы; хорда, секущая и касательная окружности; взаимное расположение двух окружностей; вписанные и описанные окружности и их
свойства.
6

Вступительные испытания 1-го этапа в 9-й класс
Задания по математике 2024 демо
Выполните задания (10 баллов)
1
(0,5 балла) Решите уравнение
31
9 −x : 0,72 = 2 7
12.
2
(1 балл) Иван Васильевич положил 65 000 руб. в банк на годовой вклад «Успешный».
Через год после начисления процентов сумма на вкладе стала равна 74 100 руб. Какая
сумма будет на вкладе Ивана Васильевича еще через год? Ответ дайте в рублях.
3
(1 балл) Найдите значение выражения
√
2 −
√
8

2 +
p
0,15 ·
√
240 −
−4
p
0,3

2.
4
(1 балл) Сумма квадратов корней уравнения
2x2 + 5x + c = 0
равна 91
4. Найдите c.
5
(1 балл) График линейной функции y = kx + b не пересекается с прямой y = 4x, а с
прямой MN пересекается в точке, лежащей на оси абсцисс. Найдите b, если M(−4, −1) и
N(4, 3).
6
(1 балл) Петя и Коля устроили чемпионат по игре «крестики-нолики». Было проведено
15 партий, причем за победу давалось 4 очка, за ничью — 3, за проигрыш — 1. Сумма
очков, набранная обоими мальчиками, оказалась равной 81. Сколько партий было сыграно
вничью?
7
(1 балл) Найдите значение выражения
a2
4 −b2
9
a
12 + b
18
при a = 2
3, b = −1
2.
8
(1 балл) Диагональ AC прямоугольника ABCD равна 12. Известно, что угол DCA в
5 раз больше угла BCA. Найдите расстояние от точки C до диагонали BD.
9
(1 балл) Черепаха и ежик начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Они
встретились через 50 мин после начала своего движения. Сколько времени потребовалось
бы черепахе на весь путь, если известно, что ежик проделал бы этот путь на 4 ч быстрее
черепахи? Ответ дайте в часах.
10
(1,5 балла) Вася нашел наименьшее натуральное число X такое, что произведение
всех натуральных чисел от 1 до X делится на 2022. Какое число нашел Вася?
7

Решение заданий 1-го этапа вступительных испытаний по математике
1
(0,5 балла) Решите уравнение
31
9 −x : 0, 72 = 2 7
12.
Решение.
28
9 −x · 100
72 = 31
12,
28
9 −31
12 = x · 25
18,
19
36 = x · 25
18,
x = 19
36 · 18
25,
x = 0, 38.
Ответ: 0,38.
2
(1 балл) Иван Васильевич положил 65 000 руб. в банк на годовой вклад «Успешный».
Через год после начисления процентов сумма на вкладе стала равна 74 100 руб. Какая
сумма будет на вкладе Ивана Васильевича ещё через год? Ответ дайте в рублях.
Решение. За год вклад увеличился в 74 100 : 6 500 = 1,14 раз, то есть на 14%. Так как
никаких действий со вкладом не производится, то еще через год имеющаяся сумма опять
увеличится на 14%:
74 100 · 1,14 = 84 474.
Ответ: 84 474.
3
(1 балл) Найдите значение выражения
√
2 −
√
8

2 +
p
0,15 ·
√
240 −
−4
p
0,3

2.
Решение. Выполним дейсвия:
(
√
2 −
√
8)2 = 2 −2 ·
√
2 ·
√
8 + 8 = 10 −2 · 4 = 2;
p
0,15 ·
√
240 =
p
0, 15 · 240 =
√
36 = 6;
(−4
p
0,3)2 = 16 · 0,3 = 4,8.
Тогда получим 2 + 6 −4,8 = 3,2.
Ответ: 3,2.
4
(1 балл) Сумма квадратов корней уравнения
2x2 + 5x + c = 0
равна 91
4. Найдите c.
Решение. Пусть x1, x2 – корни данного квадратного уравнения. Тогда по теореме Виета:
8