Математика. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации  
федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования 
«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова» 
 
 
 
 
 
 
 
И.В. ЕРШОВА 
Т.А. МИНЕЕВА 
 
МАТЕМАТИКА. 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ 
ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ 
ПЕРЕМЕННЫХ 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
 
 
Рекомендовано 
учебно-методической комиссией института 
судостроения и морской арктической техники 
(Севмашвтуз) филиала Северного (Арктического) 
федерального университета имени М.В. Ломоносова 
 
 
 
 
Москва 
ИНФРА-М 
2025 

УДК 517.2(075.8) 
ББК 22.161.1я73 
Е80  
А в т о р ы: 
Ершова И.В., кандидат технических наук, доцент кафедры математики и 
информационных технологий Северного (Арктического) федерального университета 
имени М.В. Ломоносова; 
Минеева Т.А., кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой 
математики и информационных технологий Северного (Арктического) федерального 
университета имени М.В. Ломоносова 
Р е ц е н з е н т ы: 
Рябцев С.О., начальник бюро информационных систем и планирования производства 
северного производственного объединения «Арктика»; 
Коряковская 
Н.В., 
кандидат 
технических 
наук, 
доцент 
Высшей 
школы 
информационных технологий и автоматизированных систем Северного (Арктического) 
федерального университета имени М.В. Ломоносова 
Ершова И.В.  
Математика. 
Дифференциальное 
исчисление 
функций 
одной 
и 
нескольких 
переменных : учебное пособие / И.В. Ершова, Т.А. Минеева. – Москва : ИНФРА-М, 2025. – 
112 с. 
ISBN 978-5-16-113583-9 (online)  
Учебное пособие охватывает материал по двум разделам – дифференциальное 
исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчисление функций 
нескольких переменных. Представлены основные теоретические положения, подробно 
разобраны 
типовые 
задачи, 
приведены 
контрольные 
вопросы, 
задания 
для 
самостоятельного решения, справочные материалы. Полученные знания и навыки позволят 
эффективно применять математические методы и основы математического моделирования 
в своей практической, профессиональной или инженерной деятельности. 
Соответствует 
требованиям 
федеральных 
государственных 
образовательных 
стандартов высшего образования последнего поколения. 
Может быть использовано при изучении дисциплин «Математика» и «Элементы 
математического анализа». Рекомендовано обучающимся по укрупненным группам 
направлений подготовки: 09.00.00 «Информатика и вычислительная техника», 26.00.00 
«Техника 
и 
технологии 
кораблестроения 
и 
водного 
транспорта», 
15.00.00 
«Машиностроение и специальностям», 26.05.01 «Проектирование и постройка кораблей, 
судов и объектов океанотехники», 26.05.02 «Проектирование, изготовление и ремонт 
энергетических установок и систем автоматизации кораблей и судов». 
 
УДК 517.2(075.8) 
ББК 22.161.1я73 
 
 
 
ISBN 978-5-16-113583-9 (online)   
 
 
 
 
 
© Ершова И.В., 
    Минеева Т.А., 2025 
ФЗ  
№ 436-ФЗ  
Издание не подлежит маркировке в 
соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1 
Е80 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5 
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ 
ПЕРЕМЕННОЙ............................................................................................................ 6 
1.1. Понятие функции .............................................................................................. 6 
1.2. Понятие предела функции ............................................................................. 10 
1.3. Замечательные пределы ................................................................................. 16 
1.4. Бесконечно малые функции и их свойства .................................................. 20 
1.5. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва ............ 24 
1.6. Производная функции, её геометрический и механический смысл .......... 28 
1.7. Правила дифференцирования функций. Таблица производных ............... 30 
1.8. Дифференцирование сложной и обратной функции .................................. 32 
1.9. Логарифмическое дифференцирование ....................................................... 34 
1.10. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций .... 37 
1.11. Дифференциал функции .............................................................................. 39 
1.12. Производные высших порядков .................................................................. 40 
1.13. Правило Лопиталя ........................................................................................ 42 
1.14. Исследование функций и построение графиков ....................................... 47 
1.14.1. Возрастание и убывание функции. Экстремум .................................. 47 
1.14.2. Направление выпуклости. Точки перегиба ........................................ 48 
1.14.3. Асимптоты графика функции .............................................................. 50 
1.14.4. Общий план исследования функций и построения графиков .......... 51 
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ 
ПЕРЕМЕННЫХ ......................................................................................................... 57 
2.1. Определение, предел и непрерывность функции двух переменных ......... 57 
2.2. Частные производные функции нескольких переменных .......................... 59 
2.3. Полный дифференциал функции двух переменных ................................... 62 
2.4. Дифференцирование сложной и неявно заданной функции нескольких 
переменных............................................................................................................. 64 
2.5. Экстремум функции двух переменных ........................................................ 68 

2.6. Производная по направлению и градиент скалярного поля ...................... 72 
3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ» ...... 78 
3.1. Варианты контрольной работы ..................................................................... 78 
3.2. Образец выполнения контрольных заданий ................................................ 92 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................................... 104 
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 .................................................................................................... 105 
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 .................................................................................................... 106 
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 .................................................................................................... 107 
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 .................................................................................................... 108 
ПРИЛОЖЕНИЕ 5 .................................................................................................... 109 
ПРИЛОЖЕНИЕ 6 .................................................................................................... 110 
ПРИЛОЖЕНИЕ 7 .................................................................................................... 112 
 

ВВЕДЕНИЕ 
Данное учебное пособие предназначено для обучающихся технических 
вузов, изучающих разделы «Дифференциальное исчисление функций одной 
переменной» 
и 
«Дифференциальное 
исчисление 
функций 
нескольких 
переменных».  
Пособие 
содержит 
определения, 
формулировки 
теорем, 
подробно 
разобранные примеры каждой темы, вопросы для самоконтроля, задания к 
контрольной работе для самостоятельного решения, пример выполнения заданий 
контрольной работы. В конце пособия приведены справочные материалы в 
таблицах по темам. 
Учебное пособие рекомендовано обучающимся по укрупнённым группам 
таких направлений подготовки, как 09.00.00 Информатика и вычислительная 
техника, 26.00.00 Техника и технологии кораблестроения и водного транспорта, 
15.00.00 Машиностроение и обучающимся по специальностям 26.05.01 
«Проектирование и постройка кораблей, судов и объектов океанотехники», 
26.05.02 «Проектирование, изготовление и ремонт энергетических установок и 
систем автоматизации кораблей и судов». 
Авторы выражают благодарность коллеге, кандидату технических наук, 
доценту Залукаевой Ольге Вадимовне за предоставленные рекомендации по 
теоретическому и практическому материалу настоящего пособия. 

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ 
ПЕРЕМЕННОЙ 
1.1. Понятие функции 
Пусть даны два непустых множества X  и Y . 
Определение. Если каждому элементу x
X

 ставится в соответствие по 
некоторому закону единственный элемент y
Y

, то говорят, что на множестве 
X  задана функция 
( )
y
f x
=
 со значениями в множестве Y . 
Множество 
X  называется областью определения функции 
f  и 
обозначается 
( )
D f . Множество всех y
Y

 называется множеством значений 
функции f  и обозначается ( )
E f . 
Переменная x называется аргументом или независимой переменной, а y  – 
функцией. 
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, 
табличный, графический. 
Аналитически функция может быть задана: 
− явно: когда формула разрешена относительно y .  
Например, 
(
)
2
5
arctg x
x
y
x
+
=
; 
− неявно: когда формула не разрешена относительно y .  
Например, 
(
)
3
2
3
sin
8
y
xy
xy
+
+
= ; 
− параметрически: когда x и y  заданы в виде явных функций параметра 
t : 
( )
( )


1
2
,
,
x
x t
t
t t
y
y t
=


=

.  
Например, 
2
cos
,
0, 4
1
x
t
t
t
y
t
= 











=
−

. 

Определение. Графиком функции 
( )
y
f x
=
 называется множество точек 
плоскости с координатами 
( )
(
)
;x f x
. 
Основные характеристики функции 
1. Функция 
( )
y
f x
=
, определенная на множестве D , называется чётной, 
если для любого x
D

 выполняются условия x
D
−
 и (
)
( )
f
x
f x
−
=
; нечетной, 
если для любого x
D

 выполняются условия x
D
−
 и (
)
( )
f
x
f x
−
= −
. 
График чётной функции симметричен относительно оси  Oy , а нечётной  ̶  
относительно начала координат. 
Например, 
2
2
,
1
,
ln
y
x
y
x
y
x
=
=
+
=
 
– 
чётные 
функции, 
а 
3
sin ,
y
x
y
x
=
=
 – нечётные функции. 
1,
y
x
y
x
=
−
=
 – функции общего 
вида, т.е. не чётные и не нечётные. 
2. Пусть функция 
( )
y
f x
=
 определена на множестве D  и пусть 
1
D
D

. 
Если для любых двух значений 
1
2
1
,
x x
D

 аргументов из неравенства 
1
2
x
x

 
вытекает неравенство:  
( )
(
)
1
2
f x
f x

, то функция называется возрастающей на множестве 
1
D ; 
( )
(
)
1
2
f x
f x

, то функция называется неубывающей на множестве 
1
D ; 
( )
(
)
1
2
f x
f x

, то функция называется убывающей на множестве 
1
D ; 
( )
(
)
1
2
f x
f x

, то функция называется невозрастающей на множестве 
1
D . 
Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на 
множестве 
1
D  называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и 
убывающие – строго монотонными.  
Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами 
монотонности. 
3. Функцию 
( )
y
f x
=
, определенную на множестве 
D , называют 
ограниченной на этом множестве, если существует такое число 
0
M , что для 
всех x
D

 выполняется неравенство 
( )
f x
M

. 

4. Функция 
( )
y
f x
=
, определенная на множестве 
D , называется 
периодической на этом множестве, если существует такое число 
0
T 
, что при 
каждом x
D

 значение (
)
x
T
D
+

 и 
(
)
( )
f x
T
f x
+
=
. При этом число T  
называется периодом функции. 
Определение. Пусть функция 
( )
y
f u
=
 определена на множестве D , а 
функция 
( )
u
x
= 
 – на множестве 
1
D , причем для любого 
1
x
D

 
соответствующее значение 
( )
u
x
D
= 

. Тогда на множестве 
1
D  определена 
функция 
( )
y
f
x
=




, которая называется сложной функцией от x  (или 
суперпозицией 
заданных 
функций). 
Переменную 
( )
u
x
= 
 
называют 
промежуточным аргументом сложной функции. 
Например, 
(
)
sin 2x
y =
 есть суперпозиция функций 
sin
y
u
=
 и 
2x
u =
. 
Определение. Пусть  задана функция 
( )
y
f x
=
 с областью определения  D  
и множеством значений 
E  (рис. 1.1). Если каждому значению y
E

 
соответствует единственное значение x
D

, то определена функция 
( )
x
y
= 
 с 
областью определения E  и множеством значений D . Такая функция  
( )
y

 
называется обратной к функции 
( )
f x  и записывается в виде 
( )
( )
1
x
y
f
y
−
= 
=
. 
Про функции 
( )
y
f x
=
 и 
( )
x
y
= 
 говорят, что они являются взаимно 
обратными. 
 
Рис. 1.1. Обратная функция 
 

Чтобы найти функцию 
( )
x
y
= 
, обратную к функции 
( )
y
f x
=
, достаточно 
решить уравнение ( )
f x
y
=
 относительно x  (если это возможно). 
 Например, 
5x
y =
 и 
5
log
y
x
=
 – взаимно обратные функции. 
 Основными элементарными функциями называют следующие функции: 
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных 
элементарных 
функций 
и 
постоянных 
с 
помощью 
конечного 
числа 
арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и 
суперпозиций функций, называется элементарной функцией. 
Например, 
(
)
cos
1
3
4
3
1
tg
5
,
arccos
,
log
9
8
7
x
x
y
y
y
x
x
x
x
−
=
=
−
=
+
+
−
. 
 
Контрольные вопросы 
1. Найдите область определения функций: 
1) 
2
arccos1
x
y
x
=
+
; 
2) 
(
)
2
25
lg sin
y
x
x
=
−
+
; 
3) 
(
)
3
lg 2
4
x
y =
−
. 
2. Для функции 
2
,
если
0,
,
если
0
x
x
y
x
x


= 


 найдите обратную. Постройте 
графики данной и найденной функции. 
1) Показательная функция  
,
0,
1
x
y
a
a
a
=

 
2) Степенная функция  
,
y
x
R

=

 
3) Логарифмическая функция  
log
,
0,
1
a
y
x
a
a
=

 
4) Тригонометрические функции  
sin ,
cos ,
tg ,
ctg
y
x y
x y
x y
x
=
=
=
=
 
5) Обратные тригонометрические функции 
arcsin ,
arccos ,
y
x y
x
=
=
 
arctg ,
arcctg
y
x y
x
=
=
 

3. Постройте графики функций: 
1) 
2
3
1
x
y
x
+
=
−
; 
2) 
2
3
4
y
x
x
=
+
−
; 
3) 
(
)
2sin 2
2
y
x
= −
+
. 
 
1.2. Понятие предела функции 
Определение. Пусть 
0x  – любое действительное число (точка на числовой 
прямой). Окрестностью точки 
0x  называется любой интервал (
)
,a b , 
содержащий точку 
0x . В частности, интервал (
)
0
0
,
x
x
−
+ , где 
0
, называется 
-окрестностью  точки 0
x . Число 
0x  называется центром , а число  – радиусом 
(рис. 1.2). 
  
Рис. 1.2. -окрестность точки 
 
Если (
)
0
0
,
x
x
−
+ , то выполняется неравенство 
0
0
x
x
x
−

+ , или 
0
x
x
−
. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки x  в 
-окрестность точки 
0x . 
Пусть функция 
( )
y
f x
=
 определена в некоторой окрестности точки 
0x , 
кроме, быть может, самой точки 
0x . 
 Сформулируем определение предела функции в точке на «языке −», или 
по Коши. 
 Определение. Число  A называется пределом функции в точке 
0x  (или при
0
x
x
→
), если для любого положительного  найдётся такое положительное